1.5: Análise dimensional
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- Encontre as dimensões de uma expressão matemática envolvendo quantidades físicas.
- Determine se uma equação envolvendo quantidades físicas é dimensionalmente consistente.
A dimensão de qualquer quantidade física expressa sua dependência das quantidades básicas como um produto de símbolos (ou poderes de símbolos) representando as quantidades base. A tabela\(\PageIndex{1}\) lista as quantidades básicas e os símbolos usados para sua dimensão. Por exemplo, diz-se que uma medida de comprimento tem dimensão L ou L 1, uma medição de massa tem dimensão M ou M 1 e uma medição de tempo tem dimensão T ou T 1. Assim como as unidades, as dimensões obedecem às regras da álgebra. Assim, a área é o produto de dois comprimentos e, portanto, tem a dimensão L 2, ou comprimento quadrado. Da mesma forma, o volume é o produto de três comprimentos e tem dimensão L 3, ou comprimento em cubos. A velocidade tem dimensão de comprimento ao longo do tempo, L/T ou LT —1. A densidade de massa volumétrica tem dimensão M/L 3 ou ML —3, ou massa acima do comprimento em cubos. Em geral, a dimensão de qualquer quantidade física pode ser escrita como
\[L^{a}M^{b}T^{c}I^{d}\Theta^{e}N^{f}J^{g}\]
para algumas potências a, b, c, d, e, f e g. Podemos escrever as dimensões de um comprimento nesta forma com a = 1 e as seis potências restantes, todas iguais a zero:
\[L^{1} = L^{1}M^{0}T^{0}I^{0}\Theta^{0}N^{0}J^{0}.\]
Qualquer quantidade com uma dimensão que possa ser escrita de forma que todas as sete potências sejam zero (ou seja, sua dimensão é\(L^{0}M^{0}T^{0}I^{0}\Theta^{0}N^{0}J^{0}\)) é chamada de adimensional (ou às vezes “da dimensão 1”, porque qualquer coisa elevada à potência zero é uma). Os físicos costumam chamar quantidades adimensionais de números puros.
| Quantidade base | Símbolo da dimensão |
|---|---|
| Comprimento | L |
| Missa | M |
| Hora | T |
| Atual | EU |
| Temperatura termodinâmica | \(\Theta\) |
| Quantidade de substância | N |
| Intensidade luminosa | J |
Os físicos costumam usar colchetes ao redor do símbolo para que uma quantidade física represente as dimensões dessa quantidade. Por exemplo, se r é o raio de um cilindro e h é sua altura, escrevemos [r] = L e [h] = L para indicar que as dimensões do raio e da altura são ambas de comprimento, ou L. Da mesma forma, se usarmos o símbolo A para a área da superfície de um cilindro e V para seu volume, então [A] = L 2 e [V] = L 3. Se usarmos o símbolo m para a massa do cilindro e\(\rho\) para a densidade do material do qual o cilindro é feito, então [m] = M e [\(\rho\)] = ML −3.
A importância do conceito de dimensão surge do fato de que qualquer equação matemática relacionando quantidades físicas deve ser dimensionalmente consistente, o que significa que a equação deve obedecer às seguintes regras:
- Cada termo em uma expressão deve ter as mesmas dimensões; não faz sentido adicionar ou subtrair quantidades de dimensões diferentes (pense no velho ditado: “Você não pode adicionar maçãs e laranjas”). Em particular, as expressões em cada lado da igualdade em uma equação devem ter as mesmas dimensões.
- Os argumentos de qualquer uma das funções matemáticas padrão, como funções trigonométricas (como seno e cosseno), logaritmos ou funções exponenciais que aparecem na equação, devem ser adimensionais. Essas funções exigem números puros como entradas e fornecem números puros como saídas.
