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15.6: Oscilações amortecidas

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    Objetivos de
    • Descreva o movimento do movimento harmônico amortecido
    • Escreva as equações de movimento para oscilações harmônicas amortecidas
    • Descreva o movimento do movimento harmônico amortecido acionado ou forçado
    • Escreva as equações de movimento para o movimento harmônico forçado e amortecido

    No mundo real, as oscilações raramente seguem o verdadeiro SHM. Algum tipo de atrito geralmente atua para amortecer o movimento, fazendo com que ele desapareça ou precise de mais força para continuar. Nesta seção, examinamos alguns exemplos de movimento harmônico amortecido e vemos como modificar as equações de movimento para descrever esse caso mais geral.

    Uma corda de guitarra para de oscilar alguns segundos depois de ser dedilhada. Para continuar balançando em um baloiço de playground, você deve continuar empurrando (Figura\(\PageIndex{1}\)). Embora muitas vezes possamos tornar o atrito e outras forças não conservadoras pequenas ou insignificantes, movimentos completamente sem amortecimento são raros. Na verdade, podemos até querer amortecer as oscilações, como nos amortecedores de carros.

    Uma foto de uma pessoa em um balanço
    Figura\(\PageIndex{1}\): Para neutralizar as forças de amortecimento, você precisa continuar bombeando um balanço. (crédito: Bob Mical)

    \(\PageIndex{2}\)A figura mostra uma massa m presa a uma mola com uma força constante k. A massa é elevada para a posição A 0, a amplitude inicial, e então liberada. A massa oscila em torno da posição de equilíbrio em um fluido com viscosidade, mas a amplitude diminui a cada oscilação. Para um sistema que tem uma pequena quantidade de amortecimento, o período e a frequência são constantes e são quase iguais aos do SHM, mas a amplitude diminui gradualmente conforme mostrado. Isso ocorre porque a força de amortecimento não conservadora remove energia do sistema, geralmente na forma de energia térmica.

    Uma massa m é suspensa de uma mola vertical e imersa em um fluido com viscosidade eta. Um gráfico da oscilação amortecida mostra o deslocamento x em metros no eixo vertical em função do tempo em segundos no eixo horizontal. O intervalo de x é de menos A abaixo de zero a mais A abaixo de zero. A escala de tempo é de zero a 7 T, com tiques em incrementos de T. O deslocamento é mais A abaixo de zero no tempo zero e oscila entre máximos positivos e mínimos negativos, com cada ciclo completo levando o mesmo tempo T, mas a amplitude das oscilações diminuindo com o tempo.
    Figura\(\PageIndex{2}\): Para uma massa em uma mola oscilando em um fluido viscoso, o período permanece constante, mas as amplitudes das oscilações diminuem devido ao amortecimento causado pelo fluido.

    Considere as forças que atuam na massa. Observe que a única contribuição do peso é mudar a posição de equilíbrio, conforme discutido anteriormente no capítulo. Portanto, a força útil é igual à força da mola e à força de amortecimento (\(F_D\)). Se a magnitude da velocidade for pequena, o que significa que a massa oscila lentamente, a força de amortecimento é proporcional à velocidade e age contra a direção do movimento (\(F_D = −b\)). A força líquida sobre a massa é, portanto,

    \[ma = -bv - kx \ldotp\]

    Escrevendo isso como uma equação diferencial em x, obtemos

    \[m \frac{d^{2} x}{dt^{2}} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0 \ldotp \label{15.23}\]

    Para determinar a solução para essa equação, considere o gráfico de posição versus tempo mostrado na Figura\(\PageIndex{3}\). A curva se assemelha a uma curva de cosseno oscilando no envelope de uma função exponencial\(A_0e^{−\alpha t}\) onde\(\alpha = \frac{b}{2m}\). A solução é

    \[x(t) = A_{0} e^{- \frac{b}{2m} t} \cos (\omega t + \phi) \ldotp \label{15.24}\]

    Resta como um exercício para provar que essa é, de fato, a solução. Para provar que é a solução correta, pegue a primeira e a segunda derivadas em relação ao tempo e substitua-as na Equação 15.23. Verifica-se que a Equação 15.24 é a solução se

    \[\omega = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}} \ldotp\]

    Lembre-se de que a frequência angular de uma massa submetida a SHM é igual à raiz quadrada da constante de força dividida pela massa. Isso geralmente é chamado de frequência angular natural, que é representada como

    \[\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} \ldotp \label{15.25}\]

    A frequência angular para o movimento harmônico amortecido se torna

    \[\omega = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}} \ldotp \label{15.26}\]

    A figura mostra um gráfico do deslocamento, x em metros, ao longo do eixo vertical, versus o tempo em segundos ao longo do eixo horizontal. O deslocamento varia de menos A sub zero a mais A sub zero e o tempo varia de 0 a 10 T. O deslocamento, mostrado por uma curva azul, oscila entre máximos positivos e mínimos negativos, formando uma onda cuja amplitude está diminuindo gradualmente à medida que nos afastamos de t=0. O tempo, T, entre cristas adjacentes permanece o mesmo por toda parte. O envelope, a curva suave que conecta as cristas e outra curva suave que conecta os vales das oscilações, é mostrado como um par de linhas vermelhas tracejadas. A curva superior conectando as cristas é rotulada como mais A abaixo de zero vezes e à quantidade menos b t acima de 2 m. A curva inferior conectando as calhas é rotulada como menos A abaixo de zero vezes e à quantidade menos b t acima de 2 m.
    Figura\(\PageIndex{3}\): Posição versus tempo da massa que oscila em uma mola em um fluido viscoso. Observe que a curva parece ser uma função de cosseno dentro de um envelope exponencial.

