3.1: As leis do movimento planetário
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Objetivos de
Ao final da seção, você poderá:
- Descreva como Tycho Brahe e Johannes Kepler contribuíram para nossa compreensão de como os planetas se movem ao redor do Sol
- Explique as três leis do movimento planetário de Kepler
Na época em que Galileu estava começando seus experimentos com a queda de corpos, os esforços de outros dois cientistas aumentaram dramaticamente nossa compreensão dos movimentos dos planetas. Esses dois astrônomos foram o observador Tycho Brahe e o matemático Johannes Kepler. Juntos, eles colocaram as especulações de Copérnico em uma base matemática sólida e abriram o caminho para o trabalho de Isaac Newton no século seguinte.
Observatório de Tycho Brahe
Três anos após a publicação de De Revolutionibus de Copérnico, Tycho Brahe nasceu em uma família da nobreza dinamarquesa. Ele desenvolveu um interesse precoce pela astronomia e, quando jovem, fez observações astronômicas significativas. Entre eles estava um estudo cuidadoso do que agora sabemos ser uma estrela explodindo que brilhava com grande brilho no céu noturno. Sua crescente reputação lhe rendeu o patrocínio do rei dinamarquês Frederico II e, aos 30 anos, Brahe conseguiu estabelecer um belo observatório astronômico na ilha de Hven, no Mar do Norte (Figura\(\PageIndex{1}\)). Brahe foi o último e maior observador pré-telescópico na Europa.
Em Hven, Brahe fez um registro contínuo das posições do Sol, da Lua e dos planetas por quase 20 anos. Suas observações extensas e precisas permitiram que ele notasse que as posições dos planetas variavam daquelas dadas nas tabelas publicadas, baseadas no trabalho de Ptolomeu. Esses dados eram extremamente valiosos, mas Brahe não tinha a capacidade de analisá-los e desenvolver um modelo melhor do que o publicado por Ptolomeu. Ele foi ainda mais inibido porque era um sujeito extravagante e rabugento e acumulou inimigos entre funcionários do governo. Quando seu patrono, Frederico II, morreu em 1597, Brahe perdeu sua base política e decidiu deixar a Dinamarca. Ele passou a residir em Praga, onde se tornou astrônomo da corte do imperador Rudolf da Boêmia. Lá, no ano anterior à sua morte, Brahe encontrou um jovem matemático muito capaz, Johannes Kepler, para ajudá-lo a analisar seus extensos dados planetários.
Johannes Kepler
Johannes Kepler nasceu em uma família pobre na província alemã de Württemberg e viveu grande parte de sua vida em meio à turbulência da Guerra dos Trinta Anos (ver Figura\(\PageIndex{1}\)). Ele frequentou a universidade em Tubingen e estudou para uma carreira teológica. Lá, ele aprendeu os princípios do sistema copernicano e se converteu à hipótese heliocêntrica. Eventualmente, Kepler foi a Praga para servir como assistente de Brahe, que o colocou a trabalhar na tentativa de encontrar uma teoria satisfatória do movimento planetário, compatível com a longa série de observações feitas em Hven. Brahe estava relutante em fornecer a Kepler muito material a qualquer momento, por medo de que Kepler descobrisse os segredos do movimento universal sozinho, roubando parte da glória de Brahe. Somente após a morte de Brahe em 1601, Kepler obteve a posse total dos registros inestimáveis. Seu estudo ocupou a maior parte do tempo de Kepler por mais de 20 anos.
Por meio de sua análise dos movimentos dos planetas, Kepler desenvolveu uma série de princípios, agora conhecidos como as três leis de Kepler, que descreviam o comportamento dos planetas com base em seus caminhos no espaço. As duas primeiras leis do movimento planetário foram publicadas em 1609 em The New Astronomy. A descoberta deles foi um passo profundo no desenvolvimento da ciência moderna.
As duas primeiras leis do movimento planetário
O caminho de um objeto pelo espaço é chamado de órbita. Kepler inicialmente assumiu que as órbitas dos planetas eram círculos, mas isso não permitiu que ele encontrasse órbitas consistentes com as observações de Brahe. Trabalhando com os dados de Marte, ele acabou descobrindo que a órbita desse planeta tinha a forma de um círculo ou elipse um tanto achatado. Ao lado do círculo, a elipse é o tipo mais simples de curva fechada, pertencente a uma família de curvas conhecida como seções cônicas (Figura\(\PageIndex{2}\)).
Você deve se lembrar das aulas de matemática que, em um círculo, o centro é um ponto especial. A distância do centro até qualquer lugar no círculo é exatamente a mesma. Em uma elipse, a soma da distância de dois pontos especiais dentro da elipse até qualquer ponto na elipse é sempre a mesma. Esses dois pontos dentro da elipse são chamados de focos (singular: foco), uma palavra inventada para esse fim por Kepler.
