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15.4: Comparando o movimento harmônico simples e o movimento circular

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    Objetivos de
    • Descreva como as funções seno e cosseno se relacionam com os conceitos de movimento circular
    • Descreva a conexão entre movimento harmônico simples e movimento circular

    Uma maneira fácil de modelar o Simple Harmonic Motion (SHM) é considerar o movimento circular uniforme. A figura\(\PageIndex{1}\) mostra uma maneira de usar esse método. Um pino (um cilindro de madeira) é preso a um disco vertical, girando com uma frequência angular constante.

    Uma ilustração do método discutido no texto para projetar uma sombra oscilante. Um pino se projeta de um disco giratório vertical montado verticalmente em uma parede. Um conjunto de luzes brilha, iluminando o pino de cima. A sombra da cavilha é mostrada abaixo, como vista várias vezes durante a oscilação, formando uma série de pontos ao longo de uma linha paralela à parede. A distância do centro da linha até a localização da sombra é x.
    Figura\(\PageIndex{1}\): O SHM pode ser modelado como movimento rotacional observando a sombra de um pino em uma roda girando em uma frequência angular constante.

    A figura\(\PageIndex{2}\) mostra uma vista lateral do disco e do pino. Se uma lâmpada for colocada acima do disco e do pino, o pino produzirá uma sombra. Deixe o disco ter um raio de r = A e defina a posição da sombra que coincide com a linha central do disco como x = 0,00 m. À medida que o disco gira a uma taxa constante, a sombra oscila entre x = + A e x = −A. Agora imagine um bloco em uma mola abaixo do piso, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{2}\).

    Uma comparação da localização angular de um pino em um disco rotativo, a posição de sua sombra e a posição de uma massa oscilando em uma mola horizontal. Em cada figura, o pino é iluminado de cima por um conjunto de luzes, projetando uma sombra em uma linha horizontal. O disco tem raio r = A e gira no sentido anti-horário com velocidade angular ômega. A posição angular da cavilha, teta, é zero quando a cavilha está diretamente à direita do centro do disco. A mola está presa a uma parede à esquerda e a uma massa à direita. A posição da massa e da sombra é x, onde x=0 está diretamente abaixo do centro do disco, x=-a está diretamente abaixo da borda esquerda do disco e X=+a está diretamente abaixo da borda direita do disco. Na figura a, t=0,0. O pino está diretamente à direita do centro do disco. Sua sombra e massa estão ambas em x = +A. Na figura b, o pino está no ângulo teta igual a ômega t, no primeiro quadrante. Sua sombra e a massa estão diretamente abaixo do pino, no que parece ser x = +A/2. A hora não está especificada. Na figura c, T=t/4. O pino está diretamente acima do centro do disco. Sua posição angular teta é igual a ômega t. Sua sombra e a massa estão ambas em x =0. Na figura d, o pino está no ângulo teta igual a ômega t, agora no segundo quadrante. Sua sombra e a massa estão diretamente abaixo do pino, no que parece ser x = -A/2. A hora não está especificada.

    Uma comparação da localização angular de um pino em um disco rotativo, a posição de sua sombra e a posição de uma massa oscilando em uma mola horizontal. Em cada figura, o pino é iluminado de cima por um conjunto de luzes, projetando uma sombra em uma linha horizontal. O disco tem raio r = A e gira no sentido anti-horário com velocidade angular ômega. A posição angular da cavilha, teta, é zero quando a cavilha está diretamente à direita do centro do disco. A mola está presa a uma parede à esquerda e a uma massa à direita. A posição da massa e da sombra é x, onde x=0 está diretamente abaixo do centro do disco, x=-a está diretamente abaixo da borda esquerda do disco e X=+a está diretamente abaixo da borda direita do disco. Na figura a, t=0,0. O pino está diretamente à direita do centro do disco. Sua sombra e massa estão ambas em x = +A. Na figura b, o pino está no ângulo teta igual a ômega t, no primeiro quadrante. Sua sombra e a massa estão diretamente abaixo do pino, no que parece ser x = +A/2. A hora não está especificada. Na figura c, T=t/4. O pino está diretamente acima do centro do disco. Sua posição angular teta é igual a ômega t. Sua sombra e a massa estão ambas em x =0. Na figura d, o pino está no ângulo teta igual a ômega t, agora no segundo quadrante. Sua sombra e a massa estão diretamente abaixo do pino, no que parece ser x = -A/2. A hora não está especificada.
    Figura\(\PageIndex{2}\): A luz brilha no disco para que o pino forme uma sombra. Se o disco girar na frequência angular correta, a sombra acompanha o movimento do bloco em uma mola. Se não houver energia dissipada devido a forças não conservadoras, o bloco e a sombra oscilarão para frente e para trás em uníssono. Nesta figura, quatro fotos são tiradas em quatro momentos diferentes. (a) A roda começa em\(\theta\) = 0° e a sombra da cavilha está em x = + A, representando a massa na posição x = + A. (b) À medida que o disco gira em um ângulo\(\theta\) =\(\omega\) t, a sombra da cavilha está entre x = + A e x = 0. (c) O disco continua girando até\(\theta\) = 90°, no qual a sombra segue a massa até x = 0. (d) O disco continua girando, a sombra segue a posição da massa.

