15.E: Oscilações (exercícios)
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Problemas
15.1 Movimento harmônico simples
- Prove que usar x (t) = Asin (\(\omega\)t +\(\phi\)) produzirá os mesmos resultados para o período para as oscilações de uma massa e uma mola. Por que você acha que a função cosseno foi escolhida?
- Qual é o período de 60,0 Hz de energia elétrica?
- Se sua frequência cardíaca for de 150 batimentos por minuto durante exercícios extenuantes, qual é o tempo por batimento em unidades de segundos?
- Encontre a frequência de um diapasão que leva 2,50 x 10 −3 s para completar uma oscilação.
- Um estroboscópio está configurado para piscar a cada 8,00 x 10 −5 s. Qual é a frequência dos flashes?
- Um pneu tem um padrão de piso com uma fenda a cada 2,00 cm. Cada fenda produz uma única vibração à medida que o pneu se move. Qual é a frequência dessas vibrações se o carro se mover a 30,0 m/s?
- Cada pistão de um motor emite um som nítido a cada duas rotações do motor. (a) Qual a velocidade de um carro de corrida se seu motor de oito cilindros emite um som de frequência de 750 Hz, já que o motor faz 2000 rotações por quilômetro? (b) Em quantas rotações por minuto o motor está girando?
- Um tipo de relógio cuco mantém o tempo com uma massa pulando em uma mola, geralmente algo fofo como um querubim em uma cadeira. Qual constante de força é necessária para produzir um período de 0,500 s para uma massa de 0,0150 kg?
- Uma massa m 0 é presa a uma mola e pendurada verticalmente. A massa é levantada a uma curta distância na direção vertical e liberada. A massa oscila com uma frequência de 0. Se a massa fosse substituída por uma massa nove vezes maior e o experimento fosse repetido, qual seria a frequência das oscilações em termos de f 0?
- Uma massa de 0,500 kg suspensa de uma mola oscila com um período de 1,50 s. Quanta massa deve ser adicionada ao objeto para alterar o período para 2,00 s?
- Quanta margem de manobra (porcentagem e massa) você teria na seleção da massa do objeto no problema anterior se não desejasse que o novo período fosse maior que 2,01 s ou menor que 1,99 s?
15.2 Energia em movimento harmônico simples
- Os peixes são pendurados em uma escama de mola para determinar sua massa. (a) Qual é a força constante da mola em tal escala se a mola se estender 8,00 cm para uma carga de 10,0 kg? (b) Qual é a massa de um peixe que se estende pela primavera por 5,50 cm? (c) A que distância estão as marcas de meio quilograma na balança?
- É hora de pesar a equipe local de rúgbi abaixo de 85 kg. A balança de banheiro usada para avaliar a elegibilidade pode ser descrita pela lei de Hooke e é deprimida em 0,75 cm por sua carga máxima de 120 kg. (a) Qual é a constante de força efetiva da mola? (b) Um jogador fica na balança e a pressiona em 0,48 cm. Ele é elegível para jogar nesta equipe com menos de 85 kg?
- Um tipo de pistola BB usa um êmbolo acionado por mola para soprar o BB de seu cano. (a) Calcule a constante de força da mola do êmbolo se você precisar comprimi-la 0,150 m para acionar o êmbolo de 0,0500 kg a uma velocidade máxima de 20,0 m/s. (b) Que força deve ser exercida para comprimir a mola?
- Quando um homem de 80,0 kg fica em cima de um pula-pula, a mola é comprimida 0,120 m. (a) Qual é a força constante da mola? (b) A mola ficará mais comprimida quando ele pular pela estrada?
- Uma mola tem um comprimento de 0,200 m quando uma massa de 0,300 kg está pendurada nela e um comprimento de 0,750 m quando uma massa de 1,95 kg está pendurada nela. (a) Qual é a constante de força da mola? (b) Qual é o comprimento descarregado da mola?
- O comprimento da corda de náilon da qual um alpinista é suspenso tem uma constante de força efetiva de 1,40 x 10 4 N/m. (a) Qual é a frequência com que ele salta, considerando sua massa mais e a massa de seu equipamento são 90,0 kg? (b) Quanto essa corda se esticaria para quebrar a queda do alpinista se ele caísse livremente 2,00 m antes que a corda fique sem folga? (Dica: use a conservação de energia.) (c) Repita as duas partes desse problema na situação em que o dobro desse comprimento de corda de náilon é usado.