Essa propriedade sugere uma maneira simples de desenhar uma elipse (Figura\(\PageIndex{3}\)). Enrolamos as pontas de um laço de barbante em torno de duas tachas passadas por uma folha de papel em uma prancheta de desenho, para que a corda fique frouxa. Se empurrarmos um lápis contra a corda, deixando-a esticada, e depois deslizarmos o lápis contra a corda ao redor das tachas, a curva resultante será uma elipse. Em qualquer ponto onde o lápis possa estar, a soma das distâncias entre o lápis e as duas tachas é um comprimento constante — o comprimento da corda. As tachas estão nos dois focos da elipse.
O diâmetro mais largo da elipse é chamado de eixo principal. Metade dessa distância — ou seja, a distância do centro da elipse até uma extremidade — é o semi-eixo maior, que geralmente é usado para especificar o tamanho da elipse. Por exemplo, o semi-eixo maior da órbita de Marte, que também é a distância média do planeta em relação ao Sol, é de 228 milhões de quilômetros.
A forma (redondeza) de uma elipse depende da proximidade entre os dois focos, em comparação com o eixo principal. A razão entre a distância entre os focos e o comprimento do semi-eixo maior é chamada de excentricidade da elipse.
Se os focos (ou tachas) forem movidos para o mesmo local, a distância entre os focos será zero. Isso significa que a excentricidade é zero e a elipse é apenas um círculo; portanto, um círculo pode ser chamado de elipse de excentricidade zero. Em um círculo, o eixo semi-maior seria o raio.
Em seguida, podemos fazer elipses de vários alongamentos (ou comprimentos estendidos) variando o espaçamento das tachas (desde que não estejam mais afastadas do que o comprimento da corda). Quanto maior a excentricidade, mais alongada é a elipse, até uma excentricidade máxima de 1,0, quando a elipse se torna “plana”, o outro extremo de um círculo.
O tamanho e a forma de uma elipse são completamente especificados por seu eixo semi-maior e sua excentricidade. Usando os dados de Brahe, Kepler descobriu que Marte tem uma órbita elíptica, com o Sol em um foco (o outro foco está vazio). A excentricidade da órbita de Marte é de apenas 0,1; sua órbita, desenhada em escala, seria praticamente indistinguível de um círculo, mas a diferença acabou sendo crítica para entender os movimentos planetários.
Kepler generalizou esse resultado em sua primeira lei e disse que as órbitas de todos os planetas são elipses. Este foi um momento decisivo na história do pensamento humano: não era necessário ter apenas círculos para ter um cosmos aceitável. O universo poderia ser um pouco mais complexo do que os filósofos gregos queriam que fosse.
A segunda lei de Kepler trata da velocidade com que cada planeta se move ao longo de sua elipse, também conhecida como velocidade orbital. Trabalhando com as observações de Brahe sobre Marte, Kepler descobriu que o planeta acelera à medida que se aproxima do Sol e desacelera à medida que se afasta do Sol. Ele expressou a forma precisa dessa relação imaginando que o Sol e Marte estão conectados por uma linha reta e elástica. Quando Marte está mais próximo do Sol (posições 1 e 2 na Figura\(\PageIndex{4}\)), a linha elástica não é tão esticada e o planeta se move rapidamente. Mais longe do Sol, como nas posições 3 e 4, a linha é muito esticada e o planeta não se move tão rápido. Enquanto Marte viaja em sua órbita elíptica ao redor do Sol, a linha elástica varre as áreas da elipse à medida que ela se move (as regiões coloridas em nossa figura). Kepler descobriu que em intervalos iguais de tempo (t), as áreas varridas no espaço por essa linha imaginária são sempre iguais; ou seja, a área da região B de 1 a 2 é a mesma da região A de 3 a 4.
Se um planeta se move em uma órbita circular, a linha elástica é sempre esticada na mesma quantidade e o planeta se move a uma velocidade constante em torno de sua órbita. Mas, como Kepler descobriu, na maioria das órbitas essa velocidade de um planeta orbitando sua estrela (ou lua orbitando seu planeta) tende a variar porque a órbita é elíptica.
Terceira Lei de Kepler
As duas primeiras leis do movimento planetário de Kepler descrevem a forma da órbita de um planeta e nos permitem calcular a velocidade de seu movimento em qualquer ponto da órbita. Kepler ficou satisfeito por ter descoberto essas regras fundamentais, mas elas não satisfizeram sua busca de entender completamente os movimentos planetários. Ele queria saber por que as órbitas dos planetas estavam espaçadas como estão e encontrar um padrão matemático em seus movimentos — uma “harmonia das esferas”, como ele a chamava. Por muitos anos, ele trabalhou para descobrir as relações matemáticas que governam o espaçamento planetário e o tempo que cada planeta levou para girar em torno do Sol.
