7.2: Usando o Teorema do Limite Central

Exemplos do Teorema do Limite Central

Lei dos Grandes Números

A lei dos grandes números diz que se você coletar amostras de tamanho cada vez maior de qualquer população, então a média da distribuição da amostra\(\mu_{\overline x}\) tende a se aproximar cada vez mais da média real da população,\(\mu\). A partir do Teorema do Limite Central, sabemos que, à medida que\(n\) se torna cada vez maior, as médias da amostra seguem uma distribuição normal. Quanto maior for n, menor será o desvio padrão da distribuição de amostragem. (Lembre-se de que o desvio padrão para a distribuição amostral de\(\overline X\) é\(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).) Isso significa que a média da amostra\(\overline x\) deve estar mais próxima da média da população à\(\mu\) medida que\(n\) aumenta. Podemos dizer que esse\(\mu\) é o valor que a amostra significa se aproximar à medida que n aumenta. O Teorema do Limite Central ilustra a lei dos grandes números.

Esse conceito é tão importante e desempenha um papel tão crítico no que se segue que merece ser desenvolvido ainda mais. De fato, existem duas questões críticas que decorrem do Teorema do Limite Central e da aplicação da Lei dos Grandes Números a ele. Esses são

1. A função de densidade de probabilidade da distribuição amostral de médias é normalmente distribuída independentemente da distribuição subjacente das observações da população e
2. o desvio padrão da distribuição amostral diminui à medida que o tamanho das amostras que foram usadas para calcular as médias para a distribuição amostral aumenta.

Colocando-os em ordem. Parece contra-intuitivo que a população possa ter qualquer distribuição e a distribuição dos meios provenientes dela seja normalmente distribuída. Com o uso de computadores, experimentos podem ser simulados que mostram o processo pelo qual a distribuição da amostra muda à medida que o tamanho da amostra aumenta. Essas simulações mostram visualmente os resultados da prova matemática do Teorema do Limite Central.

Aqui estão três exemplos de distribuições populacionais muito diferentes e a evolução da distribuição amostral para uma distribuição normal à medida que o tamanho da amostra aumenta. O painel superior nesses casos representa o histograma dos dados originais. Os três painéis mostram os histogramas de 1.000 amostras sorteadas aleatoriamente para diferentes tamanhos amostrais:\(n=10\),\(n= 25\)\(n=50\) e. À medida que o tamanho da amostra aumenta e o número de amostras coletadas permanece constante, a distribuição das médias de 1.000 amostras se aproxima da linha suave que representa a distribuição normal.

A figura\(\PageIndex{3}\) é para uma distribuição normal de observações individuais e esperaríamos que a distribuição amostral convergisse para o normal rapidamente. Os resultados mostram isso e mostram que, mesmo em um tamanho amostral muito pequeno, a distribuição está próxima da distribuição normal.

Figura\(\PageIndex{3}\)

A figura\(\PageIndex{4}\) é uma distribuição uniforme que, surpreendentemente, rapidamente se aproximou da distribuição normal, mesmo com apenas uma amostra de 10.

Figura\(\PageIndex{4}\)

A figura\(\PageIndex{5}\) é uma distribuição distorcida. Este último pode ser exponencial, geométrico ou binomial com uma pequena probabilidade de sucesso criando a distorção na distribuição. Para distribuições distorcidas, nossa intuição diria que isso exigirá tamanhos de amostra maiores para passar para uma distribuição normal e, de fato, é isso que observamos na simulação. No entanto, com um tamanho amostral de 50, não considerado uma amostra muito grande, a distribuição das médias amostrais adquiriu decididamente a forma da distribuição normal.

Figura\(\PageIndex{5}\)

O Teorema do Limite Central fornece mais do que a prova de que a distribuição amostral das médias é normalmente distribuída. Também nos fornece a média e o desvio padrão dessa distribuição. Além disso, conforme discutido acima, o valor esperado da média\(\mu_{\overline{x}}\),, é igual à média da população dos dados originais, que é o que estamos interessados em estimar a partir da amostra que coletamos. Já inserimos essa conclusão do Teorema do Limite Central na fórmula que usamos para padronizar desde a distribuição amostral até a distribuição normal padrão. E, finalmente, o Teorema do Limite Central também forneceu o desvio padrão da distribuição amostral\(\sigma_{\overline{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\),, e isso é fundamental para calcular as probabilidades dos valores da nova variável aleatória,\(\overline x\).

A figura\(\PageIndex{6}\) mostra uma distribuição amostral. A média foi marcada no eixo horizontal dos\(\overline X\) s e o desvio padrão foi escrito à direita acima da distribuição. Observe que o desvio padrão da distribuição amostral é o desvio padrão original da população, dividido pelo tamanho da amostra. Já vimos que, à medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição da amostra se torna cada vez mais próxima da distribuição normal. Quando isso acontece, o desvio padrão da distribuição amostral muda de outra forma; o desvio padrão diminui à medida que\(n\) aumenta. Em muito, muito grande\(n\), o desvio padrão da distribuição amostral se torna muito pequeno e, no infinito, ele colapsa sobre a média da população. Isso é o que significa que o valor esperado de\(\mu_{\overline{x}}\) é a média da população,\(\mu\).

Figura\(\PageIndex{6}\)

Em valores não extremos de\(n\), essa relação entre o desvio padrão da distribuição da amostra e o tamanho da amostra desempenha um papel muito importante em nossa capacidade de estimar os parâmetros nos quais estamos interessados.

A figura\(\PageIndex{7}\) mostra três distribuições de amostragem. A única alteração feita foi o tamanho da amostra que foi usado para obter as médias amostrais para cada distribuição. À medida que o tamanho da amostra aumenta,\(n\) vai de 10 para 30 para 50, os desvios padrão das respectivas distribuições de amostragem diminuem porque o tamanho da amostra está no denominador dos desvios padrão das distribuições amostrais.

Figura\(\PageIndex{7}\)

As implicações para isso são muito importantes. A figura\(\PageIndex{8}\) mostra o efeito do tamanho da amostra na confiança que teremos em nossas estimativas. Essas são duas distribuições de amostragem da mesma população. Uma distribuição amostral foi criada com amostras de tamanho 10 e a outra com amostras de tamanho 50. Todas as outras coisas constantes, a distribuição de amostragem com tamanho amostral 50 tem um desvio padrão menor que faz com que o gráfico seja maior e mais estreito. O efeito importante disso é que, para a mesma probabilidade de um desvio padrão da média, essa distribuição cobre muito menos uma faixa de valores possíveis do que a outra distribuição. Um desvio padrão é marcado no\(\overline X\) eixo de cada distribuição. Isso é mostrado pelas duas setas que são mais ou menos um desvio padrão para cada distribuição. Se a probabilidade de que a média verdadeira esteja a um desvio padrão da média, então, para a distribuição amostral com o menor tamanho amostral, a possível faixa de valores é muito maior. Uma pergunta simples é: você prefere ter uma média amostral da distribuição estreita e restrita ou a distribuição plana e ampla como estimativa da média da população? Sua resposta nos diz por que as pessoas sempre escolhem intuitivamente dados de uma amostra grande em vez de uma amostra pequena. A média da amostra que eles estão obtendo vem de uma distribuição mais compacta. Esse conceito será a base para o que será chamado de nível de confiança na próxima unidade.

Figura\(\PageIndex{8}\)