15.4: Comparando o movimento harmônico simples e o movimento circular
- Page ID
- 185498
- Descreva como as funções seno e cosseno se relacionam com os conceitos de movimento circular
- Descreva a conexão entre movimento harmônico simples e movimento circular
Uma maneira fácil de modelar o Simple Harmonic Motion (SHM) é considerar o movimento circular uniforme. A figura\(\PageIndex{1}\) mostra uma maneira de usar esse método. Um pino (um cilindro de madeira) é preso a um disco vertical, girando com uma frequência angular constante.

A figura\(\PageIndex{2}\) mostra uma vista lateral do disco e do pino. Se uma lâmpada for colocada acima do disco e do pino, o pino produzirá uma sombra. Deixe o disco ter um raio de r = A e defina a posição da sombra que coincide com a linha central do disco como x = 0,00 m. À medida que o disco gira a uma taxa constante, a sombra oscila entre x = + A e x = −A. Agora imagine um bloco em uma mola abaixo do piso, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{2}\).

Se o disco girar na frequência angular adequada, a sombra acompanha o bloco. A posição da sombra pode ser modelada com a equação
\[x(t) = A \cos (\omega t) \ldotp \label{15.14}\]
Lembre-se de que o bloco preso à mola não se move a uma velocidade constante. Com que frequência a roda precisa girar para que a sombra do pino esteja sempre no bloco? O disco deve girar em uma frequência angular constante igual a 2\(\pi\) vezes a frequência de oscilação (\(\omega\)= 2\(\pi\) f).
A figura\(\PageIndex{3}\) mostra a relação básica entre movimento circular uniforme e SHM. O pino fica na ponta do raio, a uma distância A do centro do disco. O eixo x é definido por uma linha traçada paralelamente ao solo, cortando o disco ao meio. O eixo y (não mostrado) é definido por uma linha perpendicular ao solo, cortando o disco na metade esquerda e na metade direita. O centro do disco é o ponto (x = 0, y = 0). A projeção da posição do pino no eixo x fixo fornece a posição da sombra, que sofre SHM análoga ao sistema do bloco e da mola. No momento mostrado na figura, a projeção tem a posição x e se move para a esquerda com velocidade\(v\). A velocidade tangencial do pino ao redor do círculo é igual à\(\bar{v}_{max}\) do bloco na mola. O componente x da velocidade é igual à velocidade do bloco na mola.

Podemos usar\(\PageIndex{3}\) a Figura para analisar a velocidade da sombra à medida que o disco gira. O pino se move em um círculo com uma velocidade de v max =\(\omega\) A. A sombra se move com uma velocidade igual à componente da velocidade do pino que é paralela à superfície onde a sombra está sendo produzida:
\[v = -v_{max} \sin (\omega t) \ldotp \label{15.15}\]
Daqui resulta que a aceleração é
\[a = -a_{max} \cos (\omega t) \ldotp \label{15.16}\]
Identifique um objeto que sofre um movimento circular uniforme. Descreva como você pode rastrear o SHM desse objeto.