1.7: Números significativos

Objetivos de

• Determine o número correto de números significativos para o resultado de um cálculo.
• Descreva a relação entre os conceitos de precisão, precisão, incerteza e discrepância.
• Calcule a porcentagem de incerteza de uma medição, considerando seu valor e sua incerteza.
• Determine a incerteza do resultado de um cálculo envolvendo quantidades com determinadas incertezas.

A figura\(\PageIndex{1}\) mostra dois instrumentos usados para medir a massa de um objeto. A balança digital substituiu principalmente a balança de dois painéis nos laboratórios de física porque fornece medições mais precisas e precisas. Mas o que exatamente queremos dizer com preciso e preciso? Eles não são a mesma coisa? Nesta seção, examinamos detalhadamente o processo de fazer e relatar uma medição.

Figura\(\PageIndex{1}\): (a) Uma balança mecânica de bandeja dupla é usada para comparar massas diferentes. Normalmente, um objeto com massa desconhecida é colocado em uma panela e objetos de massa conhecida são colocados na outra. Quando a barra que conecta as duas panelas é horizontal, as massas nas duas panelas são iguais. As “massas conhecidas” são tipicamente cilindros metálicos de massa padrão, como 1 g, 10 g e 100 g. (b) Muitas balanças mecânicas, como balanças de bandeja dupla, foram substituídas por balanças digitais, que normalmente podem medir a massa de um objeto com mais precisão. Uma balança mecânica pode ler apenas a massa de um objeto até o décimo de grama mais próximo, mas muitas balanças digitais podem medir a massa de um objeto até o milésimo de grama mais próximo. (crédito a: modificação da obra de Serge Melki; crédito b: modificação da obra de Karel Jakubec)

Exatidão e precisão de uma medição

A ciência é baseada na observação e na experimentação, ou seja, em medições. A precisão é a proximidade de uma medição do valor de referência aceito para essa medição. Por exemplo, digamos que queremos medir o comprimento do papel de impressora padrão. A embalagem na qual compramos o papel afirma que ele tem 11,0 pol. Em seguida, medimos o comprimento do papel três vezes e obtemos as seguintes medidas: 11,1 pol., 11,2 pol. e 10,9 pol. Essas medições são bastante precisas porque estão muito próximas do valor de referência de 11,0 pol. Em contraste, se tivéssemos obtido uma medida de 12 polegadas, nossa medição não seria muito precisa. Observe que o conceito de precisão exige que um valor de referência aceito seja fornecido.

A precisão das medições se refere à proximidade da concordância entre medições independentes repetidas (que são repetidas nas mesmas condições). Considere o exemplo das medidas do papel. A precisão das medições se refere à dispersão dos valores medidos. Uma forma de analisar a precisão das medições é determinar a faixa, ou diferença, entre os valores medidos mais baixos e mais altos. Nesse caso, o menor valor foi 10,9 pol. e o maior valor foi 11,2 pol. Assim, os valores medidos se desviaram um do outro em, no máximo, 0,3 pol. Essas medições eram relativamente precisas porque não variavam muito em valor. No entanto, se os valores medidos tivessem sido 10,9 pol., 11,1 pol. e 11,9 pol., as medições não seriam muito precisas porque haveria variação significativa de uma medição para outra. Observe que o conceito de precisão depende apenas das medidas reais adquiridas e não depende de um valor de referência aceito.

As medidas no exemplo em papel são precisas e precisas, mas em alguns casos, as medições são precisas, mas não precisas, ou são precisas, mas não precisas. Vamos considerar um exemplo de um GPS tentando localizar a posição de um restaurante em uma cidade. Pense na localização do restaurante como se estivesse no centro de um alvo alvo e pense em cada tentativa de GPS de localizar o restaurante como um ponto preto. Na Figura\(\PageIndex{1a}\), vemos que as medições de GPS estão distantes umas das outras, mas todas estão relativamente próximas da localização real do restaurante no centro do alvo. Isso indica um sistema de medição de baixa precisão e alta precisão. No entanto, na Figura\(\PageIndex{1b}\), as medições de GPS estão concentradas bem próximas umas das outras, mas estão distantes do local alvo. Isso indica um sistema de medição de alta precisão e baixa precisão.

