3.3: Lei Universal da Gravitação de Newton
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objetivos de aprendizagem
Ao final da seção, você poderá:
- Explique o que determina a força da gravidade
- Descreva como a lei universal da gravitação de Newton amplia nossa compreensão das leis de Kepler
As leis do movimento de Newton mostram que objetos em repouso permanecerão em repouso e aqueles em movimento continuarão se movendo uniformemente em linha reta, a menos que sejam acionados por uma força. Assim, é a linha reta que define o estado de movimento mais natural. Mas os planetas se movem em elipses, não em linhas retas; portanto, alguma força deve estar distorcendo seus caminhos. Essa força, propôs Newton, era a gravidade.
Na época de Newton, a gravidade era algo associado somente à Terra. A experiência cotidiana nos mostra que a Terra exerce uma força gravitacional sobre objetos em sua superfície. Se você derrubar alguma coisa, ela acelera em direção à Terra à medida que cai. A visão de Newton foi que a gravidade da Terra poderia se estender até a Lua e produzir a força necessária para curvar o caminho da Lua a partir de uma linha reta e mantê-la em sua órbita. Ele ainda levantou a hipótese de que a gravidade não se limita à Terra, mas que existe uma força geral de atração entre todos os corpos materiais. Nesse caso, a força atrativa entre o Sol e cada um dos planetas poderia mantê-los em suas órbitas. (Isso pode parecer parte do nosso pensamento diário de hoje, mas foi uma visão notável da época de Newton.)
Uma vez que Newton ousadamente levantou a hipótese de que havia uma atração universal entre todos os corpos em todo lugar no espaço, ele teve que determinar a natureza exata da atração. A descrição matemática precisa dessa força gravitacional tinha que ditar que os planetas se movessem exatamente como Kepler os descreveu (conforme expresso nas três leis de Kepler). Além disso, essa força gravitacional tinha que prever o comportamento correto da queda de corpos na Terra, conforme observado por Galileu. Como a força da gravidade deve depender da distância para que essas condições sejam atendidas?
A resposta a essa pergunta exigia ferramentas matemáticas que ainda não haviam sido desenvolvidas, mas isso não impediu Isaac Newton, que inventou o que hoje chamamos de cálculo para lidar com esse problema. Eventualmente, ele foi capaz de concluir que a magnitude da força da gravidade deve diminuir com o aumento da distância entre o Sol e um planeta (ou entre quaisquer dois objetos) em proporção ao quadrado inverso de sua separação. Em outras palavras, se um planeta estivesse duas vezes mais longe do Sol, a força seria\((1/2)^2\), ou\(1/4\) maior. Coloque o planeta três vezes mais longe, e a força será\((1/3)^2\), ou\(1/9\) maior.
Newton também concluiu que a atração gravitacional entre dois corpos deve ser proporcional às suas massas. Quanto mais massa um objeto tem, mais forte é a força gravitacional. A atração gravitacional entre quaisquer dois objetos é, portanto, dada por uma das equações mais famosas de toda a ciência:
\[F_{gravity}=G \dfrac{M_1M-2}{R^2} \nonumber\]
onde\(F_{gravity}\) está a força gravitacional entre dois objetos,\(M_1\) e\(M_2\) são as massas dos dois objetos, e\(R\) é sua separação. \(G\)é um número constante conhecido como constante gravitacional universal, e a própria equação resume simbolicamente a lei universal da gravitação de Newton. Com essa força e as leis do movimento, Newton conseguiu mostrar matematicamente que as únicas órbitas permitidas eram exatamente as descritas pelas leis de Kepler.
A lei universal da gravitação de Newton funciona para os planetas, mas é realmente universal? A teoria gravitacional também deve prever a aceleração observada da Lua em direção à Terra enquanto ela orbita a Terra, bem como de qualquer objeto (digamos, uma maçã) lançado perto da superfície da Terra. A queda de uma maçã é algo que podemos medir com bastante facilidade, mas podemos usá-la para prever os movimentos da Lua?
Lembre-se de que, de acordo com a segunda lei de Newton, as forças causam aceleração. A lei universal da gravitação de Newton diz que a força que atua sobre (e, portanto, a aceleração de) um objeto em direção à Terra deve ser inversamente proporcional ao quadrado de sua distância do centro da Terra. Observa-se que objetos como maçãs na superfície da Terra, a uma distância de um raio terrestre do centro da Terra, aceleram para baixo a 9,8 metros por segundo por segundo (9,8\(\text{m}/\text{s}^2\)).
É essa força da gravidade na superfície da Terra que nos dá nossa sensação de peso. Ao contrário da sua massa, que permaneceria a mesma em qualquer planeta ou lua, seu peso depende da força local da gravidade. Então você pesaria menos em Marte e na Lua do que na Terra, mesmo que não haja mudança em sua massa. (O que significa que você ainda teria que ir devagar com as sobremesas no refeitório da faculdade quando voltasse!)
