4.7: Outras aplicações das Leis do Movimento de Newton
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Objetivos de
Ao final desta seção, você poderá:
- Aplique técnicas de resolução de problemas para resolver quantidades em sistemas de forças mais complexos.
- Integre conceitos da cinemática para resolver problemas usando as leis do movimento de Newton.
Há muitas aplicações interessantes das leis do movimento de Newton, algumas das quais são apresentadas nesta seção. Eles também servem para ilustrar algumas outras sutilezas da física e para ajudar a desenvolver habilidades de resolução de problemas.
Exemplo\(\PageIndex{1}\): Drag Force on a Barge
Suponha que dois rebocadores empurrem uma barcaça em ângulos diferentes, conforme mostrado na Figura. O primeiro rebocador exerce uma força\(2.7 \times 10^5 \, N \) na direção x, e o segundo rebocador exerce uma força\(3.6 \times 10^5 \, N \) na direção y.

Se a massa da barcaça é\(5.0 \times 10^6 \space kg \) e sua aceleração é observada\(7.5 \times 10^{-2} \, m/s^2 \) na direção mostrada, qual é a força de arrasto da água na barcaça resistindo ao movimento? (Nota: a força de arrasto é uma força de atrito exercida por fluidos, como ar ou água. A força de arrasto se opõe ao movimento do objeto.)
Estratégia
As direções e magnitudes da aceleração e as forças aplicadas são dadas na Figura (a). Definiremos a força total dos rebocadores na barcaça de\(F_{app} \) forma que:\[ F_{app} = F_x + F_y \nonumber \]
Como a barcaça tem fundo plano, o arrasto da água\(F_D\) estará na direção oposta à\(F_{app} \) mostrada no diagrama de corpo livre na Figura (b). O sistema de interesse aqui é a barcaça, já que as forças nela são dadas, assim como sua aceleração. Nossa estratégia é encontrar a magnitude e a direção da força líquida aplicada e\(F_{app} \), em seguida, aplicar a segunda lei de Newton para resolver a força de arrasto\(F_D\).
Solução
Como\(F_x\) e\(F_y\) são perpendiculares, a magnitude e a direção de\(F_{app}\) são facilmente encontradas. Primeiro, a magnitude resultante é dada pelo teorema de Pitágoras:
\[F_{app} = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \nonumber \]
\[F_{app} = \sqrt{(2.7 \times 10^5 \, N)^2 + (3.6 \times 10^5 \, N)^2} = 4.5 \times 10^5 \, N. \nonumber \]
O ângulo é dado por\[ \theta = tan^{-1} \left(\dfrac{F_y}{F_x} \right) \nonumber \]
\[ \theta = tan^{-1} \left( \dfrac{3.6 \times 10^5 \, N}{2.7 \times 10^5 \, N} \right) = 53^o, \nonumber \]
que sabemos, por causa da primeira lei de Newton, é a mesma direção da aceleração. \(F_D\)está na direção oposta de\(F_{app} \), pois age para diminuir a aceleração. Portanto, a força externa líquida está na mesma direção que\(F_{app} \), mas sua magnitude é um pouco menor que\(F_{app} \). O problema agora é unidimensional. Na Figura (b), podemos ver que
\[F_{net} = F_{app} - F_D. \nonumber \]Mas a segunda lei de Newton afirma que\[ F_{net} = ma \nonumber \]
Assim,\[ F_{app} - F_D = ma \nonumber \]
Isso pode ser resolvido pela magnitude da força de arrasto da água\(F_D\) em termos de quantidades conhecidas:\[ F_D = F_{app} - ma \nonumber \] Substituir valores conhecidos fornece\[ F_D = (4.5 \times 10^5 \, N) - (5.0 \times 10^6 \, kg)(7.5 \times 10^{-2} \, m/s^2) = 7.5 \times 10^4 \, N \nonumber \]
A direção de\(F_D\) já foi determinada como sendo na direção oposta\(F_{app} \) ou em um ângulo de\(53^o\) sul ou oeste.
Discussão
Os números usados neste exemplo são razoáveis para uma barcaça moderadamente grande. Certamente é difícil obter acelerações maiores com rebocadores, e pequenas velocidades são desejáveis para evitar que a barcaça caia entre as docas. O arrasto é relativamente pequeno para um casco bem projetado em baixas velocidades, consistente com a resposta a este exemplo, onde\(F_D\) é menos de 1/600 do peso do navio.
