8.1: Momento e força lineares

objetivos de aprendizagem

Ao final desta seção, você poderá:

• Defina o momento linear.
• Explique a relação entre impulso e força.
• Declare a segunda lei do movimento de Newton em termos de momentum.
• Calcule o momento com base na massa e na velocidade.

A definição científica de momento linear é consistente com a compreensão intuitiva da maioria das pessoas sobre o momento: um objeto grande e rápido tem maior impulso do que um objeto menor e mais lento. O momento linear é definido como o produto da massa de um sistema multiplicada por sua velocidade.

Momento linear

O momento linear é definido como o produto da massa de um sistema multiplicada por sua velocidade:

\[p = mv \label{linearmomentum}\]

O momento é diretamente proporcional à massa do objeto e também à sua velocidade. Assim, quanto maior a massa de um objeto ou maior sua velocidade, maior seu momento. Momentum\(p\) é um vetor com a mesma direção da velocidade\(v\). A unidade SI para momentum é\(kg \cdot m/s.\)

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Calculating Momentum: A Football Player and a Football

1. Calcule a dinâmica de um jogador de futebol de 110 kg correndo a 8,00 m/s.
2. Compare o impulso do jogador com o impulso de uma bola de futebol duro de 0,410 kg que tem uma velocidade de 25,0 m/s.

Estratégia

Nenhuma informação é fornecida sobre a direção e, portanto, podemos calcular apenas a magnitude do momento\(p\) (como sempre, um símbolo em itálico é uma magnitude, enquanto um que está em itálico, em negrito e com uma seta é um vetor). Em ambas as partes deste exemplo, a magnitude do momento pode ser calculada diretamente a partir da definição de momento dada na Equação\ ref {linearmomentum}, que se torna

\[p = mv \nonumber\]

quando apenas as magnitudes são consideradas.

Solução para (a)

Para determinar o momento do jogador, substitua os valores conhecidos pela massa e velocidade do jogador na equação.

\[\begin{align*} p_{player} &= (110 \, kg)(8.00 \, m/s) \\[5pt] &= 880 \, kg \cdot m/s \end{align*}\]

Solução para (b)

Para determinar o momento da bola, substitua os valores conhecidos da massa e da velocidade da bola na equação.

\[\begin{align*} p_{ball} &= (0.410 \, kg)(25.0 \, m/s) \\[5pt] &= 10.3 \, kg \cdot m/s \end{align*}\]

A proporção do impulso do jogador em relação ao da bola é

\[\dfrac{p_{player}}{p_{ball}} = \dfrac{880}{10.3} = 85.0 \nonumber\]

Discussão

Embora a bola tenha maior velocidade, o jogador tem uma massa muito maior. Assim, o ímpeto do jogador é muito maior do que o impulso do futebol, como você pode imaginar. Como resultado, o movimento do jogador só é ligeiramente afetado se ele pegar a bola. Vamos quantificar o que acontece em tais colisões em termos de momentum em seções posteriores.

Momentum e a Segunda Lei de Newton

A importância do momento, ao contrário da importância da energia, foi reconhecida logo no início do desenvolvimento da física clássica. O momentum foi considerado tão importante que foi chamado de “quantidade de movimento”. Newton realmente declarou sua segunda lei do movimento em termos de momentum: A força externa líquida é igual à mudança no momentum de um sistema dividida pelo tempo em que ele muda.

Segunda Lei do Movimento de Newton em termos de momentum

A força externa líquida é igual à mudança no momentum de um sistema dividida pelo tempo em que ele muda.

\[F_{net} = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}\]

onde\(F_{net} \) está a força externa líquida,\(\Delta p\) é a mudança no momentum e\(\Delta t\) é a mudança no tempo.

Fazendo conexões: força e impulso

Força e impulso estão intimamente relacionados. A força que atua ao longo do tempo pode mudar o momentum, e a segunda lei do movimento de Newton pode ser declarada em sua forma mais amplamente aplicável em termos de momentum. O momentum continua sendo um conceito-chave no estudo de partículas atômicas e subatômicas na mecânica quântica.

