3.5: Diagramas de Venn
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Um diagrama de Venn é uma imagem que representa os resultados de um experimento. Geralmente consiste em uma caixa que representa o espaço amostral S junto com círculos ou ovais. Os círculos ou ovais representam eventos. Os diagramas de Venn também nos ajudam a converter palavras comuns em inglês em termos matemáticos que ajudam a aumentar a precisão.
Os diagramas de Venn receberam o nome de seu inventor, John Venn, professor de matemática em Cambridge e ministro anglicano. Seu trabalho principal foi realizado no final da década de 1870 e deu origem a todo um ramo da matemática e a uma nova maneira de abordar questões de lógica. Desenvolveremos as regras de probabilidade que acabamos de abordar usando essa maneira poderosa de demonstrar os postulados de probabilidade, incluindo a Regra de Adição, Regra de Multiplicação, Regra do Complemento, Independência e Probabilidade Condicional.
Exemplo 3.27
Suponha que um experimento tenha os resultados 1, 2, 3,..., 12 em que cada resultado tenha uma chance igual de ocorrer. Deixe evento\(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) e evento\(B = \{6, 7, 8, 9\}\). Em seguida,\(A\) cruzar\(B = A \cap B=\{6\}\) e\(A\) unir\(B = A\cup B=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). O diagrama de Venn é o seguinte:
A Figura 3.6 mostra a relação mais básica entre esses números. Primeiro, os números estão em grupos chamados conjuntos; conjunto A e conjunto B. Alguns números estão em ambos os conjuntos; dizemos no conjunto A\(\cap \) no conjunto B. A palavra em inglês “e” significa inclusivo, significando ter as características de A e B, ou, neste caso, fazer parte de A e B. Essa condição é chamada de INTERSEÇÃO de os dois conjuntos. Todos os membros que fazem parte de ambos os conjuntos constituem a interseção dos dois conjuntos. A interseção é escrita como\(A\cap B\) onde\(\cap\) está o símbolo matemático da interseção. A declaração A\ cap BA\ cap B é lida como “A intersect B.” Você pode se lembrar disso pensando na interseção de duas ruas.
Há também aqueles números que formam um grupo que, para ser membro, o número deve estar em um ou outro grupo. O número não precisa estar em AMBOS os grupos, mas apenas em qualquer um dos dois. Esses números são chamados de UNIÃO dos dois conjuntos e, nesse caso, são os números de 1 a 5 (exclusivamente de A), 7 a 9 (exclusivamente do conjunto B) e também 6, que está em ambos os conjuntos A e B. O símbolo da UNIÃO é\(\cup \), portanto,\(A\cup B=\) números de 1 a 9, mas exclui os números 10, 11 e 12. Os valores 10, 11 e 12 fazem parte do universo, mas não estão em nenhum dos dois conjuntos.
Traduzir a palavra inglesa “AND” para o símbolo lógico matemático\ cap, interseção e a palavra “OR” para o símbolo matemático\ cup, union, fornece uma maneira muito precisa de discutir as questões de probabilidade e lógica. A terminologia geral para as três áreas do diagrama de Venn na Figura 3.6 é mostrada na Figura 3.7.
Exercício 3.27
Suponha que um experimento tenha resultados em preto, branco, vermelho, laranja, amarelo, verde, azul e roxo, onde cada resultado tem a mesma chance de ocorrer. Seja o evento C = {verde, azul, roxo} e o evento P = {vermelho, amarelo, azul}. Em seguida\(C\cap P=\{blue\}\),\(C \cup P=\{\text { green, blue, purple, red, yellow }\}\) e. Desenhe um diagrama de Venn representando essa situação.
Exemplo 3.28
Jogue duas moedas justas. Seja A = coroa na primeira moeda. Seja B = caudas na segunda moeda. Então A = {TT, TH} e B = {TT, HT}. Portanto,\(A\cap B=\{TT\}\). \(A\cup B=\{TH, TT, HT\}\).
O espaço da amostra quando você joga duas moedas justas é X = {HH, HT, TH, TT}. O resultado HH está em NEM A NEM B. O diagrama de Venn é o seguinte:
Exercício 3.28
Lance um dado justo de seis lados. Seja A = um número primo de pontos é lançado. Seja B = um número ímpar de pontos é lançado. Então A= {2, 3, 5} e B = {1, 3, 5}. Portanto,\(A\cap B=\{3, 5\}\). \(A\cup B=\{1, 2, 3, 5\}\). O espaço amostral para rolar um dado justo é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Desenhe um diagrama de Venn representando essa situação.
Exemplo 3.29
Uma pessoa com sangue tipo O e fator Rh negativo (Rh-) pode doar sangue para qualquer pessoa com qualquer tipo sanguíneo. Quatro por cento dos afro-americanos têm sangue tipo O e um fator RH negativo, 5 a 10% dos afro-americanos têm o fator Rh e 51% têm sangue tipo O.
