15.6: Ressonância em um circuito AC

Objetivos de

Ao final da seção, você poderá:

• Determine a frequência angular ressonante de corrente alternada máxima para um circuito RLC
• Explique a largura da potência média versus a curva de frequência angular e sua importância usando termos como largura de banda e fator de qualidade

No circuito da série RLC da Figura 15.4.1, a amplitude atual é, da Equação 15.4.7,

\[I_0 = \dfrac{V_0}{\sqrt{R^2 + (\omega L - 1/\omega C)^2}}. \label{15.15} \]

Se pudermos variar a frequência do gerador de corrente alternada, mantendo constante a amplitude de sua tensão de saída, a corrente muda de acordo. Um gráfico de\(I_0\) versus\(\omega\) é mostrado na Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Na frequência ressonante de um circuito RLC\(\omega_0 = \sqrt{1/LC}\), a amplitude da corrente está em seu valor máximo.

Em Oscilações, encontramos um gráfico semelhante em que a amplitude de um oscilador harmônico amortecido foi plotada em relação à frequência angular de uma força motriz senoidal (veja Oscilações Forçadas). Essa semelhança é mais do que apenas uma coincidência, conforme mostrado anteriormente pela aplicação da regra de loop de Kirchhoff ao circuito da Figura 15.4.1. Isso rende

\[L\dfrac{di}{dt} + iR + \dfrac{q}{C} = V_0 \, \sin \, \omega t, \label{15.16}\]

ou

\[L\dfrac{d^2q}{dt^2} + R\dfrac{dq}{dt} + \dfrac{1}{C}q = V_0 \, \sin \, \omega t,\]

onde substituímos dq (t) /dt por i (t). Uma comparação da Equação\ ref {15.16} e, de Oscilações, Oscilações Amortecidas para movimento harmônico amortecido demonstra claramente que o circuito da série RLC acionado é o análogo elétrico do oscilador harmônico amortecido acionado.

A frequência ressonante\(f_0\) do circuito RLC é a frequência na qual a amplitude da corrente é máxima e o circuito oscilaria se não fosse acionado por uma fonte de tensão. Por inspeção, isso corresponde à frequência angular\(\omega_0 = 2\pi f_0\) na qual a impedância Z na Equação\ ref {15.15} é mínima, ou quando

\[\omega_0 L = \dfrac{1}{\omega_0 C} \label{resonantfrequency1}\]

e

\[\omega_0 = \sqrt{\dfrac{1}{LC}}.\label{resonantfrequency2}\]

Essa é a frequência angular ressonante do circuito. Substituindo\(\omega_0\) na Equação 15.4.5, Equação 15.4.7 e Equação 15.4.8, descobrimos que na ressonância,

\[\phi = tan^{-1}(0) = 0, \, I_0 = V_0/R, \, and \, Z = R.\]

Portanto, na ressonância, um circuito RLC é puramente resistivo, com o emf e a corrente aplicados em fase.

O que acontece com a potência na ressonância? A equação 15.5.18 nos diz como a potência média transferida de um gerador de corrente alternada para a combinação RLC varia com a frequência. Além disso,\(P_{ave}\) atinge um máximo quando\(Z\), o que depende da frequência, é um mínimo, ou seja, quando\(X_L = X_C\)\(Z = R\) e. Assim, na ressonância, a potência média de saída da fonte em um circuito da série RLC é máxima. Da Equação 15.5.18, esse máximo é\(V_{rms}^2 /R\).

A figura\(\PageIndex{2}\) é um gráfico típico de\(P_{ave}\) versus\(\omega\) na região da potência máxima de saída. A largura\(\Delta \omega\) de banda do pico de ressonância é definida como a faixa de frequências\(\omega\) angulares na qual a potência média\(P_{ave}\) é maior que a metade do valor máximo de\(P_{ave}\). A nitidez do pico é descrita por uma quantidade adimensional conhecida como fator de qualidade Q do circuito. Por definição,

\[Q = \dfrac{\omega_0}{\Delta \omega}, \label{15.18} \]

onde\(\omega_0\) está a frequência angular ressonante. Um Q alto indica um pico de ressonância nítido. Podemos fornecer Q em termos dos parâmetros do circuito como

\[Q = \dfrac{\omega_0L}{R}. \label{15.19} \]

Figura\(\PageIndex{2}\): Como a corrente, a potência média transferida de um gerador de corrente alternada para um circuito RLC atinge o pico na frequência ressonante.

Circuitos ressonantes são comumente usados para passar ou rejeitar faixas de frequência selecionadas. Isso é feito ajustando o valor de um dos elementos e, portanto, “ajustando” o circuito para uma frequência ressonante específica. Por exemplo, em rádios, o receptor é sintonizado na estação desejada ajustando a frequência de ressonância de seu circuito para corresponder à frequência da estação. Se o circuito de sintonia tiver um Q alto, ele terá uma pequena largura de banda; portanto, sinais de outras estações em frequências, mesmo ligeiramente diferentes da frequência de ressonância, encontram uma alta impedância e não são passados pelo circuito. Os telefones celulares funcionam de forma semelhante, comunicando-se com sinais de cerca de 1 GHz que são sintonizados por um circuito indutor-capacitor. Uma das aplicações mais comuns dos capacitores é seu uso em circuitos de temporização de corrente alternada, com base na obtenção de uma frequência ressonante. Um detector de metais também usa uma mudança na frequência de ressonância na detecção de metais (Figura\(\PageIndex{3}\)).

