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15.5: Pêndulos

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    Objetivos de
    • Declare as forças que atuam em um pêndulo simples
    • Determine a frequência angular, a frequência e o período de um pêndulo simples em termos do comprimento do pêndulo e da aceleração devida à gravidade
    • Defina o período para um pêndulo físico
    • Defina o período para um pêndulo torcional

    Os pêndulos são de uso comum. Os relógios Avô usam um pêndulo para guardar o tempo e um pêndulo pode ser usado para medir a aceleração devido à gravidade. Para pequenos deslocamentos, um pêndulo é um oscilador harmônico simples.

    O pêndulo simples

    Um pêndulo simples é definido como tendo uma massa pontual, também conhecida como pêndulo, que é suspensa de uma corda de comprimento L com massa insignificante (Figura\(\PageIndex{1}\)). Aqui, as únicas forças que atuam no bob são a força da gravidade (ou seja, o peso do bob) e a tensão da corda. A massa da corda é considerada insignificante em comparação com a massa do bob.

    Na figura, uma barra horizontal é mostrada. Uma corda de comprimento L se estende da barra em um ângulo teta no sentido anti-horário em relação à vertical. A direção vertical é indicada por uma linha tracejada que se estende para baixo a partir de onde a corda está presa à barra. Uma bobina circular de massa m é fixada na extremidade inferior da corda. O arco da massa para a vertical é indicado por outra linha tracejada e tem um comprimento s. Uma seta vermelha mostrando o tempo T da oscilação da multidão é mostrada ao longo da linha da corda em direção à barra. Um sistema de coordenadas é mostrado próximo ao bob com a direção y positiva alinhada com a corda e apontando para o ponto de articulação e a direção x positiva apontando tangente ao arco e longe da posição de equilíbrio. Uma seta azul do bob em direção ao pivô, ao longo da corda, é rotulada como F sub T. Uma seta vermelha do bob apontando para baixo é rotulada como w = m g. Uma seta vermelha apontando tangente ao arco e em direção ao equilíbrio, na direção menos x, é rotulada como menos m g seno teta. Uma seta vermelha em um ângulo teta no sentido anti-horário de w é rotulada menos m g cosseno teta.
    Figura\(\PageIndex{1}\): Um pêndulo simples tem uma saliência de pequeno diâmetro e uma corda que tem uma massa muito pequena, mas é forte o suficiente para não se esticar sensivelmente. O deslocamento linear do equilíbrio é s, o comprimento do arco. Também são mostradas as forças no bob, que resultam em uma força líquida de −mgsin\(\theta\) em direção à posição de equilíbrio, ou seja, uma força restauradora.

    Considere o torque no pêndulo. A força que fornece o torque de restauração é o componente do peso do pêndulo que atua ao longo do comprimento do arco. O torque é o comprimento da corda L vezes o componente da força líquida que é perpendicular ao raio do arco. O sinal de menos indica que o torque atua na direção oposta ao deslocamento angular:

    \[\begin{split} \tau & = -L (mg \sin \theta); \\ I \alpha & = -L (mg \sin \theta); \\ I \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} & = -L (mg \sin \theta); \\ mL^{2} \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} & = -L (mg \sin \theta); \\ \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} & = - \frac{g}{L} \sin \theta \ldotp \end{split}\]

    A solução para essa equação diferencial envolve cálculo avançado e está além do escopo deste texto. Mas observe que para ângulos pequenos (menores que 15°), sin\(\theta\) e e\(\theta\) diferem em menos de 1%, então podemos usar a aproximação de ângulo pequeno sin\(\theta\)\(\theta\). O ângulo\(\theta\) descreve a posição do pêndulo. O uso da aproximação de ângulo pequeno fornece uma solução aproximada para ângulos pequenos,

    \[\frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} = - \frac{g}{L} \theta \ldotp \label{15.17}\]

    Como essa equação tem a mesma forma da equação para SHM, a solução é fácil de encontrar. A frequência angular é

    \[\omega = \sqrt{\frac{g}{L}} \label{15.18}\]

    e o período é

    \[T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} \ldotp \label{15.19}\]

    O período de um pêndulo simples depende de seu comprimento e da aceleração devida à gravidade. O período é completamente independente de outros fatores, como a massa e o deslocamento máximo. Como acontece com osciladores harmônicos simples, o período T para um pêndulo é quase independente da amplitude, especialmente se\(\theta\) for menor que cerca de 15°. Até mesmo relógios de pêndulo simples podem ser ajustados com precisão e permanecer precisos.

    Observe a dependência de T em g. Se o comprimento de um pêndulo for conhecido com precisão, ele pode realmente ser usado para medir a aceleração devido à gravidade, como no exemplo a seguir.

