3.1: Terminologia de probabilidade

A probabilidade é uma medida associada à certeza de que temos dos resultados de um determinado experimento ou atividade. Um experimento é uma operação planejada realizada sob condições controladas. Se o resultado não for predeterminado, o experimento é considerado um experimento casual. Jogar uma moeda justa duas vezes é um exemplo de experiência.

O resultado de um experimento é chamado de resultado. O espaço amostral de um experimento é o conjunto de todos os resultados possíveis. Três formas de representar um espaço de amostra são: listar os resultados possíveis, criar um diagrama de árvore ou criar um diagrama de Venn. A letra maiúscula\(S\) é usada para indicar o espaço amostral. Por exemplo, se você jogar uma moeda justa,\(S = \{H, T\}\) onde\(H =\) cabeça e\(T =\) coroa são os resultados.

Um evento é qualquer combinação de resultados. Letras maiúsculas gostam\(A\) e\(B\) representam eventos. Por exemplo, se o experimento for jogar uma moeda justa, o evento\(A\) pode estar ficando no máximo com uma cabeça. A probabilidade de um evento\(A\) é escrita\(P(A)\).

A probabilidade de qualquer resultado é a frequência relativa de longo prazo desse resultado. As probabilidades estão entre zero e um, inclusive (ou seja, zero e um e todos os números entre esses valores). \(P(A) = 0\)significa que o evento nunca\(A\) pode acontecer. \(P(A) = 1\)significa que o evento\(A\) sempre acontece. \(P(A) = 0.5\)significa que o evento\(A\) tem a mesma probabilidade de ocorrer ou não ocorrer. Por exemplo, se você jogar uma moeda justa repetidamente (de 20 a 2.000 a 20.000 vezes), a frequência relativa das cabeças se aproxima de 0,5 (a probabilidade de cabeças).

Igualmente provável significa que cada resultado de um experimento ocorre com a mesma probabilidade. Por exemplo, se você lançar um dado justo de seis lados, cada face (1, 2, 3, 4, 5 ou 6) tem a mesma probabilidade de ocorrer como qualquer outra face. Se você jogar uma moeda justa, uma cabeça (H) e uma cauda (T) têm a mesma probabilidade de ocorrer. Se você adivinhar aleatoriamente a resposta para uma pergunta verdadeira/falsa em um exame, é igualmente provável que você selecione uma resposta correta ou uma resposta incorreta.

Para calcular a probabilidade de um evento A quando todos os resultados no espaço amostral são igualmente prováveis, conte o número de resultados para o evento A e divida pelo número total de resultados no espaço amostral. Por exemplo, se você jogar um centavo justo e um níquel justo, o espaço da amostra é\(\{HH, TH, HT, TT\}\) onde as\(T =\) caudas e as\(H =\) cabeças. O espaço amostral tem quatro resultados. A = recebendo uma cabeça. Existem dois resultados que atendem a essa condição\(\{HT, TH\}\), então\(P(A) = \frac{2}{4} = 0.5\).

Suponha que você lance um dado justo de seis lados, com os números\(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) em suas faces. Deixe o evento\(E =\) rolar um número que seja pelo menos cinco. Há dois resultados\(\{5, 6\}\). \(P(E) = \frac{2}{6}\)Se você lançasse o dado apenas algumas vezes, não ficaria surpreso se os resultados observados não correspondessem à probabilidade. Se você lançasse o dado um número muito grande de vezes, esperaria que, no geral,\(\frac{2}{6}\) os lançamentos resultassem em um resultado de “pelo menos cinco”. Você não esperaria exatamente\(\frac{2}{6}\). A frequência relativa de longo prazo de obtenção desse resultado se aproximaria da probabilidade teórica de, à\(\frac{2}{6}\) medida que o número de repetições se tornasse cada vez maior.

Essa característica importante dos experimentos de probabilidade é conhecida como a lei dos grandes números, que afirma que, à medida que o número de repetições de um experimento aumenta, a frequência relativa obtida no experimento tende a se aproximar cada vez mais da probabilidade teórica. Mesmo que os resultados não ocorram de acordo com nenhum padrão ou ordem definida, em geral, a frequência relativa observada a longo prazo se aproximará da probabilidade teórica. (A palavra empírica é frequentemente usada em vez da palavra observada.)

É importante perceber que, em muitas situações, os resultados não são igualmente prováveis. Uma moeda ou dado pode ser injusto ou tendencioso. Dois professores de matemática na Europa fizeram com que seus alunos de estatística testassem a moeda belga de um euro e descobriram que em 250 tentativas, uma cabeça foi obtida 56% das vezes e uma cauda foi obtida 44% das vezes. Os dados parecem mostrar que a moeda não é uma moeda justa; mais repetições seriam úteis para tirar uma conclusão mais precisa sobre esse viés. Alguns dados podem ser tendenciosos. Veja os dados em um jogo que você tem em casa; as manchas em cada face geralmente são pequenos orifícios esculpidos e pintados para torná-los visíveis. Seus dados podem ou não ser tendenciosos; é possível que os resultados sejam afetados pelas pequenas diferenças de peso devido aos diferentes números de buracos nas faces. Os cassinos de apostas ganham muito dinheiro dependendo dos resultados do lançamento de dados, então os dados do cassino são feitos de forma diferente para eliminar o preconceito. Os dados do cassino têm faces planas; os buracos são completamente preenchidos com tinta com a mesma densidade do material do qual os dados são feitos, de modo que cada face tem a mesma probabilidade de ocorrer. Posteriormente, aprenderemos técnicas a serem usadas para trabalhar com probabilidades de eventos que não são igualmente prováveis.

