5.4: Segunda Lei de Newton

Last updated
Save as PDF

Page ID: 185485

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Objetivos de

Faça a distinção entre forças externas e internas
Descreva a segunda lei do movimento de Newton
Explicar a dependência da aceleração na força e massa líquidas

A segunda lei de Newton está intimamente relacionada à sua primeira lei. Ele fornece matematicamente a relação de causa e efeito entre força e mudanças no movimento. A segunda lei de Newton é quantitativa e é usada extensivamente para calcular o que acontece em situações que envolvem uma força. Antes de escrevermos a segunda lei de Newton como uma equação simples que fornece a relação exata de força, massa e aceleração, precisamos aprimorar algumas ideias que mencionamos anteriormente.

Força e aceleração

Primeiro, o que queremos dizer com mudança de movimento? A resposta é que uma mudança no movimento é equivalente a uma mudança na velocidade. Uma mudança na velocidade significa, por definição, que há aceleração. A primeira lei de Newton diz que uma força externa líquida causa uma mudança no movimento; assim, vemos que uma força externa líquida causa aceleração diferente de zero.

Definimos força externa em Forças como força atuando em um objeto ou sistema que se origina fora do objeto ou sistema. Vamos considerar esse conceito mais detalhadamente. Uma noção intuitiva de externo está correta — ela está fora do sistema de interesse. Por exemplo, na Figura$\PageIndex{1a}$, o sistema de interesse é o carro mais a pessoa dentro dele. As duas forças exercidas pelos dois estudantes são forças externas. Em contraste, uma força interna atua entre os elementos do sistema. Assim, a força que a pessoa no carro exerce para se segurar no volante é uma força interna entre os elementos do sistema de interesse. Somente forças externas afetam o movimento de um sistema, de acordo com a primeira lei de Newton. (As forças internas se cancelam mutuamente, conforme explicado na próxima seção.) Portanto, devemos definir os limites do sistema antes de podermos determinar quais forças são externas. Às vezes, o sistema é óbvio, enquanto outras vezes, identificar os limites de um sistema é mais sutil. O conceito de sistema é fundamental para muitas áreas da física, assim como a correta aplicação das leis de Newton. Esse conceito é revisitado várias vezes no estudo da física.

A Figura a mostra duas pessoas empurrando um carro com as forças F1 e F2 na direção certa. A aceleração a também está na mesma direção. A força de atrito f é mostrada perto do pneu na direção oposta, à esquerda. A força ascendente N e a força descendente W são iguais em magnitude e são mostradas perto do solo. A Figura b reúne todas as forças da figura a e mostra uma rede de força líquida F. Essas forças também são mostradas em um diagrama de corpo livre. A Figura c mostra o carro sendo rebocado por um caminhão de reboque. Aqui, as forças N, W e f são as mesmas da figura a. O caminhão de reboque subscrito F tem uma magnitude maior do que F1 ou F2. A aceleração de um primo tem uma magnitude maior que a. Todas as forças desse sistema também são mostradas em um diagrama de corpo livre. — Figura$\PageIndex{1}$: Forças diferentes exercidas na mesma massa produzem acelerações diferentes. (a) Dois estudantes empurram um carro parado. Todas as forças externas que atuam no carro são mostradas. (b) As forças que atuam no carro são transferidas para um plano de coordenadas (diagrama de corpo livre) para uma análise mais simples. (c) O caminhão de reboque pode produzir maior força externa na mesma massa e, portanto, maior aceleração.

