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Livro: Estatísticas de negócios (OpenStax)
8: Intervalos de confiança
8.1: Um intervalo de confiança para um desvio padrão da população, tamanho de amostra conhecido ou grande

8.1: Um intervalo de confiança para um desvio padrão da população, tamanho de amostra conhecido ou grande

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Um intervalo de confiança para uma média populacional com um desvio padrão populacional conhecido é baseado na conclusão do Teorema do Limite Central de que a distribuição amostral das médias da amostra segue uma distribuição aproximadamente normal.

Calculando o intervalo de confiança

Considere a fórmula de padronização para a distribuição amostral desenvolvida na discussão do Teorema do Limite Central:

\[Z_{1}=\frac{\overline{X}-\mu_{\overline{X}}}{\sigma_{\overline{X}}}=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}\nonumber\]

Observe que$\mu$ é substituído por$\mu_{\overline{x}}$ porque sabemos que o valor esperado de$\mu_{\overline{x}}$ é$\mu$ do teorema do limite central e$\sigma_{\overline{x}}$ é substituído por$\sigma / \sqrt{n}$, também do Teorema do Limite Central.

Nesta fórmula$\overline X$, sabemos,$\sigma_{\overline{x}}$ e$n$, o tamanho da amostra. (Na verdade, não sabemos o desvio padrão da população, mas temos uma estimativa pontual para isso,$s$, da amostra que coletamos. Mais sobre isso mais tarde.) O que não sabemos é$\mu$ ou$Z_1$. Podemos resolver qualquer um deles em termos do outro. Resolvendo para$\mu$ em termos de$Z_1$ doações:

\[\mu=\overline{X} \pm Z_{1} {\sigma} / \sqrt{n}\nonumber\]

Lembrando que o Teorema do Limite Central nos diz que a distribuição dos s, a distribuição amostral das médias, é normal e que a distribuição normal é simétrica, podemos reorganizar os termos da seguinte forma:$\overline X$

\[\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\nonumber\]

Essa é a fórmula para um intervalo de confiança para a média de uma população.

Observe que$Z_\alpha$ foi substituído$Z_1$ nesta equação. É aqui que a escolha deve ser feita pelo estatístico. O analista deve decidir o nível de confiança que deseja impor ao intervalo de confiança. \ alpha é a probabilidade de que o intervalo não contenha a média real da população. O nível de confiança é definido como$(1-\alpha)$. $Z_\alpha$é o número de desvios padrão que$\overline X$ está em relação à média com uma certa probabilidade. Se$Z_\alpha = 1.96$ escolhermos, estamos solicitando o intervalo de confiança de 95% porque estamos definindo a probabilidade de que a média verdadeira esteja dentro da faixa em 0,95. Se estivermos$Z_\alpha$ em 1,64, solicitaremos o intervalo de confiança de 90% porque definimos a probabilidade em 0,90. Esses números podem ser verificados consultando a tabela Normal Padrão. Divida 0,95 ou 0,90 pela metade e encontre essa probabilidade dentro do corpo da tabela. Em seguida, leia nas margens superior e esquerda o número de desvios padrão necessários para obter esse nível de probabilidade.

Na realidade, podemos definir qualquer nível de confiança que desejamos simplesmente alterando o$Z_\alpha$ valor na fórmula. É a escolha do analista. A convenção comum em economia e na maioria das ciências sociais define intervalos de confiança em níveis de 90, 95 ou 99 por cento. Níveis inferiores a 90% são considerados de pouco valor. O nível de confiança de uma estimativa de intervalo específica é chamado por$(1-\alpha)$.

Uma boa maneira de ver o desenvolvimento de um intervalo de confiança é representar graficamente a solução para um problema que solicita um intervalo de confiança. Isso é apresentado na Figura$\PageIndex{2}$ para o exemplo na introdução sobre o número de downloads do iTunes. Esse caso foi para um intervalo de confiança de 95%, mas outros níveis de confiança poderiam ter sido escolhidos com a mesma facilidade, dependendo da necessidade do analista. No entanto, o nível de confiança DEVE ser predefinido e não sujeito a revisão como resultado dos cálculos.