15.3 Comparando o movimento harmônico simples e o movimento circular
- O movimento de uma massa em uma mola suspensa verticalmente, onde a massa oscila para cima e para baixo, também pode ser modelado usando o disco rotativo. Em vez de as luzes serem colocadas horizontalmente na parte superior e apontando para baixo, coloque-as na vertical e faça com que as luzes brilhem na lateral do disco giratório. Uma sombra será produzida em uma parede próxima e se moverá para cima e para baixo. Escreva as equações de movimento para a sombra assumindo a posição em t = 0,0 s como y = 0,0 m com a massa se movendo na direção y positiva.
- (a) Um relógio inovador tem um objeto de massa de 0,0100 kg saltando sobre uma mola que tem uma força constante de 1,25 N/ m. Qual é a velocidade máxima do objeto se o objeto saltar 3,00 cm acima e abaixo de sua posição de equilíbrio? (b) Quantos joules de energia cinética o objeto tem em sua velocidade máxima?
- O movimento recíproco usa a rotação de um motor para produzir movimento linear para cima e para baixo ou para frente e para trás. É assim que uma serra recíproca opera, conforme mostrado abaixo. Se o motor girar a 60 Hz e tiver um raio de 3,0 cm, estime a velocidade máxima da lâmina da serra à medida que ela se move para cima e para baixo. Esse design é conhecido como garfo escocês.
- Um estudante fica à beira de um carrossel que gira cinco vezes por minuto e tem um raio de dois metros em uma noite, quando o sol se põe. O estudante produz uma sombra no prédio vizinho. (a) Escreva uma equação para a posição da sombra. (b) Escreva uma equação para a velocidade da sombra.
15.4 Pêndulos
- Qual é o comprimento de um pêndulo que tem um período de 0,500 s?
- Algumas pessoas pensam que um pêndulo com um período de 1,00 s pode ser acionado com “energia mental” ou psicocineticamente, porque seu período é o mesmo de um batimento cardíaco médio. Verdadeiro ou não, qual é o comprimento desse pêndulo?
- Qual é o período de um pêndulo de 1,00 m de comprimento?
- Quanto tempo uma criança leva para completar um balanço se seu centro de gravidade estiver 4,00 m abaixo do pivô?
- O pêndulo de um relógio de cuco tem 5,00 cm de comprimento. Qual é sua frequência?
- Dois periquitos se sentam em um balanço com seus CMs combinados 10,0 cm abaixo do pivô. Com que frequência eles balançam?
- (a) Um pêndulo que tem um período de 3.00000 s e que está localizado onde a aceleração devido à gravidade é 9,79 m/s 2 é movido para um local onde a aceleração devido à gravidade é 9,82 m/s 2. Qual é seu novo período? (b) Explique por que tantos dígitos são necessários no valor do período, com base na relação entre o período e a aceleração devido à gravidade.
- Um pêndulo com um período de 2.00000 s em um local (g = 9,80m/s 2) é movido para um novo local onde o período agora é de 1.99796 s. Qual é a aceleração devido à gravidade em seu novo local?
- (a) Qual é o efeito no período de um pêndulo se você dobrar seu comprimento? (b) Qual é o efeito no período de um pêndulo se você diminuir seu comprimento em 5,00%?
15.5 Oscilações amortecidas
- A amplitude de um oscilador levemente amortecido diminui em 3,0% durante cada ciclo. Qual porcentagem da energia mecânica do oscilador é perdida em cada ciclo?
15.6 Oscilações forçadas
- Quanta energia os amortecedores de um carro de 1200 kg devem dissipar para amortecer um salto que inicialmente tem uma velocidade de 0,800 m/s na posição de equilíbrio? Suponha que o carro retorne à sua posição vertical original.
- Se um carro tiver um sistema de suspensão com uma força constante de 5,00 x 10 4 N/m, quanta energia os amortecedores do carro devem remover para amortecer uma oscilação começando com um deslocamento máximo de 0,0750 m?
- (a) Quanto uma mola com uma constante de força de 40,0 N/m será esticada por um objeto com uma massa de 0,500 kg quando pendurada imóvel na mola? (b) Calcule a diminuição da energia potencial gravitacional do objeto de 0,500 kg quando ele desce essa distância. (c) Parte dessa energia gravitacional vai para a primavera. Calcule a energia armazenada na primavera nesse trecho e compare-a com a energia potencial gravitacional. Explique para onde o resto da energia pode ir.