    Exemplo\(\PageIndex{1}\): Measuring Acceleration due to Gravity by the Period of a Pendulum

    Qual é a aceleração devido à gravidade em uma região onde um pêndulo simples com 75.000 cm de comprimento tem um período de 1.7357 s?

    Estratégia

    Somos solicitados a encontrar g dado o período T e o comprimento L de um pêndulo. Podemos resolver T = 2\(\pi\) L g para g, assumindo apenas que o ângulo de deflexão seja menor que 15°.

    Solução
    1. Quadrado T = 2\(\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\) e resolva para g: $$g = 4\ pi^ {2}\ frac {L} {T^ {2}} ldotp$$
    2. Substitua valores conhecidos na nova equação: $$g = 4\ pi^ {2}\ frac {0,75000\; m} {(1,7357\; s) ^ {2}}\ ldotp$$
    3. Calcule para encontrar g: $$g = 9.8281\; m/s^ {2}\ ldotp$$

    Significância

    Esse método para determinar g pode ser muito preciso, e é por isso que o comprimento e o período são dados a cinco dígitos neste exemplo. Para que a precisão da aproximação sin\(\theta\)\(\theta\) seja melhor do que a precisão do comprimento e período do pêndulo, o ângulo máximo de deslocamento deve ser mantido abaixo de cerca de 0,5°.

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Um engenheiro constrói dois pêndulos simples. Ambos são suspensos por pequenos fios presos ao teto de uma sala. Cada pêndulo paira 2 cm acima do chão. O pêndulo 1 tem uma bobina com uma massa de 10 kg. O pêndulo 2 tem uma bobina com uma massa de 100 kg. Descreva como o movimento dos pêndulos será diferente se ambas as bobinas forem deslocadas em 12°.

    Pêndulo físico

    Qualquer objeto pode oscilar como um pêndulo. Considere uma caneca de café pendurada em um gancho na despensa. Se a caneca bater, ela oscila para frente e para trás como um pêndulo até que as oscilações desapareçam. Descrevemos um pêndulo simples como uma massa pontual e uma corda. Um pêndulo físico é qualquer objeto cujas oscilações são semelhantes às do pêndulo simples, mas não pode ser modelado como uma massa pontual em uma corda, e a distribuição de massa deve ser incluída na equação do movimento.

    Quanto ao pêndulo simples, a força restauradora do pêndulo físico é a força da gravidade. Com o pêndulo simples, a força da gravidade atua no centro do pêndulo. No caso do pêndulo físico, a força da gravidade atua no centro de massa (CM) de um objeto. O objeto oscila em torno de um ponto O. Considere um objeto de forma genérica, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{2}\).

    Desenho de um pêndulo físico. Na figura, o pêndulo é um objeto de formato irregular. O centro de massa, C M, é a distância L do ponto de articulação, O. O centro de massa traça um arco circular, centrado em O. A linha de O a L forma um ângulo teta no sentido anti-horário a partir da vertical. Três forças são representadas por setas vermelhas no centro da massa. A força m g aponta para baixo. Seus componentes são menos m g seno teta, que aponta tangente ao arco traçado pelo centro de massa, e m g cosseno teta, que aponta radialmente para fora.
    Figura\(\PageIndex{2}\): Um pêndulo físico é qualquer objeto que oscila como um pêndulo, mas não pode ser modelado como uma massa pontual em uma corda. A força da gravidade atua no centro de massa (CM) e fornece a força restauradora que faz com que o objeto oscile. O sinal de menos no componente do peso que fornece a força de restauração está presente porque a força atua na direção oposta ao ângulo crescente\(\theta\).

    Quando um pêndulo físico está pendurado em um ponto, mas está livre para girar, ele gira devido ao torque aplicado no CM, produzido pelo componente do peso do objeto que age tangente ao movimento do CM. Considerando que a direção anti-horária é positiva, o componente da força gravitacional que age tangente ao movimento é −mg sin\(\theta\). O sinal de menos é o resultado da força restauradora atuando na direção oposta ao ângulo crescente. Lembre-se de que o torque é igual\(\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}\) a. A magnitude do torque é igual ao comprimento do braço radial vezes o componente tangencial da força aplicada, |\(\tau\) | = RFSin\(\theta\). Aqui, o comprimento L do braço radial é a distância entre o ponto de rotação e o CM. Para analisar o movimento, comece com o torque líquido. Como o pêndulo simples, considere apenas pequenos ângulos para que o pecado\(\theta\)\(\theta\). Lembre-se da rotação de eixo fixo em rotação que o torque líquido é igual ao momento de inércia I =\(\int\) r 2 dm vezes a aceleração angular\(\alpha\), onde\ (\ alpha =\ frac {d^ {2}\ theta} {dt^ {2} {dt^ {2}}:

    \[I \alpha = \tau_{net} = L (-mg) \sin \theta \ldotp\]

