6.1: A distribuição normal padrão
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A distribuição normal padrão é uma distribuição normal de valores padronizados chamados escores-z. A pontuação z é medida em unidades do desvio padrão.
A média da distribuição normal padrão é zero e o desvio padrão é um. O que isso faz é simplificar drasticamente o cálculo matemático das probabilidades. Reserve um momento e substitua zero e um nos lugares apropriados na fórmula acima e você poderá ver que a equação se transforma em uma que pode ser resolvida com muito mais facilidade usando o cálculo integral. A transformação\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\) produz a distribuição\(Z \sim N(0, 1)\). O valor\(x\) na equação dada vem de uma distribuição normal conhecida com média\(\mu\) e desvio padrão conhecidos\(\sigma\). A pontuação z indica quantos desvios padrão um determinado determinado\(x\) está distante da média.
Pontuações Z
Se\(X\) for uma variável aleatória normalmente distribuída e\(X \sim N(\mu, \sigma)\), então a pontuação z para uma determinada variável\(x\) é:
\[z=\frac{x-\mu}{\sigma}\nonumber\]
A pontuação z indica quantos desvios padrão o valor\(\bf{x}\) está acima (à direita) ou abaixo (à esquerda) da média,\(\bf{\mu}\). Valores maiores do\(x\) que a média têm escores z positivos, e valores menores do\(x\) que a média têm escores z negativos. Se x for igual à média, então x tem uma pontuação z de zero.
Exemplo\(\PageIndex{1}\)
Suponha\(X \sim N(5, 6)\). Isso diz que\(X\) é uma variável aleatória normalmente distribuída com média\(\mu = 5\) e desvio padrão\(\sigma = 6\). Suponha\(x = 17\). Então:
\[z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{17-5}{6}=2\nonumber\]
Isso significa que\(x = 17\) há dois desvios padrão\((2\sigma)\) acima ou à direita da média\(\mu = 5\).
Agora, suponha\(x = 1\). Então:\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{1-5}{6}=-0.67\) (arredondado para duas casas decimais)
Isso significa que\(\bf{x = 1}\) é 0,67 desvios padrão\(\bf{(–0.67\sigma)}\) abaixo ou à esquerda da média\(\bf{\mu = 5}\).
A regra empírica
Se\(X\) for uma variável aleatória e tiver uma distribuição normal com média\(\mu\) e desvio padrão\(\sigma\), a Regra Empírica afirma o seguinte:
- Cerca de 68% dos\(x\) valores estão entre\(–1\sigma\) e\(+1\sigma\) da média\(\mu\) (dentro de um desvio padrão da média).
- Cerca de 95% dos\(x\) valores estão entre\(–2\sigma\) e\(+2\sigma\) da média\(\mu\) (dentro de dois desvios padrão da média).
- Cerca de 99,7% dos\(x\) valores estão entre\(–3\sigma\) e\(+3\sigma\) da média\(\mu\) (dentro de três desvios padrão da média). Observe que quase todos os valores de x estão dentro de três desvios padrão da média.
- As pontuações z para\(+1\sigma\) e\(–1\sigma\) são\(+1\) e\(–1\), respectivamente.
- As pontuações z para\(+2\sigma\) e\(–2\sigma\) são\(+2\) e\(–2\), respectivamente.
- As pontuações z para\(+3\sigma\) e\(–3\sigma\) são\(+3\) e\(–3\) respectivamente.
Exemplo\(\PageIndex{1}\)
Suponha que\(x\) tenha uma distribuição normal com média 50 e desvio padrão 6.
- Cerca de 68% dos\(x\) valores estão dentro de um desvio padrão da média. Portanto, cerca de 68% dos\(x\) valores estão entre\(–1\sigma = (–1)(6) = –6\) e\(1\sigma = (1)(6) = 6\) da média de 50. Os valores\(50 – 6 = 44\) e\(50 + 6 = 56\) estão dentro de um desvio padrão da média de 50. As pontuações z são —1 e +1 para 44 e 56, respectivamente.
- Cerca de 95% dos\(x\) valores estão dentro de dois desvios padrão da média. Portanto, cerca de 95% dos\(x\) valores estão entre\(–2\sigma = (–2)(6) = –12\)\(2\sigma = (2)(6) = 12\) e. Os valores\(50 – 12 = 38\) e\(50 + 12 = 62\) estão dentro de dois desvios padrão da média de 50. As pontuações z são —2 e +2 para 38 e 62, respectivamente.
- Cerca de 99,7% dos\(x\) valores estão dentro de três desvios padrão da média. Portanto, cerca de 99,7% dos\(x\) valores estão entre\(–3\sigma = (–3)(6) = –18\) e\(3\sigma = (3)(6) = 18\) da média de 50. Os valores\(50 – 18 = 32\)\(50 + 18 = 68\) estão dentro de três desvios padrão da média de 50. As pontuações z são —3 e +3 para 32 e 68, respectivamente.