No exemplo anterior de um equilibrista, observamos que as tensões nos fios que sustentavam uma massa eram iguais apenas porque os ângulos de cada lado eram iguais. Considere o exemplo a seguir, em que os ângulos não são iguais; um pouco mais de trigonometria está envolvida.
Exemplo\(\PageIndex{2}\): Different Tensions at Different Angles
Considere o semáforo (massa 15,0 kg) suspenso por dois fios, conforme mostrado na Figura. Encontre a tensão em cada fio, negligenciando as massas dos fios.

Estratégia
O sistema de interesse é o semáforo, e seu diagrama de corpo livre é mostrado na Figura (c). As três forças envolvidas não são paralelas e, portanto, devem ser projetadas em um sistema de coordenadas. O sistema de coordenadas mais conveniente tem um eixo vertical e um horizontal, e as projeções vetoriais nele são mostradas na parte (d) da figura. Há duas incógnitas neste problema (\(T_1\)e T_2\)), então duas equações são necessárias para encontrá-las. Essas duas equações vêm da aplicação da segunda lei de Newton ao longo dos eixos vertical e horizontal, observando que a força externa líquida é zero ao longo de cada eixo porque a aceleração é zero.
Solução
Primeiro, considere o eixo horizontal ou o eixo x:\[F_{net \, x} = T_{2x} - T_{1x} = 0. \nonumber \]
Assim, como você poderia esperar,\[T_{1x} = T{2x} \nonumber \]
Isso nos dá a seguinte relação entre\(T_1\) e\(T_2\):\[T_1 \, cos \, 30^o = T_2 \, cos\space 45^o \nonumber \]
Assim,\[ T_2 = (1.225)T_1. \nonumber \]
Observe que\( T_1 \) e não\(T_2\) são iguais nesse caso, porque os ângulos em ambos os lados não são iguais. É razoável que\(T_2\) acabe sendo maior do que\(T_1\), porque é exercido mais verticalmente do que\(T_1\).
Agora, considere os componentes de força ao longo do eixo vertical ou y:
\[ F_{net \, y} = T_{1y} +T_{2y} - w= 0 \nonumber \]
Isso implica\[ T_{1y} +T_{2y} = w \nonumber \]
Substituir as expressões pelos componentes verticais dá\[ T_1 \, sin \, (30^o) + T_2 \, sin \, (45^o) = w. \nonumber \]
Existem duas incógnitas nessa equação, mas substituir a expressão por\(T_2\) em termos de\(T_1\) reduz isso a uma equação por uma desconhecida:
\[T_1(0.500) + (1.225T_1)(0.707) = w = mg \nonumber \]
que rende\[ (1.366)T_1 = (15.0 \, kg)(9.80 \, m/s^2). \nonumber \]
Resolver esta última equação dá a magnitude\(T_1\) de ser\[ T_1 = 108 \, N. \nonumber \]
Finalmente, a magnitude de\(T_2\) é determinada usando a relação entre eles,\(T_2= 1.225 T_1 \) encontrada acima. Assim, obtemos
\[ T_2 = 132 \, N. \nonumber \]
Discussão
Ambas as tensões seriam maiores se os dois fios fossem mais horizontais e seriam iguais se e somente se os ângulos de cada lado fossem os mesmos (como eram no exemplo anterior de um andador de corda bamba).
A balança de banheiro é um excelente exemplo de uma força normal atuando em um corpo. Ele fornece uma leitura quantitativa de quanto ele deve empurrar para cima para suportar o peso de um objeto. Mas você consegue prever o que veria no mostrador de uma balança de banheiro se estivesse sobre ela durante uma viagem de elevador? Você verá um valor maior do que seu peso quando o elevador for ligado? E quando o elevador se move para cima a uma velocidade constante: a balança ainda lerá mais do que seu peso em repouso? Considere o exemplo a seguir.
Exemplo\(\PageIndex{3}\): What does the Bathroom Scale Read in an Elevator?
A figura mostra um homem de 75,0 kg (peso de cerca de 165 libras) parado em uma balança de banheiro em um elevador. Calcule a leitura da escala: (a) se o elevador acelerar para cima a uma taxa de\(1.20 m/s^2 \) e (b) se o elevador se mover para cima a uma velocidade constante de 1 m/s.