    Usando a aproximação de pequeno ângulo e reorganizando:

    \[\begin{split} I \alpha & = -L (mg) \theta; \\ I \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} & = -L (mg) \theta; \\ \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} & = - \left(\dfrac{mgL}{I}\right) \theta \ldotp \end{split}\]

    Mais uma vez, a equação diz que a segunda derivada temporal da posição (neste caso, o ângulo) é igual a menos uma constante\(\left(− \dfrac{mgL}{I}\right)\) vezes a posição. A solução é

    \[\theta (t) = \Theta \cos (\omega t + \phi),\]

    onde\(\Theta\) é o deslocamento angular máximo. A frequência angular é

    \[\omega = \sqrt{\frac{mgL}{I}} \ldotp \label{15.20}\]

    O período é, portanto,

    \[T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgL}} \ldotp \label{15.21}\]

    Observe que, para um pêndulo simples, o momento de inércia é I =\(\int\) r 2 dm = mL 2 e o período é reduzido para T = 2\(\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\).

    Exemplo\(\PageIndex{2}\): Reducing the Swaying of a Skyscraper

    Em condições extremas, os arranha-céus podem balançar até dois metros com uma frequência de até 20,00 Hz devido a ventos fortes ou atividade sísmica. Várias empresas desenvolveram pêndulos físicos que são colocados no topo dos arranha-céus. Quando o arranha-céu balança para a direita, o pêndulo gira para a esquerda, reduzindo a oscilação. Supondo que as oscilações tenham uma frequência de 0,50 Hz, projete um pêndulo que consiste em um feixe longo, de densidade constante, com uma massa de 100 toneladas métricas e um ponto de articulação em uma extremidade do feixe. Qual deve ser o comprimento da viga?

    A figura mostra um prédio alto com uma coluna no telhado e uma haste longa de comprimento H que gira em um ponto de articulação próximo ao topo da coluna.

    Estratégia

    Somos solicitados a encontrar o comprimento do pêndulo físico com uma massa conhecida. Primeiro, precisamos encontrar o momento de inércia do feixe. Podemos então usar a equação para o período de um pêndulo físico para encontrar o comprimento.

    Solução
    1. Encontre o momento de inércia do CM.
    2. Use o teorema do eixo paralelo para encontrar o momento de inércia sobre o ponto de rotação: $$I = I_ {CM} +\ frac {L^ {2}} {4} M =\ frac {1} {12} ML^ {2} +\ frac {1} {4} ML^ {2} =\ frac {1} {3} ML^ {2}\ ldotp$$
    3. O período de um pêndulo físico tem um período de T = 2\(\pi \sqrt{\frac{I}{mgL}}\). Use o momento de inércia para resolver o comprimento L: $$\ begin {split} T & = 2\ pi\ sqrt {\ frac {I} {mgL}} = 2\ pi\ sqrt {\ frac {\ frac {1} {3} ML^ {2}} {mgL}} = 2\ pi\ sqrt {\ frac {L} {3g}};\ L & = 3g\ left (\ dfrac {T} {2\ pi}\ direita) ^ {2} = 3 (9,8\; m/s^ {2})\ left (\ dfrac {2\; s} {2\ pi}\ direita) ^ {2} = 2,98\; m\ ldotp\ end { dividir} $$
    4. Esse comprimento L é do centro de massa até o eixo de rotação, que é metade do comprimento do pêndulo. Portanto, o comprimento H do pêndulo é: $$ H = 2L = 5,96\: m $$

    Significância

    Há muitas maneiras de reduzir as oscilações, incluindo modificar a forma dos arranha-céus, usar vários pêndulos físicos e usar amortecedores de massa ajustada.

    Pêndulo de torção

    Um pêndulo torcional consiste em um corpo rígido suspenso por um fio leve ou uma mola (Figura\(\PageIndex{3}\)). Quando o corpo é torcido em algum pequeno ângulo máximo (\(\Theta\)) e liberado do repouso, o corpo oscila entre (\(\theta\)= +\(\Theta\)) e (\(\theta\)= −\(\Theta\)). O torque de restauração é fornecido pelo corte da corda ou fio.