- Suponha que você tenha um objeto de 0,750 kg em uma superfície horizontal conectado a uma mola que tenha uma força constante de 150 N/m. Há atrito simples entre o objeto e a superfície com um coeficiente de atrito estático\(\mu_{s}\) = 0,100. (a) Até onde a mola pode ser esticada sem mover a massa? (b) Se o objeto for colocado em oscilação com uma amplitude duas vezes a distância encontrada na parte (a) e o coeficiente cinético de atrito for\(\mu_{k}\) = 0,0850, qual a distância total que ele percorre antes de parar? Suponha que ele comece na amplitude máxima.
Problemas adicionais
- Suponha que você conecte um objeto com massa m a uma mola vertical originalmente em repouso e a deixe saltar para cima e para baixo. Você libera o objeto do repouso no comprimento de descanso original da mola, o comprimento da mola em equilíbrio, sem a massa presa. A amplitude do movimento é a distância entre a posição de equilíbrio da mola sem a massa fixada e a posição de equilíbrio da mola com a massa fixada. (a) Mostre que a mola exerce uma força ascendente de 2,00 mg sobre o objeto em seu ponto mais baixo. (b) Se a mola tiver uma força constante de 10,0 N/m, for suspensa horizontalmente e a posição da extremidade livre da mola estiver marcada como y = 0,00 m, onde está a nova posição de equilíbrio se um objeto de massa de 0,25 kg for pendurado na mola? (c) Se a mola tiver uma força constante de 10,0 M/m e um objeto de massa de 0,25 kg for acionado conforme descrito, determine a amplitude das oscilações. (d) Encontre a velocidade máxima.
- Um mergulhador em uma prancha de mergulho está passando pelo SHM. Sua massa é de 55,0 kg e o período de seu movimento é de 0,800 s. O próximo mergulhador é um homem cujo período de oscilação harmônica simples é de 1,05 s. Qual é a massa dele se a massa da prancha for insignificante?
- uma frequência de 4,00 Hz. A prancha tem uma massa efetiva de 10,0 kg. Qual é a frequência do SHM de um mergulhador de 75,0 kg na prancha?
- O dispositivo ilustrado na figura a seguir entretém os bebês enquanto os impede de vagar. A criança pula em um arnês suspenso na moldura da porta por uma mola. (a) Se a mola se estender por 0,250 m enquanto sustenta uma criança de 8,0 kg, qual é sua força constante? (b) Qual é o tempo para um salto completo dessa criança? (c) Qual é a velocidade máxima da criança se a amplitude de seu salto for de 0,200 m?

- Uma massa é colocada em uma mesa horizontal sem atrito. Uma mola (k = 100 N/m), que pode ser esticada ou comprimida, é colocada sobre a mesa. Uma massa de 5,00 kg é fixada em uma extremidade da mola e a outra extremidade é ancorada na parede. A posição de equilíbrio está marcada em zero. Um aluno move a massa para x = 4,0 cm e a libera do repouso. A massa oscila em SHM. (a) Determine as equações do movimento. (b) Encontre a posição, velocidade e aceleração da massa no tempo t = 3,00 s.
- Encontre a razão entre os períodos novo/antigo de um pêndulo se o pêndulo foi transportado da Terra para a Lua, onde a aceleração devido à gravidade é de 1,63 m/s 2.
- Em que velocidade um relógio de pêndulo funcionará na Lua, onde a aceleração devido à gravidade é de 1,63 m/s 2, se ela mantiver o tempo com precisão na Terra? Ou seja, encontre a hora (em horas) que o ponteiro das horas do relógio leva para fazer uma revolução na Lua.
- Se um relógio acionado por pêndulo ganhar 5,00 s/dia, que mudança fracionária no comprimento do pêndulo deve ser feita para que ele mantenha a hora perfeita?
- Um objeto de 2,00 kg está pendurado, em repouso, em uma corda de 1,00 m de comprimento presa ao teto. Uma massa de 100 g é queimada com uma velocidade de 20 m/s na massa de 2,00 kg, e a massa de 100,00 g colide perfeitamente elasticamente com a massa de 2,00 kg. Escreva uma equação para o movimento da massa suspensa após a colisão. Suponha que a resistência do ar seja insignificante.
- Um objeto de 2,00 kg está pendurado, em repouso, em uma corda de 1,00 m de comprimento presa ao teto. Um objeto de 100 g é disparado com uma velocidade de 20 m/s contra um objeto de 2,00 kg, e os dois objetos colidem e se unem em uma colisão totalmente inelástica. Escreva uma equação para o movimento do sistema após a colisão. Suponha que a resistência do ar seja insignificante.
