7.6: Lição de casa do capítulo

O teorema do limite central para médias amostrais

49

Anteriormente, os estudantes de estatística de De Anza estimaram que a quantidade de mudanças nas estatísticas diurnas que os estudantes carregam é distribuída exponencialmente com uma média de $0,88. Suponha que escolhamos aleatoriamente 25 estudantes de estatística diurna.

1. Em palavras,\(Χ\) = ____________
2. \(Χ \sim\)_____ (_____, _____)
3. Em palavras,\(\overline X\) = ____________
4. \(\overline X \sim\)______ (______, ______)
5. Encontre a probabilidade de um indivíduo ter entre $0,80 e $1,00. Faça um gráfico da situação e da sombra na área a ser determinada.
6. Encontre a probabilidade de que a média dos 25 estudantes estivesse entre $0,80 e $1,00. Faça um gráfico da situação e da sombra na área a ser determinada.
7. Explique por que há uma diferença na parte e e na parte f.

Responda

1. \(Χ\)= quantidade de mudanças que os estudantes carregam
2. \(Χ \sim E(0.88, 0.88)\)
3. \(\overline X\)= quantidade média de mudança realizada por uma amostra de 25 estudantes.
4. \(\overline X \sim N(0.88, 0.176)\)
5. \(0.0819\)
6. \(0.1882\)
7. As distribuições são diferentes. A parte 1 é exponencial e a parte 2 é normal.

50.

Suponha que a distância das bolas voadoras atingidas no campo externo (no beisebol) seja normalmente distribuída com uma média de 250 pés e um desvio padrão de 50 pés. Nós amostramos aleatoriamente 49 bolas voadoras.

1. Se\(\overline X\) = distância média em pés para 49 bolas voadoras, então\(\overline X \sim\) _______ (_______, _______)
2. Qual é a probabilidade de que as 49 bolas tenham percorrido em média menos de 240 pés? Esboce o gráfico. Dimensione o eixo horizontal para\(\overline X\). Sombreie a região correspondente à probabilidade. Encontre a probabilidade.
3. Encontre o 80º percentil da distribuição da média de 49 bolas voadoras.

51.

De acordo com a Receita Federal, o tempo médio para um indivíduo preencher (manter registros, aprender, preparar, copiar, montar e enviar) o Formulário 1040 do IRS é de 10,53 horas (sem nenhum cronograma anexado). A distribuição é desconhecida. Vamos supor que o desvio padrão seja de duas horas. Suponha que façamos uma amostra aleatória de 36 contribuintes.

1. Em palavras,\(Χ =\) _____________
2. Em palavras,\(\overline X\) = _____________
3. \(\overline X \sim\)_____ (_____, _____)
4. Você ficaria surpreso se os 36 contribuintes concluíssem o Formulário 1040 em uma média de mais de 12 horas? Explique por que ou por que não em frases completas.
5. Você ficaria surpreso se um contribuinte concluísse o Formulário 1040 em mais de 12 horas? Em uma frase completa, explique o porquê.

52.

Suponha que uma categoria de corredores de classe mundial corra uma maratona (26 milhas) em uma média de 145 minutos com um desvio padrão de 14 minutos. Considere 49 das corridas. Deixe\(\overline X\) a média das 49 corridas.

1. \(\overline X \sim\)_____ (_____, _____)
2. Encontre a probabilidade de o corredor ter uma média entre 142 e 146 minutos nessas 49 maratonas.
3. Encontre o\(80^{th}\) percentil para a média dessas 49 maratonas.
4. Encontre a mediana dos tempos médios de execução.

53.

A duração das músicas na coleção de álbuns do iTunes de um colecionador é distribuída uniformemente de dois a 3,5 minutos. Suponha que escolhamos aleatoriamente cinco álbuns da coleção. Há um total de 43 músicas nos cinco álbuns.

1. Em palavras,\(Χ\) = _________
2. \(Χ \sim\)_____________
3. Em palavras,\(\overline X\) = _____________
4. \(\overline X \sim\)_____ (_____, _____)
5. Encontre o primeiro quartil para a duração média da música.
6. O\(IQR\) (intervalo interquartil) para a duração média da música é de _______—_______.

54.

Em 1940, o tamanho médio de uma fazenda nos EUA era de 174 acres. Digamos que o desvio padrão seja de 55 acres. Suponha que pesquisemos aleatoriamente 38 agricultores de 1940.

