1.6: Estimativas e cálculos de Fermi

Objetivos de

• Estime os valores das quantidades físicas.

Em muitas ocasiões, físicos, outros cientistas e engenheiros precisam fazer estimativas para uma quantidade específica. Outros termos às vezes usados são estimativas, aproximações de ordem de magnitude, cálculos de fundo do envelope ou cálculos de Fermi. (O físico que Enrico Fermi mencionou anteriormente era famoso por sua capacidade de estimar vários tipos de dados com uma precisão surpreendente.) Esse equipamento caberá na traseira do carro ou precisamos alugar um caminhão? Quanto tempo esse download vai demorar? Sobre o tamanho da corrente que haverá nesse circuito quando ele for ligado? Quantas casas uma usina de energia proposta poderia realmente alimentar se fosse construída? Observe que estimar não significa adivinhar um número ou uma fórmula aleatoriamente. Em vez disso, estimar significa usar experiência anterior e raciocínio físico sólido para chegar a uma ideia aproximada do valor de uma quantidade. Como o processo de determinar uma aproximação confiável geralmente envolve a identificação de princípios físicos corretos e uma boa suposição sobre as variáveis relevantes, a estimativa é muito útil no desenvolvimento da intuição física. As estimativas também nos permitem realizar “verificações de sanidade” em cálculos ou propostas de políticas, ajudando-nos a descartar certos cenários ou números irreais. Eles nos permitem desafiar os outros (assim como a nós mesmos) em nossos esforços para aprender verdades sobre o mundo.

Muitas estimativas são baseadas em fórmulas nas quais as quantidades de entrada são conhecidas apenas com uma precisão limitada. Ao desenvolver habilidades de resolução de problemas de física (que são aplicáveis a uma ampla variedade de campos), você também desenvolverá habilidades de estimativa. Você desenvolve essas habilidades pensando de forma mais quantitativa e estando disposto a assumir riscos. Como acontece com qualquer habilidade, a experiência ajuda. A familiaridade com as dimensões (veja a Tabela 1.5.1) e unidades (veja a Tabela 1.3.1 e a Tabela 1.3.2) e as escalas das grandezas básicas (veja a Figura 1.2.3) também ajudam.

Para fazer algum progresso na estimativa, você precisa ter algumas ideias definitivas sobre como as variáveis podem estar relacionadas. As estratégias a seguir podem ajudá-lo a praticar a arte da estimativa:

