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3.4: Tabelas de contingência e árvores de probabilidade

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    Tabelas de contingência

    Uma tabela de contingência fornece uma forma de retratar dados que pode facilitar o cálculo de probabilidades. A tabela ajuda a determinar as probabilidades condicionais com bastante facilidade. A tabela exibe valores de amostra em relação a duas variáveis diferentes que podem ser dependentes ou dependentes uma da outra. Posteriormente, usaremos as tabelas de contingência novamente, mas de outra forma.

    Exemplo\(\PageIndex{20}\)

    Suponha que um estudo sobre violações de velocidade e motoristas que usam telefones celulares tenha produzido os seguintes dados fictícios:

    \ (\ PageIndex {2}\) “>
    Violação por excesso de velocidade no último ano Nenhuma violação de velocidade no último ano Total
    Usa celular enquanto dirige 25 280 305
    Não usa celular enquanto dirige 45 405 450
    Total 70 685 755
    Tabela\(\PageIndex{2}\)

    O número total de pessoas na amostra é 755. Os totais das linhas são 305 e 450. Os totais das colunas são 70 e 685. Observe que 305 + 450 = 755 e 70 + 685 = 755.

    Calcule as seguintes probabilidades usando a tabela.

    a. Encontre P (o motorista é um usuário de telefone celular).

    Responda

    Solução 3.20

    uma.\(\frac{\text { number of cell phone users }}{\text { total number in study }}=\frac{305}{755}\)

    b. Find P (O motorista não cometeu nenhuma violação no último ano).

    Responda

    Solução 3.20

    b.\(\frac{\text { number that had no violation }}{\text { total number in study }}=\frac{685}{755}\)

    c. Find P (O motorista não cometeu nenhuma violação no último ano\(\cap\) foi usuário de telefone celular).

    Responda

    Solução 3.20

    c.\(\frac{280}{755}\)

    d. Find P (O motorista é um usuário de celular que o\(\cup\) motorista não cometeu nenhuma violação no último ano).

    Responda

    Solução 3.20

    d.\(\left(\frac{305}{755}+\frac{685}{755}\right)-\frac{280}{755}=\frac{710}{755}\)

    e. Encontre P (O motorista é um usuário de celular que o\(|\) motorista cometeu uma violação no último ano).

    Responda

    Solução 3.20

    e.\(\frac{25}{70}\) (O espaço da amostra é reduzido ao número de motoristas que cometeram uma violação.)

    f. Find P (O motorista não cometeu nenhuma violação no ano passado, o\(|\) motorista não era usuário de telefone celular)

    Responda

    Solução 3.20

    f.\(\frac{405}{450}\) (O espaço da amostra é reduzido ao número de motoristas que não eram usuários de telefones celulares.)

    Exercício\(\PageIndex{20}\)

    A tabela\(\PageIndex{3}\) mostra o número de atletas que se alongam antes do exercício e quantos sofreram lesões no último ano.

    \ (\ PageIndex {3}\) “>
    Lesão no ano passado Nenhuma lesão no ano passado Total
    Alongamentos 55 295 350
    Não estica 231 219 450
    Total 286 514 800

    Tabela 3.3

    1. O que é P (o atleta se alonga antes do exercício)?
    2. O que é P (o atleta se alonga antes do exercito||nenhuma lesão no último ano)?

    Exemplo\(\PageIndex{21}\)

    A tabela\(\PageIndex{4}\) mostra uma amostra aleatória de 100 caminhantes e as áreas de caminhada que eles preferem.

    \ (\ PageIndex {4}\) Preferência da área de caminhada “>
    Gênero O litoral Perto de lagos e riachos Nos picos das montanhas Total
    Feminino 18 16 ___ 45
    Masculino ___ ___ 14 55
    Total ___ 41 ___ ___

    Tabela 3.4 Preferência de área de caminhada

    a. Complete a tabela.

    Responda

    Solução 3.21

    uma.