1. Em palavras,\(Χ\) = _____________
2. Em palavras,\(\overline X\) = _____________
3. \(\overline X \sim\)_____ (_____, _____)
4. O\(IQR\) for\(\overline X\) é de _______ acres a _______ acres.

55.

Determine quais das seguintes opções são verdadeiras e quais são falsas. Então, em frases completas, justifique suas respostas.

1. Quando o tamanho da amostra é grande, a média de\(\overline X\) é aproximadamente igual à média de\(Χ\).
2. Quando o tamanho da amostra é grande,\(\overline X\) é distribuído aproximadamente normalmente.
3. Quando o tamanho da amostra é grande, o desvio padrão de\(\overline X\) é aproximadamente o mesmo que o desvio padrão de\(Χ\).

56.

A porcentagem de calorias gordas que uma pessoa nos Estados Unidos consome todos os dias é normalmente distribuída com uma média de cerca de 36 e um desvio padrão de cerca de dez. Suponha que 16 indivíduos sejam escolhidos aleatoriamente. Let\(\overline X\) = porcentagem média de calorias de gordura.

1. \(\overline X \sim\)______ (______, ______)
2. Para o grupo de 16, determine a probabilidade de que a porcentagem média de calorias gordas consumidas seja superior a cinco. Faça um gráfico da situação e da sombra na área a ser determinada.
3. Encontre o primeiro quartil para a porcentagem média de calorias de gordura.

57.

A distribuição de renda em alguns países do Terceiro Mundo é considerada em forma de cunha (muitas pessoas muito pobres, muito poucas pessoas de renda média e ainda menos pessoas ricas). Suponha que escolhamos um país com uma distribuição em forma de cunha. Deixe o salário médio ser de $2.000 por ano com um desvio padrão de $8.000. Pesquisamos aleatoriamente 1.000 residentes desse país.

1. Em palavras,\(Χ\) = _____________
2. Em palavras,\(\overline X\) = _____________
3. \(\overline X \sim\)_____ (_____, _____)
4. Como é possível que o desvio padrão seja maior que a média?
5. Por que é mais provável que a média dos 1.000 residentes seja de $2.000 a $2.100 do que de $2.100 a $2.200?

58.

Qual das afirmações a seguir NÃO É VERDADEIRA sobre a distribuição das médias?

1. A média, a mediana e o modo são iguais.
2. A área abaixo da curva é uma.
3. A curva nunca toca o eixo x.
4. A curva está inclinada para a direita.

59.

O custo da gasolina sem chumbo na Bay Area já seguiu uma distribuição desconhecida com uma média de $4,59 e um desvio padrão de $0,10. Dezesseis postos de gasolina da Bay Area são escolhidos aleatoriamente. Estamos interessados no custo médio da gasolina para os 16 postos de gasolina. A distribuição a ser usada para o custo médio da gasolina para os 16 postos de gasolina é:

uma.\(\overline X \sim N(4.59, 0.10)\)

b.\(\overline X \sim N\left(4.59, \frac{0.10}{\sqrt{16}}\right)\)

c.\(\overline X \sim N\left(4.59, \frac{16}{0.10}\right)\)

d.\(\overline X \sim N\left(4.59, \frac{\sqrt{16}}{0.10}\right)\)

Usando o Teorema do Limite Central

60.

Uma grande população de 5.000 estudantes faz um teste prático para se preparar para um teste padronizado. A média da população é de 140 questões corretas e o desvio padrão é 80. Que tamanho de amostras um pesquisador deve tomar para obter uma distribuição das médias das amostras com um desvio padrão de 10?

61.

Uma grande população tem dados distorcidos com uma média de 70 e um desvio padrão de 6. Amostras de tamanho 100 são coletadas e a distribuição das médias dessas amostras é analisada.

1. A distribuição das médias estará mais próxima de uma distribuição normal do que a distribuição da população?
2. A média das médias das amostras permanecerá próxima de 70?
3. A distribuição das médias terá um desvio padrão menor?
4. O que é esse desvio padrão?

62.

Um pesquisador está analisando dados de uma grande população com um desvio padrão muito grande. Para concentrar as informações, o pesquisador decide amostrar repetidamente os dados e usar a distribuição das médias das amostras? O primeiro esforço usou um tamanho amostral de 100. Mas o desvio padrão era quase o dobro do valor que o pesquisador queria. Quais são as amostras de menor tamanho que o pesquisador pode usar para solucionar o problema?