Figura\(\PageIndex{3}\): Quando um detector de metais se aproxima de um pedaço de metal, a autoindutância de uma de suas bobinas muda. Isso causa uma mudança na frequência de ressonância de um circuito contendo a bobina. Essa mudança é detectada pelo circuito e transmitida ao mergulhador por meio dos fones de ouvido.

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Resonance in an RLC Series Circuit

1. Qual é a frequência de ressonância do circuito do Exemplo 15.3.1?
2. Se o gerador de corrente alternada estiver configurado para essa frequência sem alterar a amplitude da tensão de saída, qual é a amplitude da corrente?

Estratégia

A frequência de ressonância de um circuito RLC é calculada a partir da Equação\ ref {ressonantfrequency2}, que vem de um equilíbrio entre as reatâncias do capacitor e do indutor. Como o circuito está em ressonância, a impedância é igual ao resistor. Em seguida, a corrente de pico é calculada pela tensão dividida pela resistência.

Solução

1. A frequência ressonante é encontrada na Equação\ ref {resonantfrequency2}:\[\begin{align*} f_0 &= \dfrac{1}{2\pi} \sqrt{\dfrac{1}{LC}} \\[4pt] &= \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{1}{(3.00 \times 10^{-3} H)(8.00 \times 10^{-4}F)}} \\[4pt] &= 1.03 \times 10^2 \, Hz. \end{align*}\]
2. Na ressonância, a impedância do circuito é puramente resistiva e a amplitude da corrente é\[I_0 = \dfrac{0.100 \, V}{4.00 \, \Omega} = 2.50 \times 10^{-2}A. \nonumber\]

Significância

Se o circuito não estivesse configurado para a frequência ressonante, precisaríamos da impedância de todo o circuito para calcular a corrente.

Exemplo\(\PageIndex{2}\): Power Transfer in an RLC Series Circuit at Resonance

1. Qual é a frequência angular ressonante de um circuito RLC com\( R = 0.200 \, \Omega, \, L = 4.00 \times 10^{-3} H\), e\(C = 2.00 \times 10^{-6}F\)?
2. Se uma fonte CA de amplitude constante de 4,00 V estiver configurada para essa frequência, qual é a potência média transferida para o circuito?
3. Determine Q e a largura de banda desse circuito.

Estratégia

A frequência angular ressonante é calculada a partir da Equação\ ref {resonantfrequency2}. A potência média é calculada a partir da tensão rms e da resistência no circuito. O fator de qualidade é calculado a partir da Equação\ ref {15.19} e pelo conhecimento da frequência de ressonância. A largura de banda é calculada a partir da Equação\ ref {15.18} e conhecendo o fator de qualidade.

Solução

1. A frequência angular ressonante é\[ \begin{align*} \omega_0 &= \sqrt{\dfrac{1}{LC}} \\[4pt] &= \sqrt{\dfrac{1}{(4.00 \times 10^{-3}H)(2.00 \times 10^{-6}F)}} \\[4pt] &= 1.12 \times 10^4 \, rad/s. \end{align*}\]
2. Nessa frequência, a potência média transferida para o circuito é máxima. É\[P_{ave} = \dfrac{V_{rms}^2}{R} = \dfrac{[(1/\sqrt{2})(4.00 \, V)]^2}{0.200 \, \Omega} = 40.0 \, W.\]
3. O fator de qualidade do circuito é: Em seguida,\[Q = \dfrac{\omega_0L}{R} = \dfrac{(1.12 \times 10^4 \, rad/s)(4.00 \times 10^{-3}H)}{0.200 \, \Omega} = 224. \nonumber\] encontramos a largura de banda\[\Delta \omega = \dfrac{\omega_0}{Q} = \dfrac{1.12 \times 10^4 \, rad/s}{224} = 50.0 \, rad/s. \nonumber\]

Significância

Se uma largura de banda mais estreita for desejada, uma resistência menor ou uma maior indutância ajudariam. No entanto, uma resistência menor aumenta a potência transferida para o circuito, o que pode não ser desejável, dependendo da potência máxima que poderia ser transferida.

Exercício\(\PageIndex{1}\)

No circuito da Figura 15.4.1\(L = 2.0 \times 10^{-3}H, \, C = 5.0 \times 10^{-4} F\),\(R = 40 \, \Omega\) e.

1. Qual é a frequência de ressonância?
2. Qual é a impedância do circuito na ressonância?
3. Se a amplitude da tensão for 10 V, o que é i (t) na ressonância?
4. A frequência do gerador de corrente alternada agora é alterada para 200 Hz. Calcule a diferença de fase entre a corrente e o emf do gerador.

Resposta

a. 160 Hz; b.\(40 \Omega\); c.\((0.25 A) \, \sin \, 10^3t\); d. 0,023 rad

Exercício\(\PageIndex{2}\)

O que acontece com a frequência de ressonância de um circuito da série RLC quando as seguintes quantidades são aumentadas por um fator de 4: (a) a capacitância, (b) a autoindutância e (c) a resistência?

Resposta

a. dividido pela metade; b. dividido pela metade; c. mesmo

Exercício\(\PageIndex{3}\)

A frequência angular ressonante de um circuito da série RLC é\(4.0 \times 10^2 \, rad/s\). Uma fonte CA operando nessa frequência transfere uma potência média de\(2.0 \times 10^{-2} W\) para o circuito. A resistência do circuito é\(0.50 \, \Omega\). Escreva uma expressão para o emf da fonte.

Resposta

\(v(t) = (0.14 \, V) \, sin \, (4.0 \times 10^2 t)\)