O círculo “O” representa os afro-americanos com sangue tipo O. O oval “Rh- “representa os afro-americanos com o fator Rh-.
Vamos pegar a média de 5% e 10% e usar 7,5% como a porcentagem de afro-americanos que têm o fator Rh. Seja O = afro-americano com sangue tipo O e R = afro-americano com fator Rh.
- P (O) = ___________
- P (R) = ___________
- \(P(O\cap R)=\)___________
- \(P(O\cup R)=\)____________
- No Diagrama de Venn, descreva a área sobreposta usando uma frase completa.
- No Diagrama de Venn, descreva a área no retângulo, mas fora do círculo e do oval usando uma frase completa.
- Responda
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Solução 3.29
a. 0,51; b. 0,075; c. 0,04; d. 0,545; e. A área representa os afro-americanos que têm sangue tipo O e o fator Rh. f. A área representa os afro-americanos que não têm sangue tipo O nem fator Rh.
Exemplo 3.30
Cinquenta por cento dos trabalhadores de uma fábrica trabalham em um segundo emprego, 25% têm um cônjuge que também trabalha, 5% trabalham em um segundo emprego e têm um cônjuge que também trabalha. Desenhe um diagrama de Venn mostrando os relacionamentos. Seja W = trabalha em um segundo emprego e S = cônjuge também trabalha.
- Responda
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Quarenta por cento dos estudantes de uma faculdade local pertencem a um clube e 50% trabalham em tempo parcial. Cinco por cento dos estudantes trabalham a tempo parcial e pertencem a um clube. Desenhe um diagrama de Venn mostrando os relacionamentos. Seja C = estudante pertencer a um clube e PT = estudante trabalhar a tempo parcial.
Figura 3.9 Se um aluno for selecionado aleatoriamente, encontre
- a probabilidade de o aluno pertencer a um clube. P (C) = 0,40
- a probabilidade de o aluno trabalhar a tempo parcial. P (PT) = 0,50
- a probabilidade de o aluno pertencer a um clube E trabalhar a tempo parcial. \(P(C\cap PT)=0.05\)
- a probabilidade de o aluno pertencer a um clube, uma vez que o aluno trabalha a tempo parcial. \(P(C | P T)=\frac{P(C \cap P T)}{P(P T)}=\frac{0.05}{0.50}=0.1\)
- a probabilidade de o aluno pertencer a um clube OU trabalhar a tempo parcial. \(P(C \cup P T)=P(C)+P(P T)-P(C \cap P T)=0.40+0.50-0.05=0.85\)
Para resolver o Exemplo 3.30, tivemos que nos basear no conceito de probabilidade condicional da seção anterior. Lá, usamos diagramas de árvore para rastrear as mudanças nas probabilidades, porque o espaço amostral mudou à medida que desenhamos sem substituição. Em resumo, a probabilidade condicional é a chance de que algo aconteça, uma vez que algum outro evento já aconteceu. Dito de outra forma, a probabilidade de que algo aconteça condicionada à situação de que outra coisa também seja verdadeira. No Exemplo 3.30, a probabilidade P (C||PT) é a probabilidade condicional de que o aluno sorteado aleatoriamente seja membro do clube, condicionada ao fato de o aluno também estar trabalhando em tempo parcial. Isso nos permite ver a relação entre os diagramas de Venn e os postulados de probabilidade.
Exercício 3.30
Em uma livraria, a probabilidade de o cliente comprar um romance é de 0,6 e a probabilidade de o cliente comprar um livro de não ficção é de 0,4. Suponha que a probabilidade de o cliente comprar os dois seja de 0,2.
- Desenhe um diagrama de Venn representando a situação.
- Descubra a probabilidade de o cliente comprar um romance ou um livro de não ficção.
- No diagrama de Venn, descreva a área sobreposta usando uma frase completa.
- Suponha que alguns clientes comprem apenas discos compactos. Desenhe um oval em seu diagrama de Venn representando esse evento.
Exemplo 3.31
Um conjunto de 20 cães pastores alemães é observado. 12 são machos, 8 são fêmeas, 10 têm alguma coloração marrom e 5 têm algumas seções brancas de pêlo. Responda ao seguinte usando diagramas de Venn.
Desenhe um diagrama de Venn mostrando simplesmente os conjuntos de cães machos e fêmeas.
- Responda
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Solução 3.31
O diagrama de Venn abaixo demonstra a situação de eventos mutuamente exclusivos em que os resultados são eventos independentes. Se um cachorro não pode ser macho e fêmea, não há interseção. Ser homem impede ser mulher e ser mulher impede ser homem: neste caso, o gênero característico é, portanto, mutuamente exclusivo. Um diagrama de Venn mostra isso como dois conjuntos sem interseção. Diz-se que a interseção é o conjunto nulo usando o símbolo matemático.