63.

Um pesquisador analisa um grande conjunto de dados e conclui que a população tem um desvio padrão de 40. Usando tamanhos amostrais de 64, o pesquisador é capaz de focar a média das médias da amostra em uma distribuição mais estreita, onde o desvio padrão é 5. Então, o pesquisador percebe que houve um erro nos cálculos originais, e o desvio padrão inicial é na verdade 20. Como o desvio padrão das médias das amostras foi obtido usando o desvio padrão original, esse valor também é impactado pela descoberta do erro. Qual é o valor correto do desvio padrão das médias das amostras?

64.

Uma população tem um desvio padrão de 50. É amostrado com amostras de tamanho 100. Qual é a variância das médias das amostras?

O teorema do limite central para proporções

65.

Um fazendeiro colhe abóboras em um grande campo. O fazendeiro faz amostras de 260 abóboras e as inspeciona. Se uma em cada cinquenta abóboras não estiver apta para o mercado e será guardada para sementes, qual é o desvio padrão da média da distribuição amostral das proporções da amostra?

66.

Uma loja pesquisa os clientes para ver se eles estão satisfeitos com o serviço que receberam. Amostras de 25 pesquisas são coletadas. Uma em cada cinco pessoas está insatisfeita. Qual é a variância da média da distribuição amostral das proporções da amostra para o número de clientes insatisfeitos? Qual é a variação para clientes satisfeitos?

67.

Uma empresa faz uma pesquisa anônima a seus funcionários para ver qual porcentagem de funcionários está satisfeita. A empresa é muito grande para verificar cada resposta, então amostras de 50 são coletadas, e a tendência é que três quartos dos funcionários estejam satisfeitos. Para a média da distribuição amostral das proporções amostrais, responda às seguintes perguntas, se o tamanho da amostra for dobrado.

1. Como isso afeta a média?
2. Como isso afeta o desvio padrão?
3. Como isso afeta a variação?

68.

Um pesquisador faz uma única pergunta com apenas sim e não como possibilidades de resposta. A pesquisa é realizada em todo o país, então amostras de 100 respostas são coletadas. Existem quatro respostas sim para cada resposta negativa no geral. Para a média da distribuição amostral das proporções amostrais, encontre o seguinte para respostas sim.

1. O valor esperado.
2. O desvio padrão.
3. A variação.

69.

A média da distribuição amostral das proporções amostrais tem um valor\(p\) de 0,3 e o tamanho da amostra de 40.

1. Existe uma diferença no valor esperado se\(p\) e nas funções\(q\) invertidas?
2. Existe uma diferença no cálculo do desvio padrão com a mesma reversão?

Fator de correção de população finita

70.

Uma empresa tem 1.000 funcionários. O número médio de dias úteis entre as ausências por doença é 80 com um desvio padrão de 11 dias. Amostras de 80 funcionários são examinadas. Qual é a probabilidade de uma amostra ter uma média de dias de trabalho sem ausência por doença de pelo menos 78 dias e no máximo 84 dias?

71.

Os caminhões passam por uma escala automática que monitora 2.000 caminhões. Essa população de caminhões tem um peso médio de 20 toneladas com um desvio padrão de 2 toneladas. Se uma amostra de 50 caminhões for coletada, qual é a probabilidade de a amostra ter um peso médio dentro de meia tonelada da média da população?

72.

Uma cidade mantém registros meteorológicos. A partir desses registros, foi determinado que chove em média 12% dos dias de cada ano. Se 30 dias forem selecionados aleatoriamente a partir de um ano, qual é a probabilidade de no máximo 3 dias chover?

73.

Um fabricante de cartões comemorativos tem um problema de tinta que faz com que a tinta fique manchada em 7% dos cartões. A produção diária é de 500 cartões. Qual é a probabilidade de que, se uma amostra de 35 cartas for marcada, haverá tinta borrada em no máximo 5 cartas?

74.

Uma escola tem 500 alunos. Normalmente, há uma média de 20 estudantes que estão ausentes. Se uma amostra de 30 alunos for coletada em um determinado dia, qual é a probabilidade de que pelo menos 2 alunos da amostra estejam ausentes?