A partir desse exemplo, você pode ver que diferentes forças exercidas na mesma massa produzem acelerações diferentes. Na Figura$\PageIndex{1a}$, os dois estudantes empurram um carro com um motorista dentro. Setas representando todas as forças externas são mostradas. O sistema de interesse é o carro e seu motorista. O peso$\vec{w}$ do sistema e o suporte do solo também$\vec{N}$ são mostrados quanto à integridade e presume-se que sejam cancelados (porque não houve movimento vertical nem desequilíbrio de forças na direção vertical para criar uma mudança no movimento). O vetor$\vec{f}$ representa o atrito que atua no carro e age à esquerda, opondo-se ao movimento do carro. (Discutiremos o atrito com mais detalhes no próximo capítulo.) Na Figura$\PageIndex{1b}$, todas as forças externas que atuam no sistema se somam para produzir a força líquida$\vec{F}_{net}$. O diagrama de corpo livre mostra todas as forças que atuam no sistema de interesse. O ponto representa o centro de massa do sistema. Cada vetor de força se estende a partir desse ponto. Como existem duas forças atuando à direita, os vetores são mostrados colinearmente. Finalmente, na Figura$\PageIndex{1c}$, uma força externa líquida maior produz uma aceleração maior ($\vec{a}' > \vec{a}$) quando o caminhão de reboque puxa o carro.

Parece razoável que a aceleração seja diretamente proporcional e na mesma direção da força externa líquida atuando em um sistema. Essa suposição foi verificada experimentalmente e está ilustrada na Figura$\PageIndex{1}$. Para obter uma equação para a segunda lei de Newton, primeiro escrevemos a relação de aceleração$\vec{a}$ e força externa líquida$\vec{F}_{net}$ como a proporcionalidade

\[\vec{a}\; \propto\; \vec{F}_{net}\]

onde o símbolo$\alpha$ significa “proporcional a.” (Lembre-se de Forces que a força externa líquida é a soma vetorial de todas as forças externas e às vezes é indicada como$\sum \vec{F}$.) Essa proporcionalidade mostra o que dissemos em palavras: a aceleração é diretamente proporcional à força externa líquida. Uma vez escolhido o sistema de interesse, identifique as forças externas e ignore as internas. É uma tremenda simplificação ignorar as inúmeras forças internas que atuam entre objetos dentro do sistema, como as forças musculares dentro do corpo dos alunos, sem falar na miríade de forças entre os átomos nos objetos. Ainda assim, essa simplificação nos ajuda a resolver alguns problemas complexos.

Também parece razoável que a aceleração seja inversamente proporcional à massa do sistema. Em outras palavras, quanto maior a massa (a inércia), menor a aceleração produzida por uma determinada força. Conforme ilustrado na Figura$\PageIndex{2}$, a mesma força externa líquida aplicada a uma bola de basquete produz uma aceleração muito menor quando aplicada a um SUV. A proporcionalidade é escrita como

\[a\; \propto\; \frac{1}{m},\]

onde m é a massa do sistema e a é a magnitude da aceleração. Experimentos mostraram que a aceleração é exatamente inversamente proporcional à massa, assim como é diretamente proporcional à força externa líquida.

A Figura a mostra uma pessoa exercendo força F em uma bola de basquete com massa m1. Mostra-se que a bola se move para a direita com uma aceleração a1. A Figura b mostra a pessoa exercendo a mesma quantidade de força, F em um SUV com massa m2. A aceleração é a2, que é muito menor que a1. A Figura c mostra os diagramas de corpo livre de ambos os sistemas mostrados na figura a e na figura b. Ambos mostram a força F tendo a mesma magnitude e direção. O rótulo diz: os diagramas de corpo livre de ambos os objetos são os mesmos. — Figura$\PageIndex{2}$: A mesma força exercida em sistemas de massas diferentes produz acelerações diferentes. (a) Um jogador de basquete empurra uma bola de basquete para fazer um passe. (Ignore o efeito da gravidade na bola.) (b) O mesmo jogador exerce uma força idêntica em um SUV parado e produz muito menos aceleração. (c) Os diagramas de corpo livre são idênticos, permitindo a comparação direta das duas situações. Uma série de padrões para diagramas de corpo livre surgirá à medida que você resolver mais problemas e aprender a desenhá-los em Desenho de Diagramas de Corpo Livre.

Foi descoberto que a aceleração de um objeto depende apenas da força externa líquida e da massa do objeto. A combinação das duas proporcionalidades que acabamos de fornecer resulta na segunda lei de Newton.