    Lembre-se de que, quando começamos essa descrição do movimento harmônico amortecido, afirmamos que o amortecimento deve ser pequeno. Duas perguntas vêm à mente. Por que o amortecimento deve ser pequeno? E quão pequeno é pequeno? Se você aumentar gradualmente a quantidade de amortecimento em um sistema, o período e a frequência começarão a ser afetados, pois o amortecimento se opõe e, portanto, retarda o movimento de ida e volta. (A força líquida é menor em ambas as direções.) Se houver um amortecimento muito grande, o sistema nem oscila — ele se move lentamente em direção ao equilíbrio. A frequência angular é igual a

    \[\omega = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}} \ldotp\]

    À medida que b aumenta,\(\frac{k}{m} - \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}\) fica menor e, eventualmente, chega a zero quando b =\(\sqrt{4mk}\). Se b se tornar maior,\(\frac{k}{m} - \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}\) se torna um número negativo e\(\sqrt{\frac{k}{m} - \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}}\) é um número complexo.

    A posição, x em metros no eixo vertical, versus tempo em segundos no eixo horizontal, com vários graus de amortecimento. Nenhuma escala é fornecida para nenhum dos eixos. Todas as três curvas começam na mesma posição positiva no tempo zero. A curva azul a, rotulada com b ao quadrado é menor que 4 m k, sofre um pouco mais de duas oscilações e um quarto de amplitude decrescente e período constante. A curva vermelha b, rotulada com b ao quadrado é igual a 4 m k, diminui em t=0 menos rapidamente do que a curva azul, mas não oscila. A curva vermelha se aproxima de x = 0 de forma assintotica e é quase zero dentro de uma oscilação da curva azul. A curva verde c, rotulada com b ao quadrado, é maior que 4 m k, diminui em t=0 menos rapidamente do que a curva vermelha e não oscila. A curva verde se aproxima de x=0 de forma assintotica, mas ainda está visivelmente acima de zero no final do gráfico, após mais de duas oscilações da curva azul.
    Figura\(\PageIndex{4}\): A posição versus tempo para três sistemas que consistem em uma massa e uma mola em um fluido viscoso. (a) Se o amortecimento for pequeno (b <\(\sqrt{4mk}\)), a massa oscila, perdendo lentamente a amplitude à medida que a energia é dissipada pela (s) força (s) não conservadora (s). O caso limite é (b) onde o amortecimento é (b =\(\sqrt{4mk}\)). (c) Se o amortecimento for muito grande (b >\(\sqrt{4mk}\)), a massa não oscila quando deslocada, mas tenta retornar à posição de equilíbrio.

    A figura\(\PageIndex{4}\) mostra o deslocamento de um oscilador harmônico para diferentes quantidades de amortecimento.

    1. Quando a constante de amortecimento é pequena\(\sqrt{4mk}\), b <, o sistema oscila enquanto a amplitude do movimento diminui exponencialmente. Diz-se que esse sistema está subamortecido, como na curva (a). Muitos sistemas são pouco amortecidos e oscilam enquanto a amplitude diminui exponencialmente, como a massa oscilando em uma mola. O amortecimento pode ser bem pequeno, mas eventualmente a massa repousa.
    2. Se a constante de amortecimento for\(b = \sqrt{4mk}\), diz-se que o sistema está criticamente amortecido, como na curva (\(b\)). Um exemplo de sistema criticamente amortecido são os amortecedores de um carro. É vantajoso que as oscilações diminuam o mais rápido possível. Aqui, o sistema não oscila, mas se aproxima assintoticamente da condição de equilíbrio o mais rápido possível.
    3. A curva (c) na Figura\(\PageIndex{4}\) representa um sistema sobreamortecido em que\(b > \sqrt{4mk}\). Um sistema superamortecido se aproximará do equilíbrio por um longo período de tempo.

    O amortecimento crítico é frequentemente desejado, porque esse sistema retorna ao equilíbrio rapidamente e também permanece em equilíbrio. Além disso, uma força constante aplicada a um sistema criticamente amortecido move o sistema para uma nova posição de equilíbrio no menor tempo possível, sem ultrapassar ou oscilar em torno da nova posição.

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Por que osciladores harmônicos completamente sem amortecimento são tão raros?