    \ (\ PageIndex {5}\) Preferência da área de caminhada “>
    Gênero O litoral Perto de lagos e riachos Nos picos das montanhas Total
    Feminino 18 16 11 45
    Masculino 16 25 14 55
    Total 34 41 25 100
    Preferência de área\(\PageIndex{5}\) para caminhadas de

    b. Os eventos “ser feminino” e “preferir o litoral” são eventos independentes?

    Seja F = ser mulher e C = preferindo o litoral.

    1. Encontre\(P(F\cap C)\).
    2. Encontre P (F) P (C)

    Esses dois números são iguais? Se forem, então F e C são independentes. Se não forem, então F e C não são independentes.

    Responda

    Solução 3.21

    b.

    1. \(P(F\cap C)=\frac{18}{100}\)= 0,18
    2. P (F) P (C)\(\left(\frac{45}{100}\right)\left(\frac{34}{100}\right)\) = (0,45) (0,34) = 0,153

    \(P(F\cap C)\)≠ P (F) P (C), então os eventos F e C não são independentes.

    c. Determine a probabilidade de uma pessoa ser do sexo masculino, já que prefere caminhar perto de lagos e riachos. Seja M = ser homem, e deixe L = preferir caminhar perto de lagos e riachos.

    1. Que palavra diz que isso é condicional?
    2. Preencha os espaços em branco e calcule a probabilidade: P (___||___) = ___.
    3. O espaço amostral para este problema é para todos os 100 caminhantes? Se não, o que é?
    Responda

    Solução 3.21

    c.

    1. A palavra “dado” diz que isso é condicional.

    2.P (M||L) =\(\frac{25}{41}\)

    3. Não, o espaço de amostra para este problema são os 41 caminhantes que preferem lagos e riachos.

    d. Encontre a probabilidade de uma pessoa ser mulher ou preferir caminhar nos picos das montanhas. Seja F = ser mulher, e deixe P= preferir picos de montanhas.

    1. Encontre P (F).
    2. Encontre P (P).
    3. Encontre\(P(F\cap P)\).
    4. Encontre\(P(F\cup P)\).
    Responda

    Solução 3.21

    d.

    1. P (F) =\(\frac{45}{100}\)
    2. P (P) =\(\frac{25}{100}\)
    3. \(P(F\cap P)\)=\(\frac{11}{100}\)
    4. \(P(F\cup P)\)=\(\frac{45}{100}+\frac{25}{100}-\frac{11}{100}=\frac{59}{100}\)

    Exercício\(\PageIndex{21}\)

    A tabela\(\PageIndex{6}\) mostra uma amostra aleatória de 200 ciclistas e as rotas que eles preferem. Seja M = machos e H = caminho montanhoso.

    \ (\ PageIndex {6}\) “>
    Gênero Caminho do lago Caminho montanhoso Caminho arborizado Total
    Feminino 45 38 27 110
    Masculino 26 52 12 90
    Total 71 90 39 200
    Tabela\(\PageIndex{6}\)
    1. Dos homens, qual é a probabilidade de o ciclista preferir um caminho montanhoso?
    2. Os eventos “ser masculino” e “preferir o caminho montanhoso” são eventos independentes?

    Exemplo\(\PageIndex{22}\)

    Muddy Mouse mora em uma gaiola com três portas. Se Muddy sair pela primeira porta, a probabilidade de ele ser pego pela gata Alissa é de 1515 e a probabilidade de ele não ser pego é de 4545. Se ele sair pela segunda porta, a probabilidade de ser pego por Alissa é 1414 e a probabilidade de ele não ser pego é 3434. A probabilidade de Alissa pegar Muddy saindo pela terceira porta é 1212 e a probabilidade de ela não pegar Muddy é 1212. É igualmente provável que Muddy escolha qualquer uma das três portas, então a probabilidade de escolher cada porta é de 1313.