Figura 3.10
- Responda
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Solução 3.31
O diagrama de Venn abaixo mostra a sobreposição entre homem e marrom, onde o número 10 é colocado nele. Isso representa\(\text{ Male}\cap \text{Brown }\): masculino e pardo. Essa é a interseção dessas duas características. Para obter a união de Male e Brown, então são simplesmente as duas áreas circuladas menos a sobreposição. Em termos adequados, nos\( \text{ Male}\cup \text{ Brown }=\text { Male }+\text { Brown }-\text { Male } \cap \text { Brown}\) dará o número de cães na união desses dois conjuntos. Se não subtraíssemos a interseção, teríamos contado duas vezes alguns dos cães.
Figura 3.11
Desenhe um segundo diagrama de Venn ilustrando que 10 dos cães machos têm coloração marrom.
- Responda
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Solução 3.31
Figura 3.12
Agora desenhe uma situação representando um cenário em que a região não sombreada represente “Sem pêlo branco e fêmea” ou fêmea de pêlo branco. o primo acima de “pêlo” indica “pele não branca”. O primo acima de um conjunto significa que não está nesse conjunto, por exemplo,\(\mathrm{A}^{\prime}\) significa não\(\mathrm{A}\). Às vezes, a notação usada é uma linha acima da letra. Por exemplo,\(\overline{A}=\mathrm{A}^{\prime}\).
A regra de adição de probabilidade
Conhecemos a regra de adição mais cedo, mas sem a ajuda dos diagramas de Venn. Os diagramas de Venn ajudam a visualizar o processo de contagem que é inerente ao cálculo da probabilidade. Para reafirmar a Regra de Probabilidade de Adição:
\[P(A \cup B)=P(\mathrm{A})+P(B)-P(A \cap B)\nonumber\]
Lembre-se de que a probabilidade é simplesmente a proporção dos objetos nos quais estamos interessados em relação ao número total de objetos. É por isso que podemos ver a utilidade dos diagramas de Venn. O exemplo 3.31 mostra como podemos usar diagramas de Venn para contar o número de cães na união de pardos e machos, lembrando-nos de subtrair a interseção de marrom e macho. Podemos ver o efeito disso diretamente nas probabilidades na regra de adição.
Exemplo 3.32
Vamos fazer uma amostra de 50 alunos que estão em uma aula de estatística. 20 são calouros e 30 estão no segundo ano. 15 alunos recebem um “B” no curso e 5 alunos recebem um “B” e são calouros.
Encontre a probabilidade de selecionar um aluno que ganhe um “B” OU seja um calouro. Estamos traduzindo a palavra OR para o símbolo matemático da regra de adição, que é a união dos dois conjuntos.
- Responda
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Solução 3.32
Sabemos que há 50 estudantes em nossa amostra, então conhecemos o denominador de nossa fração para nos dar probabilidade. Precisamos apenas encontrar o número de alunos que atendam às características nas quais estamos interessados, ou seja, qualquer calouro e qualquer aluno que tenha obtido uma nota “B”. Com a Regra de Adição de Probabilidade, podemos pular diretamente para probabilidades.
Seja “A” = o número de calouros e “B” = a nota “B.” Abaixo, podemos ver o processo de uso dos diagramas de Venn para resolver isso.
O\(P(A)=\frac{20}{50}=0.40, P(B)=\frac{15}{50}=0.30, \text { and } P(A \cap B)=\frac{5}{50}=0.10\)
Portanto,\(P(A \cap B)=0.40+0.30-0.10=0.60\)
Figura 3.13 Se dois eventos são mutuamente exclusivos, então, como no exemplo em que diagramamos os cães machos e fêmeas, a regra de adição é simplificada para apenas\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)−0\). Isso é verdade porque, como vimos anteriormente, a união de eventos mutuamente exclusivos é o conjunto nulo, ≠. Os diagramas abaixo demonstram isso.
Figura 3.14
A regra de multiplicação da probabilidade
Reafirmando a Regra de Probabilidade de Multiplicação usando a notação dos diagramas de Venn, temos:
\[P(A\cap B)=P(A|B)⋅P(B)\nonumber\]
A regra de multiplicação pode ser modificada com um pouco de álgebra na seguinte regra condicional. Em seguida, os diagramas de Venn podem então ser usados para demonstrar o processo.