• Obtenha comprimentos grandes de comprimentos menores. Ao estimar comprimentos, lembre-se de que qualquer coisa pode ser uma régua. Assim, imagine dividir uma coisa grande em coisas menores, estimar o comprimento de uma das coisas menores e multiplicar para obter o comprimento da coisa grande. Por exemplo, para estimar a altura de um prédio, primeiro conte quantos andares ele tem. Em seguida, estime o tamanho de um único andar imaginando quantas pessoas teriam que se apoiar umas nas outras para alcançar o teto. Por último, estime a altura de uma pessoa. O produto dessas três estimativas é sua estimativa da altura do edifício. Ajuda ter memorizado algumas escalas de comprimento relevantes para os tipos de problemas que você está resolvendo. Por exemplo, conhecer algumas das escalas de comprimento na Figura 1.2.3 pode ser útil. Às vezes, também ajuda fazer isso ao contrário, ou seja, para estimar o tamanho de uma coisa pequena, imagine um monte delas inventando uma coisa maior. Por exemplo, para estimar a espessura de uma folha de papel, estime a espessura de uma pilha de papel e divida pelo número de páginas na pilha. Essas mesmas estratégias de dividir coisas grandes em coisas menores ou agregar coisas menores em algo maior às vezes podem ser usadas para estimar outras quantidades físicas, como massas e tempos.
• Obtenha áreas e volumes a partir de comprimentos. Ao lidar com uma área ou volume de um objeto complexo, introduza um modelo simples do objeto, como uma esfera ou uma caixa. Em seguida, estime primeiro as dimensões lineares (como o raio da esfera ou o comprimento, a largura e a altura da caixa) e use suas estimativas para obter o volume ou a área a partir de fórmulas geométricas padrão. Se você tiver uma estimativa da área ou do volume de um objeto, também poderá fazer o contrário; ou seja, use fórmulas geométricas padrão para obter uma estimativa de suas dimensões lineares.
• Obtenha massas de volumes e densidades. Ao estimar massas de objetos, pode ajudar primeiro a estimar seu volume e depois a estimar sua massa a partir de uma estimativa aproximada de sua densidade média (lembre-se, a densidade tem a dimensão massa sobre o comprimento ao cubo, então a massa é densidade vezes volume). Para isso, é importante lembrar que a densidade do ar é de cerca de 1 kg/m ³, a densidade da água é de 10 ^{3 kg/m 3} e os sólidos diários mais densos atingem cerca de 10 ⁴ kg/m ³. Perguntar a si mesmo se um objeto flutua ou afunda no ar ou na água fornece uma estimativa aproximada de sua densidade. Você também pode fazer isso ao contrário; se você tiver uma estimativa da massa e da densidade de um objeto, poderá usá-las para obter uma estimativa de seu volume.
• Se tudo mais falhar, amarre-o. Para quantidades físicas para as quais você não tem muita intuição, às vezes o melhor que você pode fazer é pensar em algo como: Bem, deve ser maior do que isso e menor do que isso. Por exemplo, suponha que você precise estimar a massa de um alce. Talvez você tenha muita experiência com alces e conheça sua massa média de imediato. Se sim, ótimo. Mas para a maioria das pessoas, o melhor que elas podem fazer é pensar em algo como: Deve ser maior do que uma pessoa (da ordem 10 ² kg) e menor que um carro (da ordem 10 ³ kg). Se precisar de um único número para um cálculo subsequente, você pode obter a média geométrica dos limites superior e inferior, ou seja, multiplicá-los juntos e, em seguida, obter a raiz quadrada. Para o exemplo de massa de alce, isso seria $$\ left (10^ {2}\ times 10^ {3}\ right) ^ {0.5} = 10^ {2.5} = 10^ {0.5}\ times 10^ {2}\ approx 3\ times 10^ {2}\; kg\ LDOTP$$ Quanto mais apertados os limites, melhor. Além disso, nenhuma regra é inquebrável quando se trata de estimativa. Se você acha que o valor da quantidade provavelmente está mais próximo do limite superior do que do limite inferior, talvez queira aumentar sua estimativa da média geométrica em uma ordem ou duas de magnitude.
• Um “sig. fig.” é bom. Não há necessidade de ir além de um valor significativo ao fazer cálculos para obter uma estimativa. Na maioria dos casos, a ordem de magnitude é boa o suficiente. O objetivo é apenas obter o valor aproximado, então mantenha a aritmética o mais simples possível.
• Pergunte a si mesmo: isso faz algum sentido? Por último, verifique se sua resposta é razoável. Como ele se compara aos valores de outras quantidades com as mesmas dimensões que você já conhece ou pode pesquisar facilmente? Se você obtiver uma resposta maluca (por exemplo, se você estimar que a massa do Oceano Atlântico seja maior que a massa da Terra ou que algum intervalo de tempo seja maior que a idade do universo), primeiro verifique se suas unidades estão corretas. Em seguida, verifique se há erros aritméticos. Em seguida, repense a lógica que você usou para chegar à sua resposta. Se tudo der certo, você pode ter acabado de provar que alguma ideia nova é realmente falsa.

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Mass of Earth’s Oceans

Estime a massa total dos oceanos na Terra.