    \ (\ PageIndex {7}\) Escolha de porta “>
    Capturado ou não Porta um Porta dois Porta três Total
    Apanhado \(\frac{1}{15}\) \(\frac{1}{12}\) \(\frac{1}{6}\) ____
    Não foi pego \(\frac{4}{15}\) \(\frac{3}{12}\) \(\frac{1}{6}\) ____
    Total ____ ____ ____ 1
    Escolha de\(\PageIndex{7}\) porta de mesa
    • A primeira entrada\(\frac{1}{15}=\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{1}{3}\right)\) é\(P(Door One\cap Caught)\)
    • A entrada\(\frac{4}{15}=\left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{1}{3}\right)\) é\(P(Door One\cap Not Caught)\)

    Verifique as entradas restantes.

    a. Preencha a tabela de contingência de probabilidade. Calcule as entradas para os totais. Verifique se a entrada do canto inferior direito é 1.

    Responda

    Solução 3.22

    uma.

    \ (\ PageIndex {8}\) Escolha de porta “>
    Capturado ou não Porta um Porta dois Porta três Total
    Apanhado \(\frac{1}{15}\) \(\frac{1}{12}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{19}{60}\)
    Não foi pego \(\frac{4}{15}\) \(\frac{3}{12}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{41} {60}\)
    Total \(\frac{5}{15}\) \(\frac{4}{12}\) \(\frac{2}{6}\) 1
    Escolha de\(\PageIndex{8}\) porta de mesa

    b. Qual é a probabilidade de Alissa não pegar Muddy?

    Responda

    Solução 3.22

    b.\(\frac{41}{60}\)

    c. Qual é a probabilidade de Muddy escolher a Porta Um\ cap Porta Dois, já que Muddy é pego por Alissa?

    Responda

    Solução 3.22

    c.\(\frac{9}{19}\)

    Exemplo\(\PageIndex{23}\)

    A tabela\(\PageIndex{9}\) contém o número de crimes por 100.000 habitantes de 2008 a 2011 nos EUA

    \ (\ PageIndex {9}\) Taxas do índice de criminalidade dos Estados Unidos por 100.000 habitantes 2008—2011 “>
    Ano Roubo Roubo Estupro Veículo Total
    2008 145,7 732,1 29,7 314,7
    2009 13.1 717,7 29,1 259,2
    2010 119,3 701 27,7 239,1
    2011 13,7 702.2 26,8 229,6
    Total
    Tabela Taxas do Índice de Crime dos\(\PageIndex{9}\) Estados Unidos por 100.000 habitantes 2008—2011

    TOTAL de cada coluna e cada linha. Total de dados = 4.520,7

    1. Encontre\(P(2009\cap Robbery)\).
    2. Encontre\(P(2010\cap Burglary)\).
    3. Encontre\(P(2010\cup Burglary)\).
    4. Encontre P (2011|Estupro).
    5. Encontre P (Veículo|2008).
    Responda

    Solução 3.23

    1. 0,0294
    2. 0,1551
    3. 0,7165
    4. 0,2365
    5. 0,2575

    Exercício\(\PageIndex{23}\)

    A tabela\(\PageIndex{10}\) relaciona os pesos e alturas de um grupo de indivíduos participantes de um estudo observacional.

    \ (\ PageIndex {10}\) “>
    Peso/altura Alto Médio Curto Totais
    Obesa 18 28 14
    Normal 20 51 28
    Baixo peso 12 25 9
    Totais
    Tabela\(\PageIndex{10}\)
    1. Encontre o total para cada linha e coluna
    2. Encontre a probabilidade de que um indivíduo escolhido aleatoriamente desse grupo seja alto.
    3. Encontre a probabilidade de que um indivíduo escolhido aleatoriamente desse grupo seja obeso e alto.
    4. Encontre a probabilidade de que um indivíduo escolhido aleatoriamente desse grupo seja alto, já que o indivíduo é obeso.
    5. Encontre a probabilidade de que um indivíduo escolhido aleatoriamente desse grupo seja obeso, já que o indivíduo é alto.
    6. Encontre a probabilidade de um indivíduo escolhido aleatoriamente desse grupo ser alto e com baixo peso.
    7. Os eventos Obese e Tall são independentes?