    Se o disco girar na frequência angular adequada, a sombra acompanha o bloco. A posição da sombra pode ser modelada com a equação

    \[x(t) = A \cos (\omega t) \ldotp \label{15.14}\]

    Lembre-se de que o bloco preso à mola não se move a uma velocidade constante. Com que frequência a roda precisa girar para que a sombra do pino esteja sempre no bloco? O disco deve girar em uma frequência angular constante igual a 2\(\pi\) vezes a frequência de oscilação (\(\omega\)= 2\(\pi\) f).

    A figura\(\PageIndex{3}\) mostra a relação básica entre movimento circular uniforme e SHM. O pino fica na ponta do raio, a uma distância A do centro do disco. O eixo x é definido por uma linha traçada paralelamente ao solo, cortando o disco ao meio. O eixo y (não mostrado) é definido por uma linha perpendicular ao solo, cortando o disco na metade esquerda e na metade direita. O centro do disco é o ponto (x = 0, y = 0). A projeção da posição do pino no eixo x fixo fornece a posição da sombra, que sofre SHM análoga ao sistema do bloco e da mola. No momento mostrado na figura, a projeção tem a posição x e se move para a esquerda com velocidade\(v\). A velocidade tangencial do pino ao redor do círculo é igual à\(\bar{v}_{max}\) do bloco na mola. O componente x da velocidade é igual à velocidade do bloco na mola.

    Uma comparação da localização angular de um pino em um disco rotativo, a posição de sua sombra e a posição de uma massa oscilando em uma mola horizontal. O disco tem raio r = A e gira no sentido anti-horário com velocidade angular ômega. A posição angular do pino, teta, é zero quando o pino está diretamente à direita do centro do disco e é igual a ômega t no momento mostrado. A velocidade linear do pino é mostrada como um vetor tangente ao círculo na borda do disco. Tem magnitude v sub max que é igual a A ômega. Seu componente x é um vetor horizontal para a esquerda — v sub max vezes seno ômega t. O pino projeta uma sombra em uma linha horizontal. A mola está presa a uma parede à esquerda e a uma massa à direita. A posição da massa e da sombra é x, onde x=0 está diretamente abaixo do centro do disco, x=-a está diretamente abaixo da borda esquerda do disco e X=+a está diretamente abaixo da borda direita do disco. Na figura, o pino está no primeiro quadrante. Sua sombra e a massa estão ambas na posição x entre 0 e mais A (parece estar em x = A/2 na figura).
    Figura\(\PageIndex{3}\): - Um pino se movendo em um caminho circular com uma velocidade angular constante ω está passando por um movimento circular uniforme. Sua projeção no eixo x sofre SHM. Também é mostrada a velocidade do pino ao redor do círculo, v max, e sua projeção, que é v. Observe que essas velocidades formam um triângulo semelhante ao triângulo de deslocamento.

    Podemos usar\(\PageIndex{3}\) a Figura para analisar a velocidade da sombra à medida que o disco gira. O pino se move em um círculo com uma velocidade de v max =\(\omega\) A. A sombra se move com uma velocidade igual à componente da velocidade do pino que é paralela à superfície onde a sombra está sendo produzida:

    \[v = -v_{max} \sin (\omega t) \ldotp \label{15.15}\]

    Daqui resulta que a aceleração é

    \[a = -a_{max} \cos (\omega t) \ldotp \label{15.16}\]

    Exercício 15.3

    Identifique um objeto que sofre um movimento circular uniforme. Descreva como você pode rastrear o SHM desse objeto.