Estratégia
Se a escala for precisa, sua leitura será igual\(F_p\) à magnitude da força que a pessoa exerce sobre ela. A Figura (a) mostra as inúmeras forças que atuam no elevador, na balança e na pessoa. Isso faz com que esse problema unidimensional pareça muito mais formidável do que se a pessoa fosse escolhida para ser o sistema de interesse e um diagrama de corpo livre fosse desenhado como na Figura (b). A análise do diagrama de corpo livre usando as leis de Newton pode produzir respostas para as partes (a) e (b) desse exemplo, bem como para algumas outras questões que possam surgir. As únicas forças que atuam sobre a pessoa são seu peso\(w\) e a força ascendente da balança.\(F_s.\) De acordo com a terceira lei\(F_p\) de Newton,\(F_s\) são iguais em magnitude e direção oposta, então precisamos encontrar\(F_s\) para encontrar o que a balança diz. Podemos fazer isso, como sempre, aplicando a segunda lei de Newton,
\[F_{net} = ma \nonumber \]
A partir do diagrama de corpo livre, vemos\(F_{net} = F_s - w, \) isso para que\[ F_s - w = ma. \nonumber \]
Resolver para\(F_s\) dá uma equação com apenas uma incógnita:\[ F_s = ma + w, \nonumber \]
ou, porque\(w = mg \), simplesmente\[ F_s = ma + mg. \nonumber \]
Nenhuma suposição foi feita sobre a aceleração e, portanto, essa solução deve ser válida para uma variedade de acelerações, além das deste exercício.
Solução para (a)
Nesta parte do problema,\(a = 1.20 m/s^2\), de modo que
\[ F_s = (75.0 \, kg)(1.20 \, m/s^2) + (75.0 \, kg)(9.80 \, m/s^2), \nonumber \]
produzindo\[ F_s = 825 \, N. \nonumber \]
Discussão para (a)
Isso é cerca de 185 libras. O que a balança teria lido se ele estivesse parado? Como sua aceleração seria zero, a força da balança seria igual ao seu peso:
\[ F_{net} = ma = 0 = F_s - w\nonumber \]
\[ F_s = w = mg \nonumber \]
\[F_s = (75.0 \, kg)(9.80 \, m/s^2) \nonumber \]
\[F_s = 735 \, N. \nonumber \]
Portanto, a leitura da balança no elevador é maior do que seu peso de 735 N (165 lb). Isso significa que a balança está empurrando a pessoa com uma força maior que seu peso, como deveria, para acelerá-la para cima. Claramente, quanto maior a aceleração do elevador, maior a leitura da escala, consistente com o que você sente em elevadores acelerando rapidamente versus acelerando lentamente.
Solução para (b)
Agora, o que acontece quando o elevador atinge uma velocidade ascendente constante? A balança ainda lerá mais do que seu peso? Para qualquer velocidade constante — para cima, para baixo ou estacionária — a aceleração é zero porque\(a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \)\(\Delta v = 0 \) e.
Assim,\[F_s = ma + mg = 0 + mg. \nonumber \]
Agora\[ F_s = (75.0 \, kg)(9.80 \, m/s^2), \nonumber \]
que dá\[ F_s = 735 \, N. \nonumber \]
Discussão para (b)
A leitura da balança é 735 N, o que equivale ao peso da pessoa. Esse será o caso sempre que o elevador tiver uma velocidade constante — subindo, descendo ou parado.
A solução para o exemplo anterior também se aplica a um elevador acelerando para baixo, conforme mencionado. Quando um elevador acelera para baixo,\(a\) é negativo e a leitura da balança é menor que o peso da pessoa, até que uma velocidade descendente constante seja atingida, momento em que a leitura da balança novamente se torna igual ao peso da pessoa. Se o elevador estiver em queda livre e acelerando para baixo\(g\), a leitura da balança será zero e a pessoa parecerá estar sem peso.
Integrando conceitos: as leis do movimento e da cinemática de Newton
A física é mais interessante e poderosa quando aplicada a situações gerais que envolvem mais do que um conjunto restrito de princípios físicos. As leis do movimento de Newton também podem ser integradas a outros conceitos que foram discutidos anteriormente neste texto para resolver problemas de movimento. Por exemplo, forças produzem acelerações, um tópico de cinemática e, portanto, a relevância dos capítulos anteriores. Ao abordar problemas que envolvem vários tipos de forças, aceleração, velocidade e/ou posição, use as seguintes etapas para abordar o problema:
Estratégia de resolução de problemas
Etapa 1. Identifique quais princípios físicos estão envolvidos. Listar os dados fornecidos e as quantidades a serem calculadas permitirá que você identifique os princípios envolvidos.