- Suponha que um pêndulo usado para acionar um relógio avô tenha um comprimento L 0 = 1,00 m e uma massa M à temperatura T = 20,00°C. Ele pode ser modelado como um pêndulo físico como uma haste oscilando em torno de uma extremidade. Em que porcentagem o período mudará se a temperatura aumentar em 10° C? Suponha que o comprimento da haste mude linearmente com a temperatura, onde L = L 0 (1 +\(\alpha \Delta\) T) e a haste é feita de latão (\(\alpha\)= 18 x 10 −6 °C −1).
- Um bloco de 2,00 kg está em repouso em uma mesa sem atrito. Uma mola, com uma constante de mola de 100 N/m, é fixada na parede e no bloco. Um segundo bloco de 0,50 kg é colocado em cima do primeiro bloco. O bloco de 2,00 kg é puxado suavemente para a posição x = + A e liberado do repouso. Há um coeficiente de atrito de 0,45 entre os dois blocos. (a) Qual é o período das oscilações? (b) Qual é a maior amplitude de movimento que permitirá que os blocos oscilem sem que o bloco de 0,50 kg deslize?
Problemas de desafio
- Uma ponte suspensa oscila com uma constante de força efetiva de 1,00 x 10 8 N/m. (a) Quanta energia é necessária para fazê-la oscilar com uma amplitude de 0,100 m? (b) Se os soldados marcharem pela ponte com uma cadência igual à frequência natural da ponte e transmitirem 1,00 x 10 4 J de energia a cada segundo, quanto tempo leva para que as oscilações da ponte passem de 0,100 m para 0,500 m de amplitude.
- Perto do topo do prédio do Citigroup Center, na cidade de Nova York, há um objeto com massa de 4,00 x 10 5 kg em molas que têm constantes de força ajustáveis. Sua função é atenuar as oscilações do edifício provocadas pelo vento, oscilando na mesma frequência em que o edifício está sendo acionado — a força motriz é transferida para o objeto, que oscila em vez de todo o edifício. (a) Qual constante de força efetiva as molas devem ter para fazer o objeto oscilar com um período de 2,00 s? (b) Que energia é armazenada nas molas para um deslocamento de 2,00 m do equilíbrio?
- Parcelas de ar (pequenos volumes de ar) em uma atmosfera estável (onde a temperatura aumenta com a altura) podem oscilar para cima e para baixo, devido à força de restauração fornecida pela flutuabilidade da parcela de ar. A frequência das oscilações é uma medida da estabilidade da atmosfera. Supondo que a aceleração de uma parcela aérea possa ser modelada como\(\frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}} = \frac{g \partial \rho (z)}{\rho_{0} \partial z} z'\), prove que\(z' = z'_{0} e^{t \sqrt{-N^{2}}}\) é uma solução, onde N é conhecido como frequência Brunt-Väisälä. Observe que em uma atmosfera estável, a densidade diminui com a altura e a parcela oscila para cima e para baixo.
- Considere o potencial de van der Waals U (r) = U 0\(\Bigg[ \left(\dfrac{R_{0}}{r}\right)^{2} - 2 \left(\dfrac{R_{0}}{r}\right)^{6} \Bigg] \), usado para modelar a função de energia potencial de duas moléculas, onde o potencial mínimo está em r = R 0. Encontre a força em função de r. Considere um pequeno deslocamento r = R 0 + r′e use o teorema binomial: $$ (1 + x) ^ {n} = 1 + nx +\ frac {n (n-1)} {2!} x^ {2} +\ frac {n (n - 1) (n - 2)} {3!} x^ {3} +\ cdots$$, para mostrar que a força se aproxima da força da lei de Hooke.
- Suponha que o comprimento do pêndulo de um relógio seja alterado em 1.000%, exatamente ao meio-dia de um dia. A que horas o relógio será lido 24,00 horas depois, supondo que o pêndulo tenha mantido a hora perfeita antes da mudança? Observe que há duas respostas e realize o cálculo com precisão de quatro dígitos.
- (a) As molas de uma caminhonete agem como uma única mola com uma força constante de 1,30 x 10 5 N/m. Até que ponto o caminhão ficará pressionado por sua carga máxima de 1000 kg? (b) Se a caminhonete tiver quatro molas idênticas, qual é a força constante de cada uma?