Figura\(\PageIndex{2}\): Um GPS tenta localizar um restaurante no centro do alvo. Os pontos pretos representam cada tentativa de identificar a localização do restaurante. (a) Os pontos estão bem afastados um do outro, indicando baixa precisão, mas cada um deles está bem próximo da localização real do restaurante, indicando alta precisão. (b) Os pontos estão concentrados um pouco próximos um do outro, indicando alta precisão, mas estão bem longe da localização real do restaurante, indicando baixa precisão. (crédito a e crédito b: modificação de obras de Dark Evil)

Precisão, precisão, incerteza e discrepância

A precisão de um sistema de medição está relacionada à incerteza nas medições, enquanto a precisão está relacionada à discrepância do valor de referência aceito. A incerteza é uma medida quantitativa de quanto seus valores medidos se desviam um do outro. Existem muitos métodos diferentes para calcular a incerteza, cada um dos quais é apropriado para diferentes situações. Alguns exemplos incluem calcular o intervalo (ou seja, o maior menos o menor) ou encontrar o desvio padrão das medições. Discrepância (ou “erro de medição”) é a diferença entre o valor medido e um determinado valor padrão ou esperado. Se as medições não forem muito precisas, a incerteza dos valores é alta. Se as medições não forem muito precisas, a discrepância dos valores será alta.

Lembre-se de nosso exemplo de medição do comprimento do papel; obtivemos medidas de 11,1 pol., 11,2 pol. e 10,9 pol., e o valor aceito foi 11,0 pol. Podemos calcular a média das três medidas para dizer que nossa melhor estimativa é 11,1 pol.; nesse caso, nossa discrepância é 11,1 — 11,0 = 0,1 pol., o que fornece uma medida quantitativa de precisão. Podemos calcular a incerteza em nossa melhor estimativa usando a faixa de nossos valores medidos: 0,3 pol. Então, diríamos que o comprimento do papel é 11,1 pol. mais ou menos 0,3 pol. A incerteza em uma medição, A, é frequentemente indicada como\(\delta\) A (leia “delta A”), então o resultado da medição seria registrado como A ±\(\delta\) A. Retornando ao nosso exemplo em papel, o comprimento medido do papel poderia ser expresso como 11,1 ± 0,3 pol. Como a discrepância de 0,1 pol. é menor do que a incerteza de 0,3 pol., podemos dizer que o valor medido concorda com o valor de referência aceito dentro da incerteza experimental.

Alguns fatores que contribuem para a incerteza em uma medição incluem o seguinte:

• Limitações do dispositivo de medição
• A habilidade da pessoa que faz a medição
• Irregularidades no objeto que está sendo medido
• Quaisquer outros fatores que afetem o resultado (altamente dependente da situação)

Em nosso exemplo, esses fatores que contribuem para a incerteza podem ser a menor divisão na régua, 1/16 pol., a pessoa que usa a régua tem uma visão ruim, a régua está desgastada em uma extremidade ou um lado do papel é um pouco mais longo que o outro. De qualquer forma, a incerteza em uma medição deve ser calculada para quantificar sua precisão. Se um valor de referência for conhecido, faz sentido calcular a discrepância e quantificar sua precisão.

Incerteza percentual

Outro método para expressar incerteza é como uma porcentagem do valor medido. Se uma medida A for expressa com incerteza\(\delta\) A, a porcentagem de incerteza é definida como

\[Percent\; uncertainty = \frac{\delta A}{A} \times 100 \%\]

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Calculating Percent Uncertainty: A Bag of Apples

Uma mercearia vende sacos de maçãs de 5 libras. Digamos que compramos quatro sacolas ao longo de um mês e as pesamos todas as vezes. Obtemos as seguintes medidas:

• Peso da semana 1:4,8 libras
• Peso da semana 2:5,3 libras
• Peso da semana 3:4,9 libras
• Peso da semana 4:5,4 libras

Em seguida, determinamos que o peso médio do saco de 5 libras de maçãs é de 5,1 ± 0,3 lb. Qual é a porcentagem de incerteza do peso do saco?