Etapa 2. Resolva o problema usando as estratégias descritas no texto. Se eles estiverem disponíveis para o tópico específico, você deve consultá-los. Você também deve consultar as seções do texto que tratam de um tópico específico. O exemplo prático a seguir ilustra como essas estratégias são aplicadas a um problema de conceito integrado.
Exemplo\(\PageIndex{4}\): What Force Must a Soccer Player Exert to Reach Top Speed?
Um jogador de futebol começa do repouso e acelera para frente, atingindo uma velocidade de 8,00 m/s em 2,50 s. (a) Qual foi sua aceleração média? (b) Que força média ele exerceu para trás no solo para alcançar essa aceleração? A massa do jogador é de 70,0 kg e a resistência do ar é insignificante.
Estratégia
- Para resolver um problema de conceito integrado, devemos primeiro identificar os princípios físicos envolvidos e identificar os capítulos nos quais eles se encontram. A parte (a) deste exemplo considera a aceleração ao longo de uma linha reta. Esse é um tópico de cinemática. A parte (b) trata da força, um tópico de dinâmica encontrado neste capítulo.
- As soluções a seguir para cada parte do exemplo ilustram como as estratégias específicas de solução de problemas são aplicadas. Isso envolve identificar conhecidos e incógnitos, verificar se a resposta é razoável e assim por diante.
Solução para (a)
Recebemos as velocidades inicial e final (zero e 8,00 m/s para frente); portanto, a mudança na velocidade é\(\Delta v = 8.00 \, m/s \). Nós recebemos o tempo decorrido, e assim por diante\(\Delta t = 2.50 \, s\). O desconhecido é a aceleração, que pode ser encontrada em sua definição:
\[ a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}. \nonumber \]
Substituir os valores conhecidos produz\[ a = \dfrac{8.00 \, m/s}{2.50 \, s} = 3.20 \, m/s^2 \nonumber \]
Discussão para (a)
Esta é uma aceleração alcançável para um atleta em boas condições.
Solução para (b)
Aqui, somos solicitados a encontrar a força média que o jogador exerce para trás para alcançar essa aceleração para frente. Negligenciando a resistência do ar, isso seria igual em magnitude à força externa líquida sobre o jogador, pois essa força causa sua aceleração. Como agora conhecemos a aceleração do jogador e recebemos sua massa, podemos usar a segunda lei de Newton para encontrar a força exercida. Ou seja,
\[ F_{net} = ma\nonumber \]
Substituindo os valores conhecidos de\(m\) e\(a\) dá
\[ F_{net} = (70 \, kg)(3.2 \, m/s^2) = 224 \, N. \nonumber \]
Discussão para (b)
Isso é cerca de 50 libras, uma força média razoável.
Este exemplo prático ilustra como aplicar estratégias de resolução de problemas a situações que incluem tópicos de diferentes capítulos. O primeiro passo é identificar os princípios físicos envolvidos no problema. O segundo passo é resolver o desconhecido usando estratégias familiares de resolução de problemas. Essas estratégias são encontradas em todo o texto, e muitos exemplos úteis mostram como usá-las para tópicos individuais. Você encontrará essas técnicas para problemas de conceito integrados úteis em aplicações da física fora de um curso de física, como em sua profissão, em outras disciplinas científicas e na vida cotidiana. Os problemas a seguir desenvolverão suas habilidades na ampla aplicação dos princípios físicos.
Resumo
- As leis do movimento de Newton podem ser aplicadas em várias situações para resolver problemas de movimento.
- Alguns problemas conterão vários vetores de força atuando em direções diferentes em um objeto. Certifique-se de desenhar diagramas, resolver todos os vetores de força em componentes horizontais e verticais e desenhar um diagrama de corpo livre. Sempre analise a direção na qual um objeto acelera para que você possa determinar se\(F_{net} = ma\) ou\(F_{net} = 0 \).
- A força normal em um objeto nem sempre é igual em magnitude ao peso do objeto. Se um objeto estiver acelerando, a força normal será menor ou maior que o peso do objeto. Além disso, se o objeto estiver em um plano inclinado, a força normal sempre será menor que o peso total do objeto.
- Alguns problemas conterão várias grandezas físicas, como forças, aceleração, velocidade ou posição. Você pode aplicar conceitos de cinemática e dinâmica para resolver esses problemas de movimento.