Essa é uma curva de distribuição normal. O ponto z0.01 é rotulado na borda direita da curva e a região à direita desse ponto está sombreada. A área dessa região sombreada é igual a 0,01. A área sem sombra é igual a 0,99. — Figura$\PageIndex{2}$

Neste exemplo, digamos que saibamos que o número médio real de downloads do iTunes da população é 2,1. A média real da população está dentro da faixa do intervalo de confiança de 95%. Não há absolutamente nada que garanta que isso aconteça. Além disso, se a média verdadeira estiver fora do intervalo, nunca a saberemos. Devemos sempre lembrar que nunca saberemos a verdadeira média. As estatísticas simplesmente nos permitem, com um determinado nível de probabilidade (confiança), dizer que a média verdadeira está dentro do intervalo calculado. Isso é o que foi chamado na introdução, de “nível de ignorância admitido”.

Alterando o nível de confiança ou o tamanho da amostra

Aqui, novamente, está a fórmula para um intervalo de confiança para uma média populacional desconhecida, supondo que saibamos o desvio padrão da população:

\[\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\nonumber\]

É claro que o intervalo de confiança é determinado por duas coisas, o nível de confiança escolhido e o desvio padrão da distribuição amostral.$Z_\alpha$ O desvio padrão da distribuição amostral é ainda mais afetado por duas coisas, o desvio padrão da população e o tamanho da amostra que escolhemos para nossos dados. Aqui, queremos examinar os efeitos de cada uma das escolhas que fizemos no intervalo de confiança calculado, no nível de confiança e no tamanho da amostra.

Por um momento, devemos perguntar exatamente o que desejamos em um intervalo de confiança. Nosso objetivo era estimar a média da população de uma amostra. Abandonamos a esperança de que algum dia encontraremos a verdadeira média da população e o desvio padrão da população, em qualquer caso, exceto quando temos uma população extremamente pequena e o custo de coletar os dados de interesse é muito pequeno. Em todos os outros casos, devemos confiar em amostras. Com o Teorema do Limite Central, temos as ferramentas para fornecer um intervalo de confiança significativo com um determinado nível de confiança, o que significa uma probabilidade conhecida de estar errado. Por intervalo de confiança significativo, queremos dizer aquele que é útil. Imagine que você precise de um intervalo de confiança para a idade de seus colegas de classe. Você coletou uma amostra e encontrou uma média de 19,8 anos. Você deseja estar muito confiante para relatar um intervalo entre 9,8 anos e 29,8 anos. Esse intervalo certamente conteria a média real da população e teria um nível de confiança muito alto. No entanto, dificilmente se qualifica como significativo. O melhor intervalo de confiança é estreito, embora tenha alta confiança. Há uma tensão natural entre esses dois objetivos. Quanto maior o nível de confiança, maior o intervalo de confiança, como no caso das idades dos alunos acima. Podemos ver essa tensão na equação do intervalo de confiança.

\[\mu=\overline{x} \pm Z_{\alpha}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\nonumber\]

O intervalo de confiança aumentará em largura à medida que$Z_\alpha$ aumenta,$Z_\alpha$ aumenta à medida que o nível de confiança aumenta. Há uma compensação entre o nível de confiança e a largura do intervalo. Agora, vamos examinar a fórmula novamente e ver que o tamanho da amostra também desempenha um papel importante na largura do intervalo de confiança. O tamanho da amostra, nn, aparece no denominador do desvio padrão da distribuição amostral. À medida que o tamanho da amostra aumenta, o desvio padrão da distribuição amostral diminui e, portanto, a largura do intervalo de confiança, mantendo constante o nível de confiança. Essa relação foi demonstrada na Figura$\PageIndex{8}$. Novamente, vemos a importância de ter amostras grandes para nossa análise, embora enfrentemos uma segunda restrição, o custo da coleta de dados.

Calculando o intervalo de confiança: uma abordagem alternativa

Outra forma de abordar os intervalos de confiança é por meio do uso de algo chamado Error Bound. O nome Error Bound vem do reconhecimento de que fornece o limite do intervalo derivado do erro padrão da distribuição de amostragem. Nas equações acima, é visto que o intervalo é simplesmente a média estimada, a média da amostra, mais ou menos alguma coisa. Esse algo é o limite de erro e é impulsionado pela probabilidade que desejamos manter em nossa estimativa$Z_\alpha$,, vezes o desvio padrão da distribuição amostral. O limite de erro de uma média recebe o nome de Média Limitada de Erro ou$EBM$.