Se alguma dessas regras for violada, uma equação não é dimensionalmente consistente e não pode ser uma declaração correta da lei física. Esse simples fato pode ser usado para verificar erros de digitação ou álgebra, para ajudar a lembrar as várias leis da física e até mesmo para sugerir a forma que as novas leis da física podem assumir. Esse último uso de dimensões está além do escopo deste texto, mas é algo que você, sem dúvida, aprenderá mais tarde em sua carreira acadêmica.
Suponha que precisemos da fórmula para a área de um círculo para alguns cálculos. Como muitas pessoas que aprenderam geometria há muito tempo para lembrar com certeza, duas expressões podem surgir em nossa mente quando pensamos em círculos:\(\pi r^{2}\)\(2 \pi r\) e. Uma expressão é a circunferência de um círculo de raio r e a outra é sua área. Mas qual é qual?
Estratégia
Uma estratégia natural é procurá-la, mas isso pode levar algum tempo para encontrar informações de uma fonte confiável. Além disso, mesmo que achemos que a fonte é confiável, não devemos confiar em tudo o que lemos. É bom ter uma maneira de verificar novamente só de pensar nisso. Além disso, podemos estar em uma situação em que não possamos pesquisar coisas (como durante um teste). Assim, a estratégia é encontrar as dimensões de ambas as expressões fazendo uso do fato de que as dimensões seguem as regras da álgebra. Se uma das expressões não tiver as mesmas dimensões da área, então ela não pode ser a equação correta para a área de um círculo.
Solução
Sabemos que a dimensão da área é L 2. Agora, a dimensão da expressão\(\pi r^{2}\) é
\[[\pi r^{2}] = [\pi] \cdotp [r]^{2} = 1 \cdotp L^{2} = L^{2},\]
já que a constante\(\pi\) é um número puro e o raio r é um comprimento. Portanto,\(\pi r^{2}\) tem a dimensão da área. Da mesma forma, a dimensão da expressão\(2 \pi r\) é
\[[2 \pi r] = [2] \cdotp [\pi] \cdotp [r] = 1 \cdotp 1 \cdotp L = L,\]
uma vez que as constantes 2 e 2\(\pi\) são ambas adimensionais e o raio r é um comprimento. Vemos que\(2 \pi r\) tem a dimensão do comprimento, o que significa que não pode ser uma área.
Nós descartamos\(2 \pi r\) porque não é dimensionalmente consistente com ser uma área. Vemos que\(\pi r^{2}\) é dimensionalmente consistente em ser uma área, então, se tivermos que escolher entre essas duas expressões,\(\pi r^{2}\) é a única a escolher.
Significância
Isso pode parecer um exemplo meio tolo, mas as ideias são muito gerais. Desde que saibamos as dimensões das quantidades físicas individuais que aparecem em uma equação, podemos verificar se a equação é dimensionalmente consistente. Por outro lado, sabendo que as equações verdadeiras são dimensionalmente consistentes, podemos combinar expressões de nossas memórias imperfeitas com as quantidades para as quais elas podem ser expressões. Fazer isso não nos ajudará a lembrar os fatores adimensionais que aparecem nas equações (por exemplo, se você acidentalmente confundiu as duas expressões do exemplo\(2 \pi r^{2}\), a análise dimensional não ajuda), mas nos ajuda a lembrar a forma básica correta das equações.
Suponha que desejemos a fórmula para o volume de uma esfera. As duas expressões comumente mencionadas em discussões elementares sobre esferas são\(4 \pi r^{2}\)\(\frac{4}{3} \pi r^{3}\) e. Um é o volume de uma esfera de raio r e o outro é sua área de superfície. Qual é o volume?
- Resposta
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Considere as quantidades físicas s, v, a e t com dimensões [s] = L, [v] = LT −1, [a] = LT −2 e [t] = T. Determine se cada uma das seguintes equações é dimensionalmente consistente:
- s = vt + 0,5 em 2;
- s = vt 2 + 0,5at; e
- v = pecado (\(\frac{at^{2}}{s}\)).