    Diagramas de árvores

    Às vezes, quando os problemas de probabilidade são complexos, pode ser útil representar graficamente a situação. Os diagramas de árvore podem ser usados para visualizar e resolver probabilidades condicionais.

    Diagramas de árvores

    Um diagrama de árvore é um tipo especial de gráfico usado para determinar os resultados de um experimento. Consiste em “ramificações” rotuladas com frequências ou probabilidades. Os diagramas de árvore podem facilitar a visualização e a resolução de alguns problemas de probabilidade. O exemplo a seguir ilustra como usar um diagrama de árvore.

    Exemplo\(\PageIndex{24}\)

    Em uma urna, há 11 bolas. Três bolas são vermelhas (R) e oito bolas são azuis (B). Desenhe duas bolas, uma de cada vez, com a substituição. “Com substituição” significa que você coloca a primeira bola de volta na urna antes de selecionar a segunda bola. O diagrama em árvore usando frequências que mostram todos os resultados possíveis segue.

    Este é um diagrama de árvore com galhos mostrando as frequências de cada sorteio. O primeiro ramo mostra duas linhas: 8B e 3R. A segunda ramificação tem um conjunto de duas linhas (8B e 3R) para cada linha da primeira ramificação. Multiplique ao longo de cada linha para encontrar 64BB, 24BR, 24RB e 9RR.
    Figura\(\PageIndex{2}\) Total = 64 + 24 + 24 + 9 = 121

    O primeiro conjunto de ramificações representa o primeiro sorteio. O segundo conjunto de ramificações representa o segundo sorteio. Cada um dos resultados é distinto. Na verdade, podemos listar cada bola vermelha como R1, R2 e R3 e cada bola azul como B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7 e B8. Em seguida, os nove resultados de RR podem ser escritos como:

    R1R1; R1R2; R1R3; R2R1; R2R2; R2R3; R3R1; R3R2; R3R3

    Os outros resultados são semelhantes.

    Há um total de 11 bolas na urna. Desenhe duas bolas, uma de cada vez, com a substituição. Existem 11 (11) = 121 resultados, o tamanho do espaço amostral.

    a. Liste os 24 resultados do BR: B1R1, B1R2, B1R3,...

    Responda

    Solução 3.24

    a. B1R1; B1R2; B1R3; B2R1; B2R2; B2R3; B3R1; B3R2; B3R3; B4R1; B4R2; B4R3; B5R2; B5R3; B6R1; B6R2; B6R3; B7R3; B7R3 1; B7R2; B7R3; B8R1; B8R2; B8R3

    b. Usando o diagrama de árvore, calcule P (RR).

    Responda

    Solução 3.24

    b. P (RR) =\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{3}{11}\right) = \frac{9}{121}\)

    c. Usando o diagrama de árvore, calcule P (RB\ cup BR) P (RB\ cup BR).

    Responda

    Solução 3.24

    c.\(P(RB\cup BR)\) =\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{11}\right)+\left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{3}{11}\right)=\frac{48}{121}\)

    d. Usando o diagrama de árvore, calcule\(P(Ron 1st draw\cap Bon 2nd draw)\).

    Responda

    Solução 3.24

    d.\(P(Ron 1st draw\cap Bon 2nd draw) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{11}\right)=\frac{24}{121}\)

    e. Usando o diagrama da árvore, calcule P (R no 2º sorteio|B no 1º sorteio).

    Responda

    Solução 3.24

    e. P (R no 2º sorteio|B no 1º sorteio) = P (R no 2º sorteio|B no 1º) =\(\frac{24}{88} = \frac{3}{11}\)

    Esse problema é condicional. O espaço amostral foi reduzido para aqueles resultados que já têm um azul no primeiro sorteio. Existem 24 + 64 = 88 resultados possíveis (24 BR e 64 BB). Vinte e quatro dos 88 resultados possíveis são BR. \(\frac{24}{88} = \frac{3}{11}\).

    f. Usando o diagrama de árvore, calcule P (BB).

    Responda

    Solução 3.24

    f. P (BB) =\(\frac{64}{121}\)

    g. Usando o diagrama de árvore, calcule P (B no 2º sorteio|R no primeiro sorteio).