Para construir um intervalo de confiança para uma única média populacional desconhecida$\mu$, onde o desvio padrão da população é conhecido, precisamos$\overline x$ como estimativa$\mu$ e precisamos da margem de erro. Aqui, a margem de erro$(EBM)$ é chamada de limite de erro para uma média populacional (abreviado EBM). A média da amostra$\overline x$ é a estimativa pontual da média populacional desconhecida$\mu$.

A estimativa do intervalo de confiança terá a forma:

(estimativa de pontos - limite de erro, estimativa de pontos + limite de erro) ou, em símbolos,$(\overline{x}-E B M, \overline{x}+E B M)$

A fórmula matemática para esse intervalo de confiança é:

\[\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\]

A margem de erro (EBM) depende do nível de confiança (CL abreviado). O nível de confiança geralmente é considerado a probabilidade de que a estimativa do intervalo de confiança calculado contenha o verdadeiro parâmetro da população. No entanto, é mais preciso afirmar que o nível de confiança é a porcentagem dos intervalos de confiança que contêm o verdadeiro parâmetro da população quando amostras repetidas são coletadas. Na maioria das vezes, é a escolha da pessoa que constrói o intervalo de confiança escolher um nível de confiança de 90% ou mais, porque essa pessoa deseja ter uma certeza razoável de suas conclusões.

Há outra probabilidade chamada alfa ($\alpha$). $\alpha$está relacionado ao nível de confiança,$CL$. $\alpha$é a probabilidade de que o intervalo não contenha o parâmetro populacional desconhecido.
Matematicamente,$1 - \alpha = CL$.

Um intervalo de confiança para uma média da população com um desvio padrão conhecido é baseado no fato de que a distribuição amostral das médias da amostra segue uma distribuição aproximadamente normal. Suponha que nossa amostra tenha uma média de$\overline x = 10$, e nós construímos o intervalo de confiança de 90%$(5, 15)$ onde$EBM = 5$.

Para obter um intervalo de confiança de 90%, devemos incluir os 90% centrais da probabilidade da distribuição normal. Se incluirmos os 90% centrais, deixamos de fora um total de$\alpha = 10%$ em ambas as caudas, ou 5% em cada cauda, da distribuição normal.

Essa é uma curva de distribuição normal. O pico da curva coincide com o ponto 10 no eixo horizontal. Os pontos 5 e 15 são rotulados no eixo. As linhas verticais são desenhadas desses pontos até a curva, e a região entre as linhas é sombreada. A região sombreada tem área igual a 0,90. — Figura$\PageIndex{3}$

Para capturar os 90% centrais, devemos obter 1,645 desvios padrão em cada lado da média amostral calculada. O valor 1,645 é a pontuação z de uma distribuição de probabilidade normal padrão que coloca uma área de 0,90 no centro, uma área de 0,05 na extremidade esquerda da cauda e uma área de 0,05 na extremidade direita.

É importante que o desvio padrão usado seja apropriado para o parâmetro que estamos estimando, portanto, nesta seção, precisamos usar o desvio padrão que se aplica à distribuição amostral para médias que estudamos com o Teorema do Limite Central e é,$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Calculando o intervalo de confiança usando EMB

Para construir uma estimativa do intervalo de confiança para uma média populacional desconhecida, precisamos de dados de uma amostra aleatória. As etapas para construir e interpretar o intervalo de confiança são:

Calcule a média$\overline x$ da amostra a partir dos dados da amostra. Lembre-se de que, nesta seção, conhecemos o desvio padrão da população$\sigma$.
Encontre a pontuação z da tabela normal padrão que corresponde ao nível de confiança desejado.
Calcule o limite do erro$EBM$.
Construa o intervalo de confiança.
Escreva uma frase que interprete a estimativa no contexto da situação do problema.

Primeiro, examinaremos cada etapa com mais detalhes e, em seguida, ilustraremos o processo com alguns exemplos.