Segunda Lei do Movimento de Newton

A aceleração de um sistema é diretamente proporcional e na mesma direção da força externa líquida que atua sobre o sistema e é inversamente proporcional à sua massa. Em forma de equação, a segunda lei de Newton é

\[\vec{a} = \frac{\vec{F}_{net}}{m},\]

onde$\vec{a}$ é a aceleração,$\vec{F}_{net}$ é a força líquida e m é a massa. Isso geralmente é escrito da forma mais familiar.

\[\vec{F}_{net} = \sum \vec{F} = m \vec{a}, \label{5.3}\]

mas a primeira equação fornece mais informações sobre o que significa a segunda lei de Newton. Quando apenas a magnitude da força e da aceleração são consideradas, essa equação pode ser escrita na forma escalar mais simples:

\[\vec{F}_{net} = ma \ldotp \label{5.4}\]

A lei é uma relação de causa e efeito entre três quantidades que não se baseia simplesmente em suas definições. A validade da segunda lei é baseada na verificação experimental. O diagrama de corpo livre, que você aprenderá a desenhar em Desenho de Diagramas de Corpo Livre, é a base para escrever a segunda lei de Newton.

Exemplo 5.2: Que aceleração uma pessoa pode produzir ao empurrar um cortador de grama?

Suponha que a força externa líquida (pressão menos atrito) exercida em um cortador de grama seja 51 N (cerca de 11 lb.) paralela ao solo (Figura$\PageIndex{3}$). A massa do cortador é de 24 kg. Qual é sua aceleração?

A figura a mostra uma pessoa usando um cortador de grama em um gramado. A força F aponta para a direita, das mãos da pessoa. A Figura b mostra a rede de força F ao longo do eixo x positivo. — Figura$\PageIndex{3}$: (a) A força útil em um cortador de grama é 51 N para a direita. A que velocidade o cortador de grama acelera para a direita? (b) O diagrama de corpo livre para esse problema é mostrado.

Estratégia

Esse problema envolve apenas movimento na direção horizontal; também recebemos a força líquida, indicada pelo vetor único, mas podemos suprimir a natureza vetorial e nos concentrar na aplicação da segunda lei de Newton. Como F _net e m são dadas, a aceleração pode ser calculada diretamente da segunda lei de Newton como F _net = ma.

Solução

A magnitude da aceleração a é a =$\frac{F_{net}}{m}$. A inserção de valores conhecidos fornece

\[a = \frac{51\; N}{24\; kg} \ldotp\]

Substituindo a unidade de quilogramas por metros por segundo quadrado pelos rendimentos de newtons

\[a = \frac{51\; kg \cdotp m/s^{2}}{24\; kg} = 2.1\; m/s^{2} \ldotp\]

Significância

A direção da aceleração é a mesma direção da força líquida, que é paralela ao solo. Isso é resultado da relação vetorial expressa na segunda lei de Newton, ou seja, o vetor que representa a força líquida é o múltiplo escalar do vetor de aceleração. Não há informações fornecidas neste exemplo sobre as forças externas individuais que atuam no sistema, mas podemos dizer algo sobre suas magnitudes relativas. Por exemplo, a força exercida pela pessoa que empurra o cortador deve ser maior do que o atrito oposto ao movimento (já que sabemos que o cortador se moveu para frente), e as forças verticais devem ser canceladas porque nenhuma aceleração ocorre na direção vertical (o cortador está se movendo apenas horizontalmente). A aceleração encontrada é pequena o suficiente para ser razoável para uma pessoa que empurra um cortador de grama. Esse esforço não duraria muito, porque a velocidade máxima da pessoa logo seria alcançada.

Exercício 5.3

Na época de seu lançamento, o HMS Titanic era o objeto móvel mais massivo já construído, com uma massa de 6,0 x 10 ⁷ kg. Se uma força de 6 MN (6 x 10 ⁶ N) fosse aplicada ao navio, que aceleração ele experimentaria?