    Um pêndulo torcional é ilustrado nesta figura. O pêndulo consiste em um disco horizontal pendurado por uma corda no teto. A corda se liga ao disco em seu centro, no ponto O. O disco e a corda podem oscilar em um plano horizontal entre os ângulos mais Theta e menos Theta. A posição de equilíbrio está entre elas, em teta = 0.
    Figura\(\PageIndex{3}\): Um pêndulo torcional consiste em um corpo rígido suspenso por uma corda ou fio. O corpo rígido oscila entre (\(\theta\)= +\(\Theta\)) e (\(\theta\)= −\(\Theta\)).

    O torque de restauração pode ser modelado como sendo proporcional ao ângulo:

    \[\tau = - \kappa \theta \ldotp\]

    A variável kappa (\(\kappa\)) é conhecida como constante de torção do fio ou corda. O sinal negativo mostra que o torque de restauração atua na direção oposta ao aumento do deslocamento angular. O torque líquido é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular:

    \[\begin{split} I \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} & = - \kappa \theta; \\ \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} & = - \frac{\kappa}{I} \theta \ldotp \end{split}\]

    Essa equação diz que a segunda derivada temporal da posição (neste caso, o ângulo) é igual a uma constante negativa vezes a posição. Isso se parece muito com a equação do movimento para o SHM\(\frac{d^{2} x}{dt^{2}}\) = −\(\frac{k}{m}\) x, onde o período foi considerado T = 2\(\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\). Portanto, o período do pêndulo torcional pode ser encontrado usando

    \[T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{\kappa}} \ldotp \label{15.22}\]

    As unidades para a constante de torção são [\(\kappa\)] = N • m = (kg • m/s 2) m = kg • m 2 /s 2 e as unidades para o momento de inércia são [I] = kg • m 2, que mostram que a unidade do período é a segunda.

    Exemplo\(\PageIndex{3}\): Measuring the Torsion Constant of a String

    Uma haste tem um comprimento de l = 0,30 m e uma massa de 4,00 kg. Uma corda é presa ao CM da haste e o sistema é pendurado no teto (Figura\(\PageIndex{4}\)). A haste é deslocada 10° da posição de equilíbrio e liberada do repouso. A haste oscila com um período de 0,5 s. Qual é a constante de torção\(\kappa\)?

    A Figura a mostra uma haste horizontal, com 30,0 centímetros de comprimento e massa de 4,00 kg, pendurada por uma corda no teto. A corda se prende ao meio da haste. A haste gira com a corda no plano horizontal. A Figura b mostra a haste com os detalhes necessários para encontrar seu momento de inércia. O comprimento da haste, de ponta a ponta, é L e sua massa total é M. Tem densidade de massa linear lambda igual a d m d x, que também é igual a M sobre L. Um pequeno segmento da haste que tem comprimento d x a uma distância x do centro da haste é destacado. A corda é presa à haste no centro da haste.
    Figura\(\PageIndex{4}\) - (a) Uma haste suspensa por uma corda no teto. (b) Encontrando o momento de inércia da haste.

    Estratégia

    Somos solicitados a encontrar a constante de torção da corda. Primeiro, precisamos encontrar o momento de inércia.

    Solução
    1. Encontre o momento de inércia para o CM: $$I_ {CM} =\ int x^ {2} dm =\ int_ {-\ frac {L} {2}} ^ {+\ frac {L} {2}} x^ {2}\ lambda dx =\ lambda\ Bigg [\ frac {x^ {3}} {3}\ Bigg] _ {\ frac {x^ {3}} {3}\ Bigg] _ {\ frac {x^ {3}}\ Bigg] _ {\ frac {x^ {3}}\ Bigg] c {L} {2}} ^ {+\ frac {L} {2}} =\ lambda\ frac {2L^ {3}} {24} =\ left (\ dfrac {M} {L}\ direita)\ frac {2L^ {3}} {24} =\ frac {1} {12} ML^ {2}\ ldotp$$
    2. Calcule a constante de torção usando a equação para o período: $$\ begin {split} T & = 2\ pi\ sqrt {\ frac {I} {\ kappa}};\\ kappa & = I\ left (\ dfrac {2\ pi} {T}\ right) ^ {2} =\ left (\ dfrac {1} {12} ML^ {2}\ right)\ left (\ dfrac {2\ pi} {T}\ right) ^ {2};\\ & =\ Big [\ frac {1} {12} (4,00\; kg) (0,30\; m) ^ {2}\ Grande]\ esquerda (\ dfrac {2\ pi} {0,50\; s}\ direita) ^ {2} = 4,73\; N\;\ cdotp m\ ldotp\ end {split} $$

    Significância

    Como a constante de força do sistema de um bloco e uma mola, quanto maior a constante de torção, menor o período.