Encontrando a pontuação z para o nível de confiança declarado

Quando conhecemos o desvio padrão da população\ sigma, usamos uma distribuição normal padrão para calcular o limite de erro$EBM$ e construir o intervalo de confiança. Precisamos encontrar o valor de$z$ que coloca uma área igual ao nível de confiança (na forma decimal) no meio da distribuição normal padrão$Z \sim N(0, 1)$.

O nível de confiança$CL$,, é a área no meio da distribuição normal padrão. $CL = 1 – \alpha$, assim$\alpha$ como a área que é dividida igualmente entre as duas pontas. Cada uma das caudas contém uma área igual$\frac{\alpha}{2}$ a.

A pontuação z que tem uma área à direita de$\frac{\alpha}{2}$ é indicada por$Z_{\frac{\alpha}{2}}$.

Por exemplo$CL = 0.95$, quando$\alpha = 0.05$ e$\frac{\alpha}{2} = 0.025$; escrevemos$Z_{\frac{\alpha}{2}}$ = Z_ {0.025}\).

A área à direita de$Z_{0.025}$ é 0,025 e a área à esquerda$Z_{0.025}$ é$1 – 0.025 = 0.975$.

$Z_{\frac{\alpha}{2}} = Z_{0.025} = 1.96$, usando uma tabela de probabilidade normal padrão. Veremos mais tarde que podemos usar uma tabela de probabilidade diferente, a distribuição t de Student, para encontrar o número de desvios padrão dos níveis de confiança comumente usados.

Calculando o limite de erro (EBM)

A fórmula de limite de erro para uma média populacional desconhecida\ mu quando o desvio padrão da população\ sigma é conhecido é

$E B M=\left(Z \frac{\alpha}{2}\right)\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Construindo o intervalo de confiança

A estimativa do intervalo de confiança tem o formato$(\overline{x}-E B M, \overline{x}+E B M)$ ou a fórmula:$\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})$

O gráfico dá uma imagem de toda a situação.

$C L+\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}=C L+\alpha=1$.

Essa é uma curva de distribuição normal. O pico da curva coincide com a barra x do ponto no eixo horizontal. Os pontos x-bar - EBM e x-bar + EBM são rotulados no eixo. As linhas verticais são desenhadas desses pontos até a curva, e a região entre as linhas é sombreada. A região sombreada tem uma área igual a 1 - a e representa o nível de confiança. Cada cauda sem sombra tem a área a/2.

Exemplo$\PageIndex{1}$

Suponha que estejamos interessados nas notas médias de um exame. Uma amostra aleatória de 36 pontuações é coletada e fornece uma média da amostra (pontuação média da amostra) de 68 (X−X- = 68). Neste exemplo, temos o conhecimento incomum de que o desvio padrão da população é de 3 pontos. Não conte com o conhecimento dos parâmetros da população fora dos exemplos de livros didáticos. Encontre uma estimativa do intervalo de confiança para a pontuação média do exame da população (a pontuação média em todos os exames).

Encontre um intervalo de confiança de 90% para a média real (populacional) das pontuações dos exames estatísticos.

Resposta

Solução 8.1

A solução é mostrada passo a passo.

Para encontrar o intervalo de confiança, você precisa da média da amostra$\overline x$, e$EBM$ a.

$\overline x = 68$
$EBM = \left(Z_{\frac{\alpha}{2}}\right)\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$
$\sigma = 3$;$n = 36$; O nível de confiança é de 90%$(CL = 0.90)$

$CL = 0.90$então$\alpha = 1 – CL = 1 – 0.90 = 0.10$

$\frac{\alpha}{2}=0.05, Z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.05}$

A área à direita$Z_{0.05}$ é$0.05$ e a área à esquerda de$Z_{0.05}$ é$1 – 0.05 = 0.95$.

$Z_{\frac{\alpha}{2}}=Z_{0.05}=1.645$

Isso pode ser encontrado usando um computador ou usando uma tabela de probabilidade para a distribuição normal padrão. Como os níveis comuns de confiança nas ciências sociais são 90%, 95% e 99%, não demorará muito até que você se familiarize com os números, 1,645, 1,96 e 2,56

$E B M=(1.645)\left(\frac{3}{\sqrt{36}}\right)=0.8225$

$\overline{x}-E B M=68-0.8225=67.1775$

$\overline{x}+E B M=68+0.8225=68.8225$

O intervalo de confiança de 90% é (67,1775, 68,8225).