A Lua está a 60 raios da Terra de distância do centro da Terra. Se a gravidade (e a aceleração que ela causa) ficar mais fraca com a distância ao quadrado, a aceleração que a Lua experimenta deve ser bem menor do que a da maçã. A aceleração deve ser\((1/60)^2 = 1/3600\) (ou 3600 vezes menor—cerca de 0,00272)\(\text{m}/\text{s}^2\). Essa é precisamente a aceleração observada da Lua em sua órbita. (Como veremos, a Lua não cai na Terra com essa aceleração, mas cai ao redor da Terra.) Imagine a emoção que Newton deve ter sentido ao perceber que descobriu e verificou uma lei que vale para a Terra, as maçãs, a Lua e, até onde ele sabia, tudo no universo.
Exemplo\(\PageIndex{1}\): Cálculo do peso
Por qual fator o peso de uma pessoa na superfície da Terra mudaria se a Terra tivesse sua massa atual, mas oito vezes seu volume atual?
Solução
Com oito vezes o volume, o raio da Terra dobraria. Isso significa que a força gravitacional na superfície seria reduzida em um fator de\((1/2)^2 = 1/4\), então uma pessoa pesaria apenas um quarto da quantidade.
Exercício\(\PageIndex{1}\)
Por qual fator o peso de uma pessoa na superfície da Terra mudaria se a Terra tivesse seu tamanho atual, mas apenas um terço de sua massa atual?
- Resposta
-
Com um terço de sua massa atual, a força gravitacional na superfície reduziria em um fator de 1/3, então uma pessoa pesaria apenas um terço do peso.
A gravidade é uma propriedade “embutida” da massa. Sempre que houver massas no universo, elas interagirão por meio da força de atração gravitacional. Quanto mais massa houver, maior será a força de atração. Aqui na Terra, a maior concentração de massa é, obviamente, o planeta em que estamos, e sua atração domina as interações gravitacionais que experimentamos. Mas tudo com massa atrai todo o resto com massa em qualquer lugar do universo.
A lei de Newton também implica que a gravidade nunca se torna zero. Ele rapidamente fica mais fraco com a distância, mas continua a agir até certo ponto, não importa a que distância você esteja. A atração do Sol é mais forte em Mercúrio do que em Plutão, mas pode ser sentida muito além de Plutão, onde os astrônomos têm boas evidências de que ele faz continuamente um grande número de corpos gelados menores se moverem em órbitas enormes. E a atração gravitacional do Sol se une à atração de bilhões de outras estrelas para criar a atração gravitacional da nossa Via Láctea. Essa força, por sua vez, pode fazer com que outras galáxias menores orbitem ao redor da Via Láctea, e assim por diante.
Por que então, você pode perguntar, que os astronautas a bordo do ônibus espacial parecem não ter forças gravitacionais agindo sobre eles quando vemos imagens na televisão dos astronautas e objetos flutuando na espaçonave? Afinal, os astronautas do ônibus espacial estão apenas algumas centenas de quilômetros acima da superfície da Terra, o que não é uma distância significativa em comparação com o tamanho da Terra, então a gravidade certamente não é muito mais fraca do que muito mais distante. Os astronautas se sentem “sem peso” (o que significa que não sentem a força gravitacional atuando sobre eles) pelo mesmo motivo que os passageiros em um elevador cujo cabo está quebrado ou em um avião cujos motores não funcionam mais parecem leves: eles estão caindo (Figura\(\PageIndex{1}\)). 1
Ao cair, eles estão em queda livre e aceleram no mesmo ritmo que tudo ao seu redor, incluindo sua espaçonave ou uma câmera com a qual estão tirando fotos da Terra. Ao fazer isso, os astronautas não experimentam forças adicionais e, portanto, se sentem “sem peso”. Ao contrário dos passageiros do elevador que caem, no entanto, os astronautas estão caindo ao redor da Terra, não na Terra; como resultado, eles continuarão a cair e dizem que estão “em órbita” ao redor da Terra (veja a próxima seção para saber mais sobre órbitas).
Movimento e massa orbitais
As leis de Kepler descrevem as órbitas dos objetos cujos movimentos são descritos pelas leis do movimento de Newton e pela lei da gravidade. Saber que a gravidade é a força que atrai os planetas em direção ao Sol, no entanto, permitiu a Newton repensar a terceira lei de Kepler. Lembre-se de que Kepler encontrou uma relação entre o período orbital da revolução de um planeta e sua distância do Sol. Mas a formulação de Newton introduz o fator adicional das massas do Sol (M 1) e do planeta (M 2), ambos expressos em unidades da massa do Sol. A lei universal da gravitação de Newton pode ser usada para mostrar matematicamente que essa relação é na verdade
\[a^3=(M_1+M_2) \times P^2 \nonumber\]
onde\(a\) está o semi-eixo maior e\(P\) é o período orbital.