Estratégia

Primeiro, observe que o valor médio do peso da bolsa, A, é 5,1 lb. A incerteza nesse valor,\(\delta\) A, é de 0,3 lb. Podemos usar a seguinte equação para determinar a porcentagem de incerteza do peso:

\[Percent\; uncertainty = \frac{\delta A}{A} \times 100 \% \label{1.1}\]

Solução

Substitua os valores na equação:

\[Percent\; uncertainty = \frac{\delta A}{A} \times 100 \% = \frac{0.3\; lb}{5.1\; lb} \times 100 \% = 5.9 \% \approx 6 \%\]

Significância

Podemos concluir que o peso médio de um saco de maçãs desta loja é de 5,1 lb ± 6%. Observe que a porcentagem de incerteza é adimensional porque as unidades de peso em\(\delta\) A = 0,3 lb cancelaram aquelas em A = 5,1 lb quando calculamos a proporção.

Exercícios\(\PageIndex{1}\)

Um treinador de atletismo do ensino médio acaba de comprar um novo cronômetro. O manual do cronômetro afirma que o cronômetro tem uma incerteza de ± 0,05 s. Os corredores da equipe do treinador de pista regularmente marcam sprints de 100 m de 11,49 s a 15,01 s. No último encontro de pista da escola, o velocista em primeiro lugar chegou às 12,04 s e o velocista em segundo lugar chegou às 12,07 s. Será que o novo treinador o cronômetro é útil para cronometrar a equipe de sprint? Por que ou por que não?

Incertezas nos cálculos

A incerteza existe em qualquer coisa calculada a partir de quantidades medidas. Por exemplo, a área de um piso calculada a partir de medidas de seu comprimento e largura tem uma incerteza porque o comprimento e a largura têm incertezas. Qual é o tamanho da incerteza em algo que você calcula por multiplicação ou divisão? Se as medições que entram no cálculo tiverem pequenas incertezas (alguns por cento ou menos), o método de adição de porcentagens pode ser usado para multiplicação ou divisão. Esse método afirma que a porcentagem de incerteza em uma quantidade calculada por multiplicação ou divisão é a soma das incertezas percentuais nos itens usados para fazer o cálculo. Por exemplo, se um piso tem um comprimento de 4,00 m e uma largura de 3,00 m, com incertezas de 2% e 1%, respectivamente, a área do piso é 12,0 m ² e tem uma incerteza de 3%. (Expressa como uma área, isso é 0,36 m ² [12,0 m ² x 0,03], que arredondamos para 0,4 m ², já que a área do piso é dada a um décimo de um metro quadrado.)

Precisão de ferramentas de medição e números significativos

Um fator importante na precisão das medições envolve a precisão da ferramenta de medição. Em geral, uma ferramenta de medição precisa é aquela que pode medir valores em incrementos muito pequenos. Por exemplo, uma régua padrão pode medir o comprimento até o milímetro mais próximo, enquanto uma pinça pode medir o comprimento com a aproximação de 0,01 mm. A pinça é uma ferramenta de medição mais precisa porque pode medir diferenças extremamente pequenas no comprimento. Quanto mais precisa a ferramenta de medição, mais precisas são as medições.

Quando expressamos valores medidos, só podemos listar quantos dígitos medimos inicialmente com nossa ferramenta de medição. Por exemplo, se usarmos uma régua padrão para medir o comprimento de um bastão, poderemos medi-lo em 36,7 cm. Não podemos expressar esse valor como 36,71 cm porque nossa ferramenta de medição não é precisa o suficiente para medir um centésimo de centímetro. Deve-se notar que o último dígito em um valor medido foi estimado de alguma forma pela pessoa que realiza a medição. Por exemplo, a pessoa que mede o comprimento de um bastão com uma régua percebe que o comprimento do bastão parece estar entre 36,6 cm e 36,7 cm, e deve estimar o valor do último dígito. Usando o método de números significativos, a regra é que o último dígito escrito em uma medição é o primeiro dígito com alguma incerteza. Para determinar o número de dígitos significativos em um valor, comece com o primeiro valor medido à esquerda e conte o número de dígitos até o último dígito escrito à direita. Por exemplo, o valor medido de 36,7 cm tem três dígitos ou três números significativos. Números significativos indicam a precisão da ferramenta de medição usada para medir um valor.