Interpretação

Estimamos com 90% de confiança que a pontuação média real do exame da população para todos os estudantes de estatística está entre 67,18 e 68,82.

Exemplo$\PageIndex{2}$

Suponha que mudemos o problema original no Exemplo$\PageIndex{1}$ usando um nível de confiança de 95%. Encontre um intervalo de confiança de 95% para a pontuação média verdadeira (populacional) do exame estatístico.

Resposta

Solução 8.2

\[\mu=\overline{x} \pm Z_{\alpha}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\nonumber\]

\[\mu=68 \pm 1.96\left(\frac{3}{\sqrt{36}}\right)\nonumber\]

\[67.02 \leq \mu \leq 68.98\nonumber\]

$\sigma = 3$;$n = 36$; O nível de confiança é de 95% ($CL = 0.95$).

$CL = 0.95$então$\alpha = 1 – CL = 1 – 0.95 = 0.05$

$Z_{\frac{\alpha}{2}}=Z_{0.025}=1.96$

Observe que o$EBM$ é maior para um nível de confiança de 95% no problema original.

Comparando os resultados

O intervalo de confiança de 90% é (67,18, 68,82). O intervalo de confiança de 95% é (67,02, 68,98). O intervalo de confiança de 95% é maior. Se você observar os gráficos, como a área 0,95 é maior do que a área 0,90, faz sentido que o intervalo de confiança de 95% seja maior. Para ter mais certeza de que o intervalo de confiança realmente contém o valor real da média da população para todas as pontuações dos exames estatísticos, o intervalo de confiança precisa necessariamente ser maior. Isso demonstra um princípio muito importante dos intervalos de confiança. Há uma compensação entre o nível de confiança e a largura do intervalo. Nosso desejo é ter um intervalo de confiança estreito, intervalos enormes e amplos fornecem poucas informações úteis. Mas também gostaríamos de ter um alto nível de confiança em nosso intervalo. Isso demonstra que não podemos ter os dois.

A parte (a) mostra uma curva de distribuição normal. Uma região central com área igual a 0,90 está sombreada. Cada cauda não sombreada da curva tem uma área igual a 0,05. A parte (b) mostra uma curva de distribuição normal. Uma região central com área igual a 0,95 está sombreada. Cada cauda não sombreada da curva tem uma área igual a 0,025.

Resumo: Efeito da alteração do nível de confiança

Aumentar o nível de confiança torna o intervalo de confiança mais amplo.
Diminuir o nível de confiança torna o intervalo de confiança mais estreito.

E, novamente, aqui está a fórmula para um intervalo de confiança para uma média desconhecida, assumindo que temos o desvio padrão da população:

\[\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\nonumber\]

O desvio padrão da distribuição amostral foi fornecido pelo Teorema do Limite Central como$\sigma / \sqrt{n}$. Embora raramente possamos escolher o tamanho da amostra, ele desempenha um papel importante no intervalo de confiança. Como o tamanho da amostra está no denominador da equação, à medida que$n$ aumenta, faz com que o desvio padrão da distribuição amostral diminua e, portanto, a largura do intervalo de confiança diminua. Já vimos isso antes, quando revisamos os efeitos do tamanho da amostra no Teorema do Limite Central. Lá, vimos que, à medida que$n$ aumenta, a distribuição da amostra se estreita até que, no limite, ela colapsa sobre a média real da população.

Exemplo$\PageIndex{3}$

Suponha que mudemos o problema original no Exemplo$\PageIndex{1}$ para ver o que acontece com o intervalo de confiança se o tamanho da amostra for alterado.

Deixe tudo igual, exceto o tamanho da amostra. Use o nível de confiança original de 90%. O que acontece com o intervalo de confiança se aumentarmos o tamanho da amostra e usarmos$n = 100$ em vez de$n = 36$? O que acontece se diminuirmos o tamanho da amostra para$n = 25$ em vez de$n = 36$?

Resposta

Solução 8.3

Solução A

$\mu=\overline{x} \pm Z_{\alpha}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

$\mu=68 \pm 1.645\left(\frac{3}{\sqrt{100}}\right)$

$67.5065 \leq \mu \leq 68.4935$

Se aumentarmos o tamanho da amostra$n$ para 100, diminuiremos a largura do intervalo de confiança em relação ao tamanho da amostra original de 36 observações.