Como Kepler perdeu esse fator? Em unidades da massa do Sol, a massa do Sol é 1, e em unidades da massa do Sol, a massa de um planeta típico é um fator insignificantemente pequeno. Isso significa que a soma da massa do Sol e da massa de um planeta, (\(M_1 + M_2\)), é muito, muito próxima de 1. Isso faz com que a fórmula de Newton pareça quase igual à de Kepler; a pequena massa dos planetas em comparação com o Sol é a razão pela qual Kepler não percebeu que ambas as massas precisavam ser incluídas no cálculo. Há muitas situações na astronomia, no entanto, nas quais precisamos incluir os dois termos de massa — por exemplo, quando duas estrelas ou duas galáxias orbitam uma a outra.
Incluir o termo de massa nos permite usar essa fórmula de uma nova maneira. Se pudermos medir os movimentos (distâncias e períodos orbitais) de objetos agindo sob sua gravidade mútua, a fórmula nos permitirá deduzir suas massas. Por exemplo, podemos calcular a massa do Sol usando as distâncias e os períodos orbitais dos planetas, ou a massa de Júpiter observando os movimentos de suas luas.
De fato, a reformulação da terceira lei de Kepler por Newton é um dos conceitos mais poderosos da astronomia. Nossa capacidade de deduzir as massas de objetos a partir de seus movimentos é fundamental para entender a natureza e a evolução de muitos corpos astronômicos. Usaremos essa lei repetidamente ao longo deste texto em cálculos que vão desde as órbitas dos cometas até as interações das galáxias.
Exemplo\(\PageIndex{2}\): Cálculo dos efeitos da gravidade
Um planeta como a Terra é encontrado orbitando sua estrela a uma distância de 1 UA em 0,71 ano-Terra. Você pode usar a versão de Newton da terceira lei de Kepler para encontrar a massa da estrela? (Lembre-se de que, em comparação com a massa de uma estrela, a massa de um planeta semelhante à Terra pode ser considerada insignificante.)
Solução
Na fórmula\(a^3 = (M_1 + M_2) \times P_2\), o fator agora\(M_1 + M_2\) seria aproximadamente igual a\(M_1\) (a massa da estrela), já que a massa do planeta é muito pequena em comparação. Então a fórmula se torna\(a_3 = M_1 \times P_2\), e podemos resolver para\(M_1\):
\[M_1= \frac{a^3}{P^2} \nonumber\]
Uma vez que\(a = 1\)\(a^3 = 1\), então
\[M_1= \frac{1}{P_2}= \frac{1}{0.71^2}=\frac{1}{0.5}=2 \nonumber\]
Portanto, a massa da estrela é o dobro da massa do nosso Sol. (Lembre-se de que essa forma de expressar a lei tem unidades em termos da Terra e do Sol, então as massas são expressas em unidades da massa do nosso Sol.)
Exercício\(\PageIndex{2}\)
Suponha que uma estrela com o dobro da massa do nosso Sol tivesse um planeta semelhante à Terra que levou 4 anos para orbitar a estrela. A que distância (semi-eixo maior) esse planeta orbitaria sua estrela?
- Resposta
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Novamente, podemos negligenciar a massa do planeta. Então,\(M_1 = 2\) e\(P = 4\) anos. A fórmula é\(a^3 = M_1 \times P_2\), então\(a^3 = 2 \times 4^2 = 2 × 16 = 32\). Então a é a raiz cúbica de 32. Para descobrir isso, basta perguntar ao Google: “Qual é a raiz cúbica de 32?” e obtenha a resposta 3,2 AU.
Talvez você queira experimentar uma simulação que permita mover o Sol, a Terra, a Lua e a estação espacial para ver os efeitos da mudança de suas distâncias em suas forças gravitacionais e caminhos orbitais. Você pode até mesmo desligar a gravidade e ver o que acontece.
Resumo
A gravidade, a força atrativa entre todas as massas, é o que mantém os planetas em órbita. A lei universal da gravitação de Newton relaciona a força gravitacional com massa e distância:
\[F_{gravity}=G \dfrac{M_1M_2}{R^2} \nonumber\]
A força da gravidade é o que nos dá nossa sensação de peso. Ao contrário da massa, que é constante, o peso pode variar dependendo da força da gravidade (ou aceleração) que você sente. Quando as leis de Kepler são reexaminadas à luz da lei gravitacional de Newton, fica claro que as massas de ambos os objetos são importantes para a terceira lei, que se torna
\[a^3 = (M_1 + M_2) \times P^2 \nonumber\]
Efeitos gravitacionais mútuos nos permitem calcular as massas de objetos astronômicos, de cometas a galáxias.
Notas de pé
2 No filme Apollo 13, as cenas em que os astronautas estavam “sem peso” foram, na verdade, filmadas em um avião caindo. Como você pode imaginar, o avião caiu por apenas alguns períodos antes que os motores se engatassem novamente.
Glossário
- gravidade
- a atração mútua de corpos ou partículas materiais