Em 1619, Kepler descobriu uma relação básica para relacionar as órbitas dos planetas com suas distâncias relativas do Sol. Definimos o período orbital de um planeta, (\(P\)), como o tempo que um planeta leva para viajar uma vez ao redor do Sol. Além disso, lembre-se de que o semi-eixo maior de um planeta, a, é igual à sua distância média do Sol. A relação, agora conhecida como terceira lei de Kepler, diz que o período orbital de um planeta ao quadrado é proporcional ao eixo semi-maior de sua órbita ao cubo, ou
\[P^2 \propto a^3 \nonumber\]
Quando\(P\) (o período orbital) é medido em anos e a é expresso em uma quantidade conhecida como unidade astronômica (AU), os dois lados da fórmula não são apenas proporcionais, mas iguais. Uma UA é a distância média entre a Terra e o Sol e é aproximadamente igual a 1,5 × 108 quilômetros. Nessas unidades,
\[P^2=a^3 \nonumber\]
A terceira lei de Kepler se aplica a todos os objetos que orbitam o Sol, incluindo a Terra, e fornece um meio de calcular suas distâncias relativas do Sol a partir do tempo que eles demoram para orbitar. Vejamos um exemplo específico para ilustrar a utilidade da terceira lei de Kepler.
Por exemplo, suponha que você calcule quanto tempo Marte leva para contornar o Sol (em anos terrestres). A terceira lei de Kepler pode então ser usada para calcular a distância média de Marte em relação ao Sol. O período orbital de Marte (1,88 anos terrestres) ao quadrado\(P^2\), ou, é 1,882 = 3,53, e de acordo com a equação da terceira lei de Kepler, isso é igual ao cubo de seu eixo semi-maior, ou\(a^3\). Então, qual número deve ser reduzido ao cubo para dar 3,53? A resposta é 1,52 (desde\(1.52 \times 1.52 \times 1.52 = 3.53\)). Assim, o semi-eixo maior de Marte em unidades astronômicas deve ser de 1,52 UA. Em outras palavras, para dar a volta ao Sol em pouco menos de dois anos, Marte deve estar cerca de 50% (metade novamente) da distância do Sol quanto a Terra.
Exemplo\(\PageIndex{1}\): cálculo de períodos
Imagine que um objeto esteja viajando ao redor do Sol. Qual seria o período orbital do objeto se sua órbita tivesse um semi-eixo maior de 50 UA?
Solução
Pela terceira lei de Kepler, sabemos que (quando usamos unidades de anos e AU)
\[P^2=a^3 \nonumber\]
Se a órbita do objeto tiver um semi-eixo maior de 4 UA (a = 50), podemos cubar 50 e, em seguida, pegar a raiz quadrada do resultado para obter P:
\[ \begin{array}{l} P = \sqrt{a^3} \\ P = \sqrt{50 \times 50 \times 50} = \sqrt{125,000} = 353.6 \text{ years} \end{array}\]
Portanto, o período orbital do objeto é de cerca de 350 anos. Isso colocaria nosso objeto hipotético além da órbita de Plutão.
Exercício\(\PageIndex{1}\)
Qual seria o período orbital de um asteróide (um pedaço rochoso entre Marte e Júpiter) com um eixo semi-maior de 3 UA?
- Responda
-
\[P = \sqrt{3 \times 3 \times 3} = \sqrt{27} = 5.2 \text{ years}\]
As três leis do movimento planetário de Kepler podem ser resumidas da seguinte forma:
- Primeira lei de Kepler: Cada planeta se move ao redor do Sol em uma órbita que é uma elipse, com o Sol em um foco da elipse.
- Segunda lei de Kepler: A linha reta que une um planeta e o Sol varre áreas iguais no espaço em intervalos iguais de tempo.
- Terceira lei de Kepler: O quadrado do período orbital de um planeta é diretamente proporcional ao cubo do semi-eixo maior de sua órbita.
As três leis de Kepler fornecem uma descrição geométrica precisa do movimento planetário dentro da estrutura do sistema copernicano. Com essas ferramentas, foi possível calcular as posições planetárias com uma precisão bastante aprimorada. Ainda assim, as leis de Kepler são puramente descritivas: elas não nos ajudam a entender quais forças da natureza restringem os planetas a seguir esse conjunto específico de regras. Esse passo foi deixado para Isaac Newton.