Zeros

Consideração especial é dada aos zeros ao contar números significativos. Os zeros em 0,053 não são significativos porque são espaços reservados que localizam o ponto decimal. Existem dois números significativos em 0,053. Os zeros em 10.053 não são espaços reservados; eles são significativos. Esse número tem cinco números significativos. Os zeros em 1300 podem ou não ser significativos, dependendo do estilo de escrever números. Eles podem significar que o número é conhecido até o último dígito ou podem ser espaços reservados. Portanto, 1300 pode ter dois, três ou quatro números significativos. Para evitar essa ambigüidade, devemos escrever 1300 em notação científica como 1,3 x 10 ³, 1,30 x 10 ³ ou 1,300 x 10 ³, dependendo se ele tem dois, três ou quatro números significativos. Os zeros são significativos, exceto quando servem apenas como espaços reservados.

Números significativos nos cálculos

Ao combinar medições com diferentes graus de precisão, o número de dígitos significativos na resposta final não pode ser maior do que o número de dígitos significativos no valor medido de menor precisão. Existem duas regras diferentes, uma para multiplicação e divisão e outra para adição e subtração.

1. Para multiplicação e divisão, o resultado deve ter o mesmo número de números significativos que a quantidade com o menor número de números significativos entrando no cálculo. Por exemplo, a área de um círculo pode ser calculada a partir de seu raio usando A =\(\pi r^{2}\). Vamos ver quantos números significativos a área tem se o raio tiver apenas dois — digamos, r = 1,2 m. Usando uma calculadora com uma saída de oito dígitos, calcularíamos $$A =\ pi r^ {2} = (3,1415927...) \ times (1.2\; m) ^ {2} = 4,5238934\; m^ {2}\ lDOTP$$Mas como o raio tem apenas dois números significativos, ele limita a quantidade calculada a dois algarismos significativos, ou $$A = 4,5\; m^ {2}\ ldotp$$ embora\(\pi\) seja bom para pelo menos oito dígitos.
2. Para adição e subtração, a resposta não pode conter mais casas decimais do que a medição menos precisa. Suponha que compramos 7,56 kg de batatas em um supermercado, conforme medido com uma balança com precisão de 0,01 kg, e depois deixemos 6,052 kg de batatas em seu laboratório, medido por uma balança com precisão de 0,001 kg. Depois, vamos para casa e adicionamos 13,7 kg de batatas, medidos por uma balança de banheiro com precisão de 0,1 kg. Quantos quilos de batatas temos agora e quantos números significativos são apropriados na resposta? A massa é encontrada por simples adição e subtração: $$\ begin {split} 7,56\; & kg\\ -6.052\; & kg\\ +13.7\; & kg\\\ hline 15.208\; & kg = 15,2\; kg\ ldotp\ end {split} $$Em seguida, identificamos a medida menos precisa: 13,7 kg. Essa medida é expressa com 0,1 casa decimal, então nossa resposta final também deve ser expressa com 0,1 casa decimal. Assim, a resposta é arredondada para a décima posição, nos dando 15,2 kg.

Números significativos neste texto

Neste texto, presume-se que a maioria dos números tenha três números significativos. Além disso, números consistentes de números significativos são usados em todos os exemplos trabalhados. Uma resposta dada a três dígitos é baseada na entrada de pelo menos três dígitos, por exemplo. Se a entrada tiver menos números significativos, a resposta também terá números menos significativos. Também é tomado cuidado para que o número de números significativos seja razoável para a situação apresentada. Em alguns tópicos, particularmente em óptica, números mais precisos são necessários e usamos mais de três números significativos. Finalmente, se um número for exato, como os dois na fórmula para a circunferência de um círculo, C =\(2 \pi r\), isso não afeta o número de números significativos em um cálculo. Da mesma forma, fatores de conversão como 100 cm/1 m são considerados exatos e não afetam o número de números significativos em um cálculo.