No exemplo anterior, lidamos com a força líquida apenas para simplificar. No entanto, várias forças atuam no cortador de grama. O peso$\vec{w}$ (discutido em detalhes em Massa e Peso) é puxado para baixo no cortador, em direção ao centro da Terra; isso produz uma força de contato no solo. O solo deve exercer uma força ascendente sobre o cortador de grama, conhecida como força normal$\vec{N}$, que definimos nas Forças Comuns. Essas forças são equilibradas e, portanto, não produzem aceleração vertical. No próximo exemplo, mostramos essas duas forças. Ao continuar resolvendo problemas usando a segunda lei de Newton, certifique-se de mostrar várias forças.

Exemplo 5.3: Qual força é maior?

O carro mostrado na Figura$\PageIndex{4}$ está se movendo a uma velocidade constante. Qual força é maior,$\vec{F}_{engine}$ ou$\vec{F}_{friction}$? Explique.
O mesmo carro agora está acelerando para a direita. Qual força é maior,$\vec{F}_{engine}$ ou$\vec{F}_{friction}$? Explique.

A Figura a mostra um carro com velocidade de 10 metros por segundo, movendo-se para a direita. F motor subscrito à direita e F pontos de atrito subscrito à esquerda. A Figura b mostra o carro se movendo com uma aceleração de 10 metros por segundo quadrado, para a direita. As forças do motor subscrito F e do atrito subscrito F são as mesmas da figura a. — Figura$\PageIndex{4}$: Um carro é mostrado (a) se movendo em velocidade constante e (b) acelerando. Como as forças que atuam no carro se comparam em cada caso? (a) O que o conhecimento de que o carro está se movendo em velocidade constante nos diz sobre a força horizontal líquida no carro em comparação com a força de atrito? (b) O que o conhecimento de que o carro está acelerando nos diz sobre a força horizontal no carro em comparação com a força de atrito?

Estratégia

Devemos considerar a primeira e a segunda leis de Newton para analisar a situação. Precisamos decidir qual lei se aplica; isso, por sua vez, nos dirá sobre a relação entre as forças.

Solução

As forças são iguais. De acordo com a primeira lei de Newton, se a força líquida for zero, a velocidade é constante.
Nesse caso,$\vec{F}_{engine}$ deve ser maior que$\vec{F}_{friction}$. De acordo com a segunda lei de Newton, uma força líquida é necessária para causar aceleração.

Significância

Essas perguntas podem parecer triviais, mas geralmente são respondidas incorretamente. Para que um carro ou qualquer outro objeto se mova, ele deve ser acelerado do repouso até a velocidade desejada; isso requer que a força do motor seja maior que a força de atrito. Quando o carro estiver se movendo em velocidade constante, a força líquida deve ser zero; caso contrário, o carro acelerará (ganhará velocidade). Para resolver problemas envolvendo as leis de Newton, devemos entender se devemos aplicar a primeira lei de Newton (onde$\sum \vec{F}$ =$\vec{0}$) ou a segunda lei de Newton (onde não$\sum \vec{F}$ é zero). Isso ficará evidente à medida que você ver mais exemplos e tentar resolver os problemas sozinho.

Exemplo 5.4: Qual empuxo de foguete acelera esse trenó?

Antes dos voos espaciais tripulados, os trenós eram usados para testar aeronaves, equipamentos de mísseis e efeitos fisiológicos em seres humanos em altas velocidades. Eles consistiam em uma plataforma montada em um ou dois trilhos e impulsionada por vários foguetes.

Calcule a magnitude da força exercida por cada foguete, chamada de empuxo T, para o sistema de propulsão de quatro foguetes mostrado na Figura$\PageIndex{5}$. A aceleração inicial do trenó é de 49 m/s ², a massa do sistema é de 2100 kg e a força de atrito que se opõe ao movimento é de 650 N.

A figura mostra um trenó indo para a direita. Ele tem quatro foguetes na parte traseira, com cada vetor de empuxo tendo a mesma magnitude e apontando para a direita. Atrito dos pontos restantes. A força normal ascendente N e o peso descendente são ambos iguais em magnitude. A aceleração a está voltada para a direita. Todas essas forças também são mostradas em um diagrama de corpo livre. — Figura$\PageIndex{5}$: Um trenó experimenta o impulso de um foguete que o acelera para a direita. Cada foguete cria um empuxo idêntico T. O sistema aqui é o trenó, seus foguetes e seu piloto, então nenhuma das forças entre esses objetos é considerada. A seta representando o atrito ($\vec{f}$) é desenhada maior que a escala.