    Responda

    Solução 3.24

    g. P (B no 2º sorteio|R no 1º sorteio) =\(\frac{8}{11}\)

    Existem 9 + 24 resultados que têm R no primeiro sorteio (9 RR e 24 RB). O espaço amostral é então 9 + 24 = 33. 24 dos 33 resultados têm B no segundo sorteio. A probabilidade é então\(\frac{24}{33}\).

    Exercício\(\PageIndex{24}\)

    Em um baralho padrão, existem 52 cartas. 12 cartas são cartas com face (evento F) e 40 cartas não são cartas com face (evento N). Compre duas cartas, uma de cada vez, com a substituição. Todos os resultados possíveis são mostrados no diagrama da árvore como frequências. Usando o diagrama de árvore, calcule P (FF).

    Este é um diagrama de árvore com galhos mostrando as frequências de cada sorteio. O primeiro ramo mostra duas linhas: 12F e 40N. A segunda ramificação tem um conjunto de duas linhas (12F e 40N) para cada linha da primeira ramificação. Multiplique ao longo de cada linha para encontrar 144FF, 480FN, 480NF e 1.600NN.
    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Exemplo\(\PageIndex{25}\)

    Uma urna tem três bolinhas vermelhas e oito bolas azuis nela. Tire duas bolinhas, uma de cada vez, desta vez sem substituí-las, da urna. “Sem substituição” significa que você não coloca a primeira bola de volta antes de selecionar a segunda bola de gude. A seguir está um diagrama de árvore para essa situação. As ramificações são rotuladas com probabilidades em vez de frequências. Os números nas extremidades das ramificações são calculados multiplicando-se os números nas duas ramificações correspondentes, por exemplo,\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{2}{10}\right)=\frac{6}{110}\).

    Este é um diagrama de árvore com ramificações mostrando as probabilidades de cada sorteio. O primeiro ramo mostra 2 linhas: B 8/11 e R 3/11. A segunda ramificação tem um conjunto de 2 linhas para cada primeira linha de ramificação. Abaixo de B 8/11 estão B 7/10 e R 3/10. Abaixo de R 3/11 estão B 8/10 e R 2/10. Multiplique ao longo de cada linha para encontrar BB 56/110, BR 24/110, RB 24/110 e RR 6/110.
    Figura\(\PageIndex{4}\) total =\(\frac{56+24+24+6}{110}=\frac{110}{110}=1\)

    OBSERVAÇÃO

    Se você tirar um vermelho no primeiro sorteio das três possibilidades vermelhas, restam duas bolinhas vermelhas para desenhar no segundo sorteio. Você não coloca de volta nem substitui a primeira bola de gude depois de desenhá-la. Você desenha sem reposição, de modo que no segundo sorteio restam dez bolinhas na urna.

    Calcule as seguintes probabilidades usando o diagrama de árvore.

    a. P (RR) = ________

    Responda

    Solução 3.25

    a. P (RR) =\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{2}{10}\right)=\frac{6}{110}\)

    b. Preencha os espaços em branco:

    \(P(RB\cup BR) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right)\)+ (___) (___) =\(\frac{48}{110}\)

    Responda

    Solução 3.25

    b.\(P(RB\cup BR) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right)+\left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{3}{10}\right)=\frac{48}{110}\)

    c. P (R no 2º | B no 1º) =

    Responda

    Solução 3.25

    c. P (R no 2º | B no 1º) =\(\frac{3}{10}\)

    d. Preencha os espaços em branco.

    \(P(Ron 1st\cap Bon 2nd)\)= (___) (___) =\(\frac{24}{100}\)

    Responda

    Solução 3.25

    d.\(P(R \text{ on 1st }\cap B \text{ on 2nd}) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right)=\frac{24}{110}\)

    e. Encontre (PBB).

    Responda

    Solução 3.25

    p (BB) =\(\left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{7}{10}\right)\)

    f. Encontre P (B em 2nd|R em 1º).