Essa declaração da segunda lei do movimento de Newton inclui a mais conhecida\(F_{net} = ma\) como um caso especial. Podemos derivar esse formulário da seguinte forma. Primeiro, observe que a mudança no momentum\(\Delta p\) é dada por

\[\Delta p = \Delta (mv)\]

Se a massa do sistema for constante, então

\[\Delta (mv) = m\Delta v.\]

Então, para massa constante, a segunda lei do movimento de Newton se torna

\[F_{net} = \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \dfrac{m \Delta v}{\Delta t}.\]

Porque\(\frac{\Delta v}{\Delta t} = a, \) obtemos a equação familiar

\[F_{net} = ma\]

quando a massa do sistema é constante.

A segunda lei do movimento de Newton, declarada em termos de momento, é mais geralmente aplicável porque pode ser aplicada a sistemas em que a massa está mudando, como foguetes, bem como a sistemas de massa constante. Consideraremos sistemas com massa variável com alguns detalhes; no entanto, a relação entre momento e força permanece útil quando a massa é constante, como no exemplo a seguir.

Exemplo\(\PageIndex{2}\): Calculating Force: Venus Williams’ Racquet

Durante o Aberto da França de 2007, Venus Williams atingiu o saque mais rápido registrado em uma partida feminina de primeira linha, atingindo uma velocidade de 58 m/s (209 km/h). Qual é a força média exercida na bola de tênis de 0,057 kg pela raquete de Venus Williams, assumindo que a velocidade da bola logo após o impacto é de 58 m/s, que o componente horizontal inicial da velocidade antes do impacto é insignificante e que a bola permaneceu em contato com a raquete por 5,0 ms (milissegundos)?

Estratégia

Esse problema envolve apenas uma dimensão porque a bola começa por não ter nenhum componente de velocidade horizontal antes do impacto. A segunda lei de Newton declarada em termos de momentum é então escrita como

\[F_{net} = \dfrac{\Delta p}{\Delta t} \nonumber\]

Conforme observado acima, quando a massa é constante, a mudança no momento é dada por

\[\Delta p = m\Delta v = m(v_f - v_i). \nonumber\]

Neste exemplo, a velocidade logo após o impacto e a mudança no tempo são dadas; assim, uma vez\(\Delta p\) calculada,\(F_{net} = \frac{\Delta p}{\Delta t}\) pode ser usada para encontrar a força.

Solução

Para determinar a mudança no momento, substitua os valores das velocidades inicial e final na equação acima.

\[\begin{align*} \Delta p &= m(v_f - v_i) \\[5pt] &= (0.057 \, kg)(58 \, m/s - 0 \, m/s)\\[5pt] &= 3.306 \, kg \cdot m/s = 3.3 \, kg \cdot m/s \end{align*} \]

Agora, a magnitude da força externa líquida pode ser determinada usando\(F_{net} = \frac{\Delta p}{\Delta t}\)

\[\begin{align*} F_{net} &= \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \dfrac{3.306 \, kg}{5.0 \times 10^{-3}}\\[5pt] &= 661 \, N,\end{align*} \]

onde mantivemos apenas dois números significativos na etapa final.

Discussão

Essa quantidade foi a força média exercida pela raquete de Venus Williams na bola de tênis durante seu breve impacto (observe que a bola também experimentou a força de gravidade de 0,56 N, mas essa força não foi devida à raquete). Esse problema também pode ser resolvido primeiro encontrando a aceleração e depois usando\(F = ma\) apenas uma etapa adicional seria necessária em comparação com a estratégia usada neste exemplo.

Resumo

• O momento linear (momento por brevidade) é definido como o produto da massa de um sistema multiplicada por sua velocidade.
• Em símbolos, o momento linear\(p\) é definido como\[p = mv \nonumber\] onde\(m\) está a massa do sistema e\(v\) sua velocidade.
• A unidade SI para momentum é\(kg \cdot m/s.\)
• A segunda lei do movimento de Newton em termos de momentum afirma que a força externa líquida é igual à mudança no momentum de um sistema dividida pelo tempo em que ele muda.
• Em símbolos, a segunda lei do movimento de Newton é definida como\[F_{net} = \frac{\Delta p}{\Delta t} \nonumber \] onde estão\(F_{net}\nonumber \) as forças externas\(\Delta p\) líquidas, a mudança no momento e\(\Delta t\) a mudança no tempo.

Glossário

momento linear

o produto da massa e da velocidade

segunda lei do movimento

lei física que afirma que a força externa líquida é igual à mudança no momento de um sistema dividida pelo tempo em que ele muda