Resposta

Solução 8.3

Solução B

$\mu=\overline{x} \pm Z_{\alpha}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

$\mu=68 \pm 1.645\left(\frac{3}{\sqrt{25}}\right)$

$67.013 \leq \mu \leq 68.987$

Se diminuirmos o tamanho da amostra$n$ para 25, aumentaremos a largura do intervalo de confiança em comparação com o tamanho da amostra original de 36 observações.

Resumo: Efeito da alteração do tamanho da amostra

Aumentar o tamanho da amostra torna o intervalo de confiança mais estreito.
Diminuir o tamanho da amostra aumenta o intervalo de confiança.

Já vimos esse efeito quando revisamos os efeitos da alteração do tamanho da amostra, n, no Teorema do Limite Central. Veja$\PageIndex{7}$ a Figura para ver esse efeito. Antes de vermos que, à medida que o tamanho da amostra aumentava, o desvio padrão da distribuição da amostra diminui. Foi por isso que escolhemos a média da amostra de uma amostra grande em comparação com uma amostra pequena, todas as outras coisas se mantiveram constantes.

Até agora, assumimos que conhecíamos o desvio padrão da população. Isso praticamente nunca será o caso. No entanto, teremos o desvio padrão da amostra. Essa é uma estimativa pontual para o desvio padrão da população e pode ser substituída na fórmula dos intervalos de confiança para uma média sob certas circunstâncias. Acabamos de ver o efeito que o tamanho da amostra tem na largura do intervalo de confiança e o impacto na distribuição da amostra em nossa discussão sobre o Teorema do Limite Central. Podemos invocar isso para substituir a estimativa pontual pelo desvio padrão se o tamanho da amostra for grande “o suficiente”. Estudos de simulação indicam que 30 observações ou mais serão suficientes para eliminar qualquer viés significativo no intervalo de confiança estimado.

Exemplo$\PageIndex{4}$

As férias de primavera podem ser um feriado muito caro. Uma amostra de 80 estudantes é pesquisada e o valor médio gasto pelos estudantes em viagens e bebidas é de $593,84. O desvio padrão da amostra é de aproximadamente $369,34.

Construa um intervalo de confiança de 92% para a quantidade média de dinheiro da população gasta pelas férias de primavera.

Resposta

Solução 8.4

Começamos com o intervalo de confiança para uma média. Usamos a fórmula para uma média porque a variável aleatória são dólares gastos e essa é uma variável aleatória contínua. A estimativa pontual para o desvio padrão da população, s, foi substituída pelo verdadeiro desvio padrão da população porque, com 80 observações, não há preocupação com o viés na estimativa do intervalo de confiança.

\[\mu=\overline{x} \pm\left[Z_{(\mathrm{a} / 2)} \frac{s}{\sqrt{n}}\right]\nonumber\]

Substituindo os valores na fórmula, temos:

\[\mu=593.84 \pm\left[1.75 \frac{369.34}{\sqrt{80}}\right]\nonumber\]

$Z_{(a / 2)}$é encontrado na tabela normal padrão pesquisando 0,46 no corpo da tabela e encontrando o número de desvios padrão na lateral e na parte superior da tabela; 1,75. A solução para o intervalo é assim:

\[\mu=593.84 \pm 72.2636=(521.57,666.10)\nonumber\]

\[\$ 521.58 \leq \mu \leq \$ 666.10\nonumber\]

Revisão da fórmula

A forma geral de um intervalo de confiança para uma única média de população, desvio padrão conhecido e distribuição normal é dada por$\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})$ Esta fórmula é usada quando o desvio padrão da população é conhecido.

$CL$= nível de confiança ou a proporção dos intervalos de confiança criados que devem conter o verdadeiro parâmetro da população

$\alpha = 1 – CL$= a proporção dos intervalos de confiança que não conterão o parâmetro da população

$z_{\frac{\alpha}{2}}$= a pontuação z com a propriedade de que a área à direita da pontuação z é$\frac{\propto}{2}$ essa é a pontuação z usada no cálculo de "$EBM$" onde$\alpha = 1 – CL$.