Estratégia
Pela definição de consistência dimensional, precisamos verificar se cada termo em uma determinada equação tem as mesmas dimensões dos outros termos dessa equação e se os argumentos de qualquer função matemática padrão são adimensionais.
Solução
- Não há funções trigonométricas, logarítmicas ou exponenciais com que se preocupar nessa equação, então precisamos apenas observar as dimensões de cada termo que aparece na equação. Há três termos, um na expressão à esquerda e dois na expressão à direita, então examinamos cada um por vez:
\[[s] = L\]
\[[vt] = [v] \cdotp [t] = LT^{−1} \cdotp T = LT^{0} = L\]
\[[0.5at^{2} ] = [a] \cdotp [t]^{2} = LT^{−2} \cdotp T^{2} = LT^{0} = L \ldotp\]
- Novamente, não há funções trigonométricas, exponenciais ou logarítmicas, então precisamos apenas observar as dimensões de cada um dos três termos que aparecem na equação:
\[[s] = L\]
\[[vt^{2}] = [v] \cdotp [t]^{2} = LT^{−1} \cdotp T^{2} = LT\]
\[[at] = [a] \cdotp [t] = LT^{−2} \cdotp T = LT^{−1} \ldotp\]
Nenhum dos três termos tem a mesma dimensão que qualquer outro, então isso está quase tão longe de ser dimensionalmente consistente quanto possível. O termo técnico para uma equação como essa é um absurdo.
- Essa equação tem uma função trigonométrica, então primeiro devemos verificar se o argumento da função seno é adimensional:
\[\left[\frac{at^{2}}{s}\right] = \frac{[a] \cdotp [t]^{2}}{[s]} = \frac{LT^{-2} \cdotp T^{2}}{L} = \frac{L}{L} = 1 \ldotp\]
O argumento é adimensional. Até agora, tudo bem. Agora precisamos verificar as dimensões de cada um dos dois termos (ou seja, a expressão à esquerda e a expressão à direita) na equação:
\[[v] = LT^{-1}\]
\[\left[ sin \left(\dfrac{at^{2}}{s}\right) \right] = 1 \ldotp\]
Os dois termos têm dimensões diferentes, ou seja, a equação não é dimensionalmente consistente. Essa equação é outro exemplo de “bobagem”.
Significância
Se confiamos nas pessoas, esses tipos de verificações dimensionais podem parecer desnecessários. Mas, fique tranquilo, qualquer livro didático sobre um assunto quantitativo, como física (incluindo este), quase certamente contém algumas equações com erros de digitação. Verificar equações rotineiramente por análise dimensional nos poupa do constrangimento de usar uma equação incorreta. Além disso, verificar as dimensões de uma equação que obtemos por meio da manipulação algébrica é uma ótima maneira de garantir que não cometemos um erro (ou identificar um erro, se cometemos um).
A equação v = at dimensionalmente é consistente?
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Outro ponto que precisa ser mencionado é o efeito das operações de cálculo nas dimensões. Vimos que as dimensões obedecem às regras da álgebra, assim como as unidades, mas o que acontece quando tomamos a derivada de uma quantidade física em relação a outra ou integramos uma quantidade física sobre outra? A derivada de uma função é apenas a inclinação da reta tangente ao seu gráfico e as inclinações são proporções, portanto, para quantidades físicas v e t, temos que a dimensão da derivada de v em relação a t é apenas a razão da dimensão de v sobre a de t:
\[\left[\frac{dv}{dt} \right] = \frac{[v]}{[t]} \ldotp\]
Da mesma forma, como integrais são apenas somas de produtos, a dimensão da integral de v em relação a t é simplesmente a dimensão de v vezes a dimensão de t:
\[\left[ \int vdt \right] = [v] \cdotp [t] \ldotp\]
Pelo mesmo raciocínio, regras análogas são válidas para as unidades de quantidades físicas derivadas de outras quantidades por integração ou diferenciação.