Estratégia

Embora as forças estejam atuando tanto vertical quanto horizontalmente, assumimos que as forças verticais se cancelam porque não há aceleração vertical. Isso nos deixa com apenas forças horizontais e um problema unidimensional mais simples. As direções são indicadas com sinais de mais ou menos, com a direita tomada como direção positiva. Veja o diagrama de corpo livre na Figura$\PageIndex{5}$.

Solução

Como a aceleração, a massa e a força de atrito são dadas, começamos com a segunda lei de Newton e procuramos maneiras de encontrar o empuxo dos motores. Definimos a direção da força e da aceleração como atuando “para a direita”, então precisamos considerar apenas as magnitudes dessas quantidades nos cálculos. Por isso, começamos com

\[F_{net} = ma\]

onde F _net é a força líquida na direção horizontal. Podemos ver na figura que os impulsos do motor aumentam, enquanto o atrito se opõe ao empuxo. Em forma de equação, a força externa líquida é

\[F_{net} = 4T − f \ldotp\]

Substituir isso na segunda lei de Newton nos dá

\[F_{net} = ma = 4T − f \ldotp\]

Usando um pouco de álgebra, resolvemos o empuxo total 4T:

\[4T = ma + f \ldotp\]

Substituir valores conhecidos rende

\[4T = ma + f = (2100\; kg)(49\; m/s^{2}) + 650\; N \ldotp\]

Portanto, o empuxo total é

\[4T = 1.0 \times 10^{5}\; N \ldotp\]

Significância

Os números são bem grandes, então o resultado pode te surpreender. Experimentos como esse foram realizados no início dos anos 1960 para testar os limites da resistência humana, e a configuração foi projetada para proteger seres humanos em ejeções de emergência de caças a jato. Foram obtidas velocidades de 1000 km/h, com acelerações de 45 g (lembre-se de que g, aceleração devido à gravidade, é 9,80 m/s ². Quando dizemos que a aceleração é de 45 g, é de 45 x 9,8 m/s ², o que é aproximadamente 440 m/s ².) Embora os seres vivos não sejam mais usados, velocidades terrestres de 10.000 km/h foram obtidas com um foguete de trenó.

Neste exemplo, como no anterior, o sistema de interesse é óbvio. Vemos em exemplos posteriores que escolher o sistema de interesse é crucial — e a escolha nem sempre é óbvia.

A segunda lei de Newton é mais do que uma definição; é uma relação entre aceleração, força e massa. Isso pode nos ajudar a fazer previsões. Cada uma dessas quantidades físicas pode ser definida de forma independente, então a segunda lei nos diz algo básico e universal sobre a natureza.

Exercício 5.4

Um carro esportivo de 550 kg colide com um caminhão de 2.200 kg e, durante a colisão, a força líquida em cada veículo é a força exercida pelo outro. Se a magnitude da aceleração do caminhão for 10 m/s ², qual é a magnitude da aceleração do carro esportivo?

Forma componente da Segunda Lei de Newton

Desenvolvemos a segunda lei de Newton e a apresentamos como uma equação vetorial na Equação\ ref {5.3}. Essa equação vetorial pode ser escrita como equações de três componentes:

\[\sum \vec{F}_{x} = m \vec{a}_{x}, \sum \vec{F}_{y} = m \vec{a}_{y}, \sum \vec{F}_{z} = m \vec{a}_{z} \ldotp \label{5.5}\]

A segunda lei é uma descrição de como um corpo responde mecanicamente ao seu ambiente. A influência do ambiente é a força líquida$\vec{F}_{net}$, a resposta do corpo é a aceleração$\vec{a}$ e a força da resposta é inversamente proporcional à massa m. Quanto maior a massa de um objeto, menor sua resposta (sua aceleração) à influência do meio ambiente (um dado força líquida). Portanto, a massa de um corpo é uma medida de sua inércia, conforme explicamos na Primeira Lei de Newton.