“\(\cup\)" Evento: A União

Um resultado está no evento\(A \cup B\) se o resultado estiver em A ou em B ou estiver em A e B. Por exemplo, deixe\(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)\(B = \{4, 5, 6, 7, 8\}\) e. \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Observe que 4 e 5 NÃO estão listados duas vezes.

Evento “\(\cap \)": A interseção

Um resultado ocorre\(A \cap B\) se o resultado estiver em A e B ao mesmo tempo. Por exemplo, deixe\(A\) e\(B\) seja\(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) e\(\{4, 5, 6, 7, 8\}\), respectivamente. Então\(A \cap B = \{4, 5\}\).

O complemento do evento A é denotado como A′s (leia-se “A primo”). A' consiste em todos os resultados que NÃO estão em A. Observe que\(P(A) + P(A′) = 1\). Por exemplo, deixe\(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) e deixe\(A = \{1, 2, 3, 4\}\). Então,\(A′ = \{5, 6\}\). \(P(A) = \frac{4}{6}\),\(P(A′) = \frac{2}{6}\), e\(P(A) + P(A′) = \frac{4}{6}+\frac{2}{6}=1\)

A probabilidade condicional de\(A\) dado\(B\) é escrita\(P(A|B)\). \(P(A|B)\)é a probabilidade de que o evento\(A\) ocorra, desde que o evento já\(B\) tenha ocorrido. Um condicional reduz o espaço da amostra. Calculamos a probabilidade de A a partir do espaço amostral reduzido\(B\). A fórmula a ser calculada\(P(A|B)\) é\(P(A | B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) onde\(P(B)\) é maior que zero.

Por exemplo, suponha que lançemos um dado justo de seis lados. O espaço da amostra\(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Deixe\(A =\) o rosto ser 2 ou 3 e o\(B =\) rosto ficar uniforme\((2, 4, 6)\). Para calcular\(P(A|B)\), contamos o número de resultados 2 ou 3 no espaço amostral\(B = \{2, 4, 6\}\). Em seguida, dividimos isso pelo número de resultados\(B\) (em vez de\(S\)).

Obtemos o mesmo resultado usando a fórmula. Lembre-se de que\(S\) tem seis resultados.

\(P(A|B) = \frac{\frac{(\text { the number of outcomes that are } 2 \text { or } 3 \text { and even in } S)}{6}}{\frac{(\text { the number of outcomes that are even in } S)}{6}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{3}\)

Probabilidades

As chances de um evento apresentam a probabilidade como uma razão entre sucesso e fracasso. Isso é comum em vários formatos de jogos de azar. Matematicamente, as chances de um evento podem ser definidas como:

\[\frac{P(A)}{1-P(A)}\nonumber\]

onde\(P(A)\) está a probabilidade de sucesso e, claro,\(1 − P(A)\) está a probabilidade de fracasso. As probabilidades são sempre citadas como “numerador para denominador”, por exemplo, 2 a 1. Aqui, a probabilidade de ganhar é o dobro da de perder; portanto, a probabilidade de ganhar é 0,66. Uma probabilidade de ganhar de 0,60 geraria chances a favor de ganhar de 3 a 2. Embora o cálculo das probabilidades possa ser útil em locais de jogo para determinar os valores dos pagamentos, não é útil para entender a probabilidade ou a teoria estatística.

Entendendo terminologia e símbolos

É importante ler cada problema com atenção para pensar e entender quais são os eventos. Entender o texto é o primeiro passo muito importante na solução de problemas de probabilidade. Releia o problema várias vezes, se necessário. Identifique claramente o evento de interesse. Determine se há uma condição declarada no texto que indicaria que a probabilidade é condicional; identifique cuidadosamente a condição, se houver.

Solução 3.3

1. \(P(M) = 0.52\)
2. \(P(F) = 0.48\)
3. \(P(R) = 0.87\)
4. \(P(L) = 0.13\)
5. \(P(M \cap R) = 0.43\)
6. \(P(F \cap L) = 0.04\)
7. \(P(M \cup F) = 1\)
8. \(P(M \cup R) = 0.96\)
9. \(P(F \cup L) = 0.57\)
10. \(P(M') = 0.48\)
11. \(P(R|M) = 0.8269\)(arredondado para quatro casas decimais)
12. \(P(F|L) = 0.3077\)(arredondado para quatro casas decimais)
13. \(P(L|F) = 0.0833\)