Estratégia

Sabemos que a densidade da água é de cerca de 10 ^{3 kg/m 3}, então começamos com o conselho de “obter massas de densidades e volumes”. Assim, precisamos estimar o volume dos oceanos do planeta. Usando o conselho para “obter áreas e volumes de comprimentos”, podemos estimar o volume dos oceanos como área de superfície vezes profundidade média, ou V = AD. Sabemos o diâmetro da Terra da Figura 1.4 e sabemos que a maior parte da superfície da Terra está coberta de água, então podemos estimar a área da superfície dos oceanos como sendo aproximadamente igual à área da superfície do planeta. Seguindo o conselho de “obter áreas e volumes de comprimentos” novamente, podemos aproximar a Terra como uma esfera e usar a fórmula para a área da superfície de uma esfera de diâmetro d, ou seja, A =\(\pi d^{2}\), para estimar a área da superfície dos oceanos. Agora só precisamos estimar a profundidade média dos oceanos. Para isso, usamos o conselho: “Se tudo mais falhar, amarre-o”. Sabemos que os pontos mais profundos do oceano têm cerca de 10 km e que não é incomum que o oceano tenha mais de 1 km, então consideramos que a profundidade média seja de cerca de (10 ³ x 10 ⁴) ^0,5 ≈ ^{3 x 10 3} m. Agora só precisamos juntar tudo, atendendo ao conselho de que “um 'sig. fig. 'está bem”.

Solução

Estimamos que a área da superfície da Terra (e, portanto, a área da superfície dos oceanos da Terra) seja aproximadamente

\[A = \pi d^{2} = \pi \left(10^{7}\; m\right)^{2} \approx 3 \times 10^{14}\; m^{2} \ldotp\]

Em seguida, usando nossa estimativa de profundidade média de D = ^{3 x 10 3} m, que foi obtida por limite, estimamos que o volume dos oceanos da Terra seja

\[V = AD = \left(3 \times 10^{14}\; m^{2}\right)\left(3 \times 10^{3}\; m\right) = 9 \times 10^{17}m^{3} \ldotp\]

Por último, estimamos que a massa dos oceanos do mundo seja

\[M = \rho V = \left(10^{3}\; kg/m^{3}\right) \left(9 \times 10^{17}\; m^{3}\right) = 9 \times 10^{20}\; kg \ldotp\]

Assim, estimamos que a ordem de magnitude da massa dos oceanos do planeta seja de 10 ²¹ kg.

Significância

Para verificar nossa resposta da melhor maneira possível, primeiro precisamos responder à pergunta: Isso faz algum sentido? Na Figura 1.4, vemos que a massa da atmosfera da Terra é da ordem de 10 ¹⁹ kg e a massa da Terra é da ordem de 10 ²⁵ kg. É reconfortante que nossa estimativa de 10 ²¹ kg para a massa dos oceanos da Terra esteja em algum lugar entre esses dois. Então, sim, parece fazer sentido. Acontece que fizemos uma pesquisa na Web por “massa de oceanos” e todos os principais resultados da pesquisa disseram 1,4 x 10 ²¹ kg, que é a mesma ordem de magnitude da nossa estimativa. Agora, em vez de confiar cegamente em quem primeiro colocou esse número em um site (a maioria dos outros sites provavelmente o copiou deles, afinal de contas), podemos ter um pouco mais de confiança nele.

Exercício\(\PageIndex{1}\)

A Figura 1.4 diz que a massa da atmosfera é de 10 a ¹⁹ kg. Supondo que a densidade da atmosfera seja de 1 kg/m ³, estime a altura da atmosfera da Terra. Você acha que sua resposta está subestimada ou superestimada? Explique o porquê.

Quantos afinadores de piano existem na cidade de Nova York? Quantas folhas estão nessa árvore? Se você está estudando fotossíntese ou pensando em escrever um aplicativo de smartphone para afinadores de piano, as respostas a essas perguntas podem ser de grande interesse para você. Caso contrário, você provavelmente não se importaria com quais são as respostas. No entanto, esses são exatamente os tipos de problemas de estimativa que pessoas em vários setores de tecnologia têm pedido aos funcionários em potencial que avaliem suas habilidades de raciocínio quantitativo. Se desenvolver intuição física e avaliar reivindicações quantitativas não parecem motivos suficientes para você praticar problemas de estimativa, que tal o fato de que ser bom nisso pode lhe render um emprego bem remunerado?

Simulação Phet: Estimativa

Para praticar a estimativa de comprimentos, áreas e volumes relativos, confira esta simulação PhET, intitulada “Estimativa”.