Exemplo 5.5: Força em uma bola de futebol

Uma bola de futebol de 0,400 kg é chutada pelo campo por um jogador; ela sofre uma aceleração dada por$\vec{a}$ = 3,00$\hat{i}$ + 7,00$\hat{j}$ m/s ². Encontre (a) a força resultante atuando na bola e (b) a magnitude e direção da força resultante.

Estratégia

Os vetores em$\hat{j}$ formato$\hat{i}$ e formato, que indicam a direção da força ao longo do eixo x e do eixo y, respectivamente, estão envolvidos, então aplicamos a segunda lei de Newton na forma vetorial.

Solução

Aplicamos a segunda lei de Newton: $$\ vec {F} _ {net} = m\ vec {a} = (0,400\; kg)\ big (3,00\;\ hat {i} + 7,00\;\ hat {j}\; m/s^ {2}\ big) = 1,20\;\ hat {i} + 2,80\;\ hat {j}\; N\ ldotp$$
. A magnitude e a direção são encontradas usando os componentes de$\vec{F}_{net}$: $$F_ {net} =\ sqrt {(1,20\; N) ^ {2} + (2,80\; N) ^ {2}} = 3,05\; N\; e\;\ theta =\ tan^ {-1}\ left (\ dfrac {2.80} {1.20}\ right) = 66,8^ {o}\ ldotp$$

Significância

Devemos lembrar que a segunda lei de Newton é uma equação vetorial. Em (a), estamos multiplicando um vetor por um escalar para determinar a força líquida na forma vetorial. Embora a forma vetorial forneça uma representação compacta do vetor de força, ela não nos diz o quão “grande” ele é, ou para onde vai, em termos intuitivos. Em (b), estamos determinando o tamanho real (magnitude) dessa força e a direção na qual ela viaja.

Exemplo 5.6: Massa de um carro

Determine a massa de um carro se uma força líquida de −600,0$\hat{j}$ N produzir uma aceleração de ^{−0,2$\hat{j}$ m/s 2}.

Estratégia

A divisão vetorial não está definida, então$m = \frac{\vec{F}_{net}}{\vec{a}}$ não pode ser executada. No entanto, a massa m é um escalar, então podemos usar a forma escalar da segunda lei de Newton,$m = \frac{F_{net}}{a}$.

Solução

Usamos m =$\frac{F_{net}}{a}$ e substituímos as magnitudes dos dois vetores: F _net = 600,0 N e a = ^{0,2 m/s 2}. Portanto,

\[m = \frac{F_{net}}{a} = \frac{600.0\; N}{0.2\; m/s^{2}} = 3000\; kg \ldotp \nonumber\]

Significância

A força e a aceleração foram dadas no$\hat{j}$ formato$\hat{i}$ e, mas a resposta, massa m, é escalar e, portanto, não é dada na$\hat{i}$$\hat{j}$ forma.

Exemplo 5.7

Várias forças em uma partícula Uma partícula de massa m = 4,0 kg é acionada por quatro forças de magnitudes. F ₁ = 10,0 N, F ₂ = 40,0 N, F ₃ = 5,0 N e F ₄ = 2,0 N, com as direções mostradas no diagrama de corpo livre na Figura$\PageIndex{6}$. Qual é a aceleração da partícula?

Uma partícula é mostrada no plano xy. A força F1 está em um ângulo de 30 graus com o eixo x positivo, a força F2 está na direção descendente, a força F3 aponta para a esquerda e força F4 pontos para cima. — Figura$\PageIndex{6}$: Quatro forças no plano xy são aplicadas a uma partícula de 4,0 kg.

Estratégia

Como esse é um problema bidimensional, devemos usar um diagrama de corpo livre. Primeiro,$\vec{F}_{1}$ deve ser resolvido em componentes x e y. Podemos então aplicar a segunda lei em cada direção.