    Responda

    Solução 3.25

    f. Usando o diagrama de árvore, P (B no 2nd|R no 1º) = P (R|B) =\(\frac{8}{10}\).

    Se estivermos usando probabilidades, podemos rotular a árvore da seguinte maneira geral.

    Este é um diagrama de árvore para um experimento em duas etapas. A primeira ramificação mostra o primeiro resultado: P (B) e P (R). O segundo ramo tem um conjunto de 2 linhas para cada linha do primeiro ramo: a probabilidade de B dada B = P (BB), a probabilidade de R dado B = P (RB), a probabilidade de B dado R = P (BR) e a probabilidade de R dado R = P (RR).

    • P (R|R) aqui significa P (R no 2º | R no 1º)
    • P (B|R) aqui significa P (B no 2º | R no 1º)
    • P (R|B) aqui significa P (R no 2º | B no 1º)
    • P (B|B) aqui significa P (B no 2º | B no 1º)

    Exercício\(\PageIndex{25}\)

    Em um baralho padrão, existem 52 cartas. Doze cartas são cartas com face (F) e 40 cartas não são cartas com face (N). Compre duas cartas, uma de cada vez, sem substituí-las. O diagrama da árvore é rotulado com todas as probabilidades possíveis.

    Este é um diagrama de árvore com galhos mostrando as frequências de cada sorteio. O primeiro ramo mostra 2 linhas: F 12/52 e N 40/52. A segunda ramificação tem um conjunto de 2 linhas (F 11/52 e N 40/51) para cada linha da primeira ramificação. Multiplique ao longo de cada linha para encontrar FF 121/2652, FN 480/2652, NF 480/2652 e NN 1560/2652.
    Figura\(\PageIndex{5}\)
    1. Encontre\(P(FN\cup NF)\).
    2. Encontre P (N|F).
    3. Encontre P (no máximo uma carta facial).
      Dica: “No máximo uma carta com face” significa zero ou uma carta com face.
    4. Encontre P (pelo menos no cartão de rosto).
      Dica: “Pelo menos uma carta com face” significa uma ou duas cartas com face.

    Exemplo\(\PageIndex{26}\)

    Uma ninhada de gatinhos disponível para adoção na Humane Society tem quatro gatinhos malhados e cinco gatinhos pretos. Uma família chega e seleciona aleatoriamente dois gatinhos (sem substituto) para adoção.

    Este é um diagrama de árvore com galhos mostrando as probabilidades de escolhas de gatinhos. O primeiro ramo mostra duas linhas: T 4/9 e B 5/9. A segunda ramificação tem um conjunto de 2 linhas para cada primeira linha de ramificação. Abaixo de T 4/9 estão T 3/8 e B 5/8. Abaixo de B 5/9 estão T 4/8 e B 4/8. Multiplique ao longo de cada linha para encontrar probabilidades de combinações possíveis.
    1. Qual é a probabilidade de os dois gatinhos serem malhados?

      \(a \cdot\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) b \cdot\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{4}{9}\right) c \cdot\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{3}{8}\right) d \cdot\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{9}\right)\)
    2. Qual é a probabilidade de um gatinho de cada cor ser selecionado?

      a.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{9}\right)\) b.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{8}\right)\) c.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{9}\right)+\left(\frac{5}{9}\right)\left(\frac{4}{9}\right)\) d.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{8}\right)+\left(\frac{5}{9}\right)\left(\frac{4}{8}\right)\)
    3. Qual é a probabilidade de um gato malhado ser escolhido como o segundo gatinho quando um gatinho preto foi escolhido como o primeiro?
    4. Qual a probabilidade de escolher dois gatinhos da mesma cor?
    Responda

    Solução 3.26

    a. c, b. d, c.\(\frac{4}{8}\), d.\(\frac{32}{72}\)

    Exercício\(\PageIndex{26}\)

    Suponha que haja quatro bolas vermelhas e três bolas amarelas em uma caixa. Duas bolas são retiradas da caixa sem substituição. Qual é a probabilidade de que uma bola de cada cor seja selecionada?