Exemplo\(\PageIndex{2}\): Aplicação da Terceira Lei de Kepler
Usando os períodos orbitais e os eixos semimaiores de Vênus e Terra que são fornecidos aqui,\(P^2\) calcule\(a^3\) e verifique se eles obedecem à terceira lei de Kepler. O período orbital de Vênus é de 0,62 anos e seu eixo semi-maior é de 0,72 UA. O período orbital da Terra é de 1,00 ano e seu eixo semi-maior é de 1,00 UA.
Solução
Podemos usar a equação para a terceira lei de Kepler,\(P^2 \propto a^3\). Para Vênus,\(P^2 = 0.62 \times 0.62 = 0.38 \text{ years}\) e\(a^3 = 0.72 \times 0.72 \times 0.72 = 0.37 \text{ AU}\) (arredondar números às vezes causa pequenas discrepâncias como essa). O período orbital (0,38 anos) se aproxima do eixo semi-maior (0,37 UA).
Portanto, Vênus obedece à terceira lei de Kepler. Para a Terra,\(P^2 = 1.00 \times 1.00 = 1.00 \text{ year}\)\(a^3 = 1.00 \times 1.00 \times 1.00 = 1.00 \text{ AU}\) e. O período orbital (1,00 ano) se aproxima (neste caso, é igual) ao semi-eixo maior (1,00 UA). Portanto, a Terra obedece à terceira lei de Kepler.
Exercício\(\PageIndex{1}\)
Usando os períodos orbitais e os eixos semimaiores de Saturno e Júpiter que são fornecidos aqui,\(P^2\) calcule\(a^3\) e verifique se eles obedecem à terceira lei de Kepler. O período orbital de Saturno é de 29,46 anos e seu eixo semi-maior é 9,54 UA. O período orbital de Júpiter é de 11,86 anos e seu eixo semi-maior é de 5,20 UA.
- Responda
-
Para Saturno,\(P^2 = 29.46 \times 29.46 = 867.9 \text{ years}\)\(a^3 = 9.54 \times 9.54 \times 9.54 = 868.3 \text{ AU}\) e. O período orbital (867,9 anos) se aproxima do eixo semi-maior (868,3 UA). Portanto, Saturno obedece à terceira lei de Kepler.
Em homenagem ao cientista que primeiro elaborou as leis que governam os movimentos dos planetas, a equipe que construiu a primeira espaçonave a procurar planetas orbitando outras estrelas decidiu chamar a sonda de “Kepler”. Para saber mais sobre a vida de Johannes Kepler e suas leis do movimento planetário, bem como muitas informações sobre a Missão Kepler, visite o site Kepler da NASA e siga os links que lhe interessam.
Conceitos principais e resumo
As observações precisas de Tycho Brahe sobre as posições planetárias forneceram os dados usados por Johannes Kepler para derivar suas três leis fundamentais do movimento planetário. As leis de Kepler descrevem o comportamento dos planetas em suas órbitas da seguinte forma: (1) as órbitas planetárias são elipses com o Sol em um foco; (2) em intervalos iguais, a órbita de um planeta varre áreas iguais; e (3) a relação entre o período orbital (\(P\)) e o semi-eixo maior (\(a\)) de um a órbita é dada por\(P^2 = a^3\) (quando\(a\) está em unidades de UA e\(P\) está em unidades de anos terrestres).
Glossário
- unidade astronômica (AU)
- a unidade de comprimento definida como a distância média entre a Terra e o Sol; essa distância é de cerca de 1,5 × 108 quilômetros
- excentricidade
- em uma elipse, a razão entre a distância entre os focos e o eixo maior
- elipse
- uma curva fechada para a qual a soma das distâncias de qualquer ponto na elipse até dois pontos internos (chamados de focos) é sempre a mesma
- foco
- (plural: focos) um dos dois pontos fixos dentro de uma elipse a partir do qual a soma das distâncias até qualquer ponto da elipse é constante
- Primeira lei de Kepler
- cada planeta se move ao redor do Sol em uma órbita que é uma elipse, com o Sol em um foco da elipse
- Segunda lei de Kepler
- a linha reta que une um planeta e o Sol varre áreas iguais no espaço em intervalos iguais de tempo
- Terceira lei de Kepler
- o quadrado do período orbital de um planeta é diretamente proporcional ao cubo do semi-eixo maior de sua órbita
- eixo principal
- o diâmetro máximo de uma elipse
- orbita
- o caminho de um objeto que está em revolução em torno de outro objeto ou ponto
- período orbital (P)
- o tempo que um objeto leva para viajar uma vez ao redor do Sol
- velocidade orbital
- a velocidade com que um objeto (geralmente um planeta) orbita em torno da massa de outro objeto; no caso de um planeta, a velocidade com que cada planeta se move ao longo de sua elipse
- eixo semi-maior
- metade do eixo principal de uma seção cônica, como uma elipse