Solução

Desenhamos um diagrama de corpo livre, conforme mostrado na Figura$\PageIndex{6}$. Agora aplicamos a segunda lei de Newton. Consideramos todos os vetores resolvidos em componentes x e y:

\[\sum F_{x} = m a_{x}\]

\[F_{1x} - F_{3x} = m a_{x}\]

\[F_{1} \cos 30^{o} - F_{3x} = m a_{x}\]

\[(10.0\; N)(\cos 30^{o}) - 5.0\; N = (4.0\; kg) a_{x}\]

\[a_{x} = 0.92\; m/s^{2} \ldotp\]

\[\sum F_{y} = m a_{y}\]

\[F_{1y} +F_{4y} - F_{2y} = m a_{y}\]

\[F_{1} \sin30^{o} + F_{4y} - F_{2y} = m a_{y}\]

\[(10.0\; N)(\sin 30^{o}) + 2.0\; N - 40.0\; N = (4.0\; kg) a_{y}\]

\[a_{y} =-8.3\; m/s^{2} \ldotp\]

Assim, a aceleração líquida é

\[\vec{a} = \big( 0.92\; \hat{i} - 8.3\; \hat{j} \big) m/s^{2},\]

que é um vetor de magnitude 8,4 m/s ² direcionado a 276° em relação ao eixo x positivo.

Significância

Inúmeros exemplos na vida cotidiana podem ser encontrados que envolvem três ou mais forças atuando em um único objeto, como cabos saindo da Ponte Golden Gate ou um jogador de futebol sendo atacado por três defensores. Podemos ver que a solução desse exemplo é apenas uma extensão do que já fizemos.

Exercício 5.5

Um carro tem forças atuando sobre ele, conforme mostrado abaixo. A massa do carro é de 1000,0 kg. A estrada é escorregadia, então o atrito pode ser ignorado. (a) Qual é a força líquida do carro? (b) Qual é a aceleração do carro?

A vista superior de um carro é mostrada. Dois vetores de força se originam do carro e apontam para cima e para fora. Uma força de 450 newtons faz um ângulo de 30 graus com o movimento em linha reta do carro, para a direita. Outra força de 360 newtons faz um ângulo de 10 graus com o movimento em linha reta do carro, para a esquerda.

Segunda Lei e Momento de Newton

Newton realmente declarou sua segunda lei em termos de momentum: “A taxa instantânea na qual o impulso de um corpo muda é igual à força líquida que atua sobre o corpo”. (A “taxa instantânea” implica que a derivada está envolvida.) Isso pode ser dado pela equação vetorial

\[\vec{F}_{net} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp \label{5.6}\]

Isso significa que a segunda lei de Newton aborda a questão central do movimento: O que causa uma mudança no movimento de um objeto? O momento foi descrito por Newton como “quantidade de movimento”, uma forma de combinar a velocidade de um objeto e sua massa. Dedicamos o momento linear e as colisões ao estudo do momento.

Por enquanto, basta definir o momento$\vec{p}$ como o produto da massa do objeto m e sua velocidade$\vec{v}$:

\[\vec{p} = m \vec{v} \ldotp \label{5.7}\]

Como a velocidade é um vetor, o momento também é.

É fácil visualizar o momentum. Um trem que se move a 10 m/s tem mais impulso do que um que se move a 2 m/s. Na vida cotidiana, falamos de uma equipe esportiva como “tendo impulso” quando marca pontos contra a equipe adversária.

Se substituirmos a Equação\ ref {5.7} pela Equação\ ref {5.6}, obtemos

\[\vec{F}_{net} = \frac{d \vec{p}}{dt} = \frac{d (m \vec{v})}{dt} \ldotp\]

Quando m é constante, temos

\[\vec{F}_{net} = m \frac{d(\vec{v})}{dt} = m \vec{a} \ldotp\]

Assim, vemos que a forma dinâmica da segunda lei de Newton se reduz à forma dada anteriormente nesta seção.

Simulação

Explore as forças em ação ao puxar um carrinho ou empurrar uma geladeira, caixa ou pessoa. Crie uma força aplicada e veja como ela faz os objetos se moverem. Coloque um objeto em uma rampa e veja como isso afeta seu movimento.