A regra condicional:\(P(A | B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
Usando os mesmos fatos do Exemplo 3.32 acima, encontre a probabilidade de alguém ganhar um “B” se for um “calouro”.
\[P(A | B)=\frac{0.10}{0.30}=\frac{1}{3}\nonumber\]
A regra de multiplicação também deve ser alterada se os dois eventos forem independentes. Eventos independentes são definidos como uma situação em que a probabilidade condicional é simplesmente a probabilidade do evento de interesse. Formalmente, a independência dos eventos é definida como\(P(A|B)=P(A)\) ou\(P(B|A)=P(B)\). Ao jogar moedas, o resultado da segunda jogada é independente do resultado da primeira jogada; as moedas não têm memória. A Regra de Probabilidade de Multiplicação para eventos independentes torna-se assim:
\[P(A\cap B)=P(A)⋅P(B)\nonumber\]
Uma maneira fácil de lembrar isso é considerar o que queremos dizer com a palavra “e”. Vemos que a Regra de Multiplicação traduziu a palavra “e” para a notação de Venn para interseção. Portanto, o resultado deve atender às duas condições de calouro e nota “B” no exemplo acima. É mais difícil, menos provável, atender a duas condições do que apenas uma ou outra. Podemos tentar ver a lógica da Regra de Probabilidade de Multiplicação devido ao fato de que frações multiplicadas uma pela outra se tornam menores.
O desenvolvimento das Regras de Probabilidade com o uso de diagramas de Venn pode ser mostrado para ajudar, pois desejamos calcular probabilidades a partir de dados organizados em uma tabela de contingência.
Exemplo 3.33
A Tabela 3.11 é de uma amostra de 200 pessoas que foram questionadas sobre quanta educação concluíram. As colunas representam a educação mais alta que concluíram, e as fileiras separam os indivíduos por homens e mulheres.
| Menos do que graduado do ensino médio | Graduado do ensino médio | Alguma faculdade | Graduado universitário | Total | |
|---|---|---|---|---|---|
| Masculino | 5 | 15 | 40 | 60 | 120 |
| Feminino | 8 | 12 | 30 | 30 | 80 |
| Total | 13 | 27 | 70 | 90 | 200 |
Agora, podemos usar essa tabela para responder perguntas de probabilidade. Os exemplos a seguir foram desenvolvidos para ajudar a entender o formato acima e, ao mesmo tempo, conectar o conhecimento aos diagramas de Venn e às regras de probabilidade.
Qual é a probabilidade de uma pessoa selecionada ter terminado a faculdade e ser do sexo feminino?
- Responda
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Solução 3.33
Essa é uma tarefa simples de encontrar o valor em que as duas características se cruzam na tabela e, em seguida, aplicar o postulado de probabilidade, que afirma que a probabilidade de um evento é a proporção de resultados que correspondem ao evento no qual estamos interessados como uma proporção de todo o total possível resultados.
\(P(\text {College Grad } \cap \text { Female })=\frac{30}{200}=0.15\)
Qual é a probabilidade de selecionar uma mulher ou alguém que terminou a faculdade?
- Responda
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Solução 3.33
Essa tarefa envolve o uso da regra de adição para resolver essa probabilidade.
\(P(\text { College Grad } \cup \text{ Female })=P(F)+P(C G)-P(F \cap C G)\)
\(P(\text { College Grad } \cup \text{ Female }) =\frac{80}{200}+\frac{90}{200}-\frac{30}{200}=\frac{140}{200}=0.70\)
Qual é a probabilidade de selecionar um graduado do ensino médio se selecionarmos apenas do grupo de homens?
- Responda
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Solução 3.33
Aqui, devemos usar a regra da probabilidade condicional (a regra de multiplicação modificada) para resolver essa probabilidade.
\(P (\text{HS Grad } | \text { Male }）=\frac{P(\mathrm{HS} \text { Grad } \cap \mathrm{Male})}{\mathrm{P}(\mathrm{Male})}=\frac{\left(\frac{15}{200}\right)}{\left(\frac{120}{200}\right)}=\frac{15}{120}=0.125\)
Podemos concluir que o nível de educação alcançado por essas 200 pessoas é independente do sexo da pessoa?
- Responda
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Solução 3.33
Há duas maneiras de abordar esse teste. O primeiro método busca testar se a interseção de dois eventos é igual ao produto dos eventos separadamente, lembrando que se dois eventos são independentes de\(P(A)^{*} P(B)=P(A \cap B)\). Para simplificar, podemos usar os valores calculados acima.
Faz\(P(\text { College Grad } \cap \text { Female })=P(C G) \cdot P(F)\)?
\(\frac{30}{200} \neq \frac{90}{200} \cdot \frac{80}{200}\)porque 0,15 ≠ 0,18.
Portanto, gênero e educação aqui não são independentes.
O segundo método é testar se a probabilidade condicional de A dado B é igual à probabilidade de A. Novamente, para simplificar, podemos usar um valor já calculado acima.
Faz\(P(H S \text { Grad } | \text { Male })=P(H S \text { Grad) }\)?
\(\frac{15}{120} \neq \frac{27}{200}\)porque 0,125 ≠ 0,135.
Portanto, novamente, gênero e educação aqui não são independentes.