8.E: Momento linear e colisões (exercícios)
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Perguntas conceituais
8.1: Momento e força lineares
1. Um objeto que tem uma massa pequena e um objeto que tem uma massa grande têm o mesmo momento. Qual objeto tem a maior energia cinética?
2. Um objeto que tem uma massa pequena e um objeto que tem uma massa grande têm a mesma energia cinética. Qual massa tem o maior impulso?
3. Aplicação profissional
4. Os treinadores de futebol aconselham os jogadores a bloquear, bater e atacar com os pés no chão, em vez de pular pelo ar. Usando os conceitos de impulso, trabalho e energia, explique como um jogador de futebol pode ser mais eficaz com os pés no chão.
5. Como uma força pequena pode transmitir a um objeto o mesmo impulso que uma força grande?
8.2: Impulso
6. Aplicação profissional
Explique em termos de impulso como o preenchimento reduz as forças em uma colisão. Diga isso em termos de um exemplo real, como as vantagens de um piso com carpete versus piso de cerâmica para uma creche.
7. Ao pular em um trampolim, às vezes você pousa de costas e outras vezes de pé. Nesse caso, você pode atingir uma altura maior e por quê?
8. Aplicação profissional
As raquetes de tênis têm “pontos ideais”. Se a bola atingir um ponto ideal, o braço do jogador não será sacudido tanto quanto seria de outra forma. Explique por que esse é o caso.
8.3: Conservação do Momentum
9. Aplicação profissional
Se você mergulhar na água, alcançará profundidades maiores do que se fizesse um flop de barriga. Explique essa diferença em profundidade usando o conceito de conservação de energia. Explique essa diferença em profundidade usando o que você aprendeu neste capítulo.
10. Em que circunstâncias o momentum é conservado?
11. O momentum pode ser conservado para um sistema se houver forças externas atuando no sistema? Em caso afirmativo, sob quais condições? Se não, por que não?
12. O ímpeto de um sistema pode ser conservado em uma direção, sem ser conservado em outra. Qual é o ângulo entre as direções? Dê um exemplo.
13. Aplicação profissional
Explique em termos de momentum e das leis de Newton como a resistência do ar de um carro se deve em parte ao fato de ele empurrar o ar em sua direção de movimento.
14. Objetos em um sistema podem ter impulso enquanto o momento do sistema é zero? Explique sua resposta.
15. A energia total de um sistema deve ser conservada sempre que seu momentum é conservado? Explique por que ou por que não.
8.4: Colisões elásticas em uma dimensão
16. O que é uma colisão elástica?
8.5: Colisões inelásticas em uma dimensão
17. O que é uma colisão inelástica? O que é uma colisão perfeitamente inelástica?
18. Patinadores de gelo de pares mistos que se apresentam em um show estão imóveis à distância dos braços pouco antes de iniciar uma rotina. Eles estendem a mão, apertam as mãos e se recompõem usando apenas os braços. Supondo que não haja atrito entre as lâminas de seus patins e o gelo, qual é a velocidade deles após o encontro de seus corpos?
19. Uma pequena caminhonete que tem uma carcaça de trailer caminha lentamente em direção a um sinal vermelho com atrito insignificante. Dois cães na traseira do caminhão estão se movendo e fazendo várias colisões inelásticas entre si e com as paredes. Qual é o efeito dos cães no movimento do centro de massa do sistema (caminhão mais toda a carga)? Qual é o efeito deles no movimento do caminhão?
8.6: Colisões de massas pontuais em duas dimensões
19. A figura mostra um cubo em repouso e um pequeno objeto indo em sua direção. (a) Descreva as direções (ângulo\(\displaystyle θ_1\)) nas quais o objeto pequeno pode emergir após colidir elasticamente com o cubo. Como\(\displaystyle θ_1\) depende\(\displaystyle b\) do chamado parâmetro de impacto? Ignore quaisquer efeitos que possam ser causados pela rotação após a colisão e suponha que o cubo seja muito mais massivo do que o objeto pequeno. (b) Responda às mesmas perguntas se o objeto pequeno colidir com uma esfera massiva.
Um objeto pequeno se aproxima de uma colisão com um cubo muito mais massivo, após o qual sua velocidade tem a direção\(\displaystyle θ_1\). Os ângulos nos quais o objeto pequeno pode ser espalhado são determinados pela forma do objeto que ele atinge e pelo parâmetro de impacto\(\displaystyle b\).
8.7: Introdução à propulsão de foguetes
20. Aplicação profissional
Suponha que um projétil de fogos de artifício exploda, quebrando em três pedaços grandes para os quais a resistência do ar é insignificante Como o movimento do centro de massa é afetado pela explosão? Como isso seria afetado se as peças experimentassem significativamente mais resistência ao ar do que a casca intacta?
21. Aplicação profissional
Durante uma visita à Estação Espacial Internacional, um astronauta foi posicionado imóvel no centro da estação, fora do alcance de qualquer objeto sólido sobre o qual ele pudesse exercer uma força. Sugira um método pelo qual ele possa se afastar dessa posição e explique a física envolvida.
22. Aplicação profissional
É possível que a velocidade de um foguete seja maior do que a velocidade de exaustão dos gases que ele ejeta. Quando esse é o caso, a velocidade e o momento do gás estão na mesma direção do foguete. Como o foguete ainda é capaz de obter empuxo ejetando os gases?
Problemas e exercícios
8.1: Momento e força lineares
23. (a) Calcule o momento de um elefante de 2000 kg carregando um caçador a uma velocidade de 7,50 m/s tamanho 12 {7 “.” “50"``"m/s"} {}.
(b) Compare o impulso do elefante com o impulso de um dardo tranquilizante de 0,0400 kg disparado a uma velocidade de 600 m/s tamanho 12 {"600"``"m/s"} {}.
(c) Qual é o impulso do caçador de 90,0 kg correndo a 7,40 m/s tamanho 12 {7 “.” “40"``"m/s"} {} depois de perder o elefante?
Solução
(a)\(\displaystyle 1.50×10^4kg⋅m/s\)
(b) 625 a 1
(c)\(\displaystyle 6.66×10^2kg⋅m/s\)
24. (a) Qual é a massa de um grande navio que tem um impulso de\(\displaystyle 1.60×10^9kg⋅m/s\), quando o navio está se movendo a uma velocidade de\(\displaystyle 48.0 km/h\)?
(b) Compare o impulso do navio com o impulso de um projétil de artilharia de 1100 kg disparado a uma velocidade de\(\displaystyle 1200 m/s\).
25. (a) A que velocidade um\(\displaystyle 2.00×10^4-kg\) avião teria que voar para ter um impulso de\(\displaystyle 1.60×10^9kg⋅m/s\) (o mesmo que o impulso do navio no problema acima)?
(b) Qual é o impulso do avião quando ele está decolando a uma velocidade de\(\displaystyle 60.0 m/s\)?
(c) Se o navio for um porta-aviões que lança esses aviões com uma catapulta, discuta as implicações de sua resposta a (b) no que se refere aos efeitos de recuo da catapulta no navio.
Solução
(a)\(\displaystyle 8.00×10^4m/s\)
(b)\(\displaystyle 1.20×10^6kg⋅m/s\)
(c) Como o impulso do avião é 3 ordens de magnitude menor do que o do navio, o navio não recuará muito. O recuo seria\(\displaystyle −0.0100 m/s\), o que provavelmente não é perceptível.
26. (a) Qual é o impulso de um caminhão de lixo que está\(\displaystyle 1.20×10^4kg\) e está se movendo\(\displaystyle 10.0 m/s\)
(b) A que velocidade uma lixeira de 8,00 kg teria o mesmo impulso do caminhão?
27. Um vagão de trem descontrolado com uma massa de 15.000 kg viaja a uma velocidade de\(\displaystyle 5.4 m/s\) descer uma pista. Calcule o tempo necessário para uma força de 1500 N colocar o carro em repouso.
Solução
54 s
28. A massa da Terra é\(\displaystyle 5.972×10^{24}kg\) e seu raio orbital é uma média de\(\displaystyle 1.496×10^{11}m\). Calcule seu momento linear.
8.2: Impulso
29. Uma bala é acelerada pelo cano de uma arma por gases quentes produzidos na combustão da pólvora. Qual é a força média exercida em uma bala de 0,0300 kg para acelerá-la a uma velocidade de 600 m/s em um tempo de 2,00 ms (milissegundos)?
Solução
\(\displaystyle 9.00×10^3N\)
30. Aplicação profissional
Um carro que se move a 10 m/s bate em uma árvore e para em 0,26 s. Calcule a força que o cinto de segurança exerce sobre um passageiro no carro para pará-lo. A massa do passageiro é de 70 kg.
31. Uma pessoa dá um tapa na perna com a mão, fazendo com que a mão descanse em 2,50 milissegundos a partir de uma velocidade inicial de 4,00 m/s.
(a) Qual é a força média exercida na perna, considerando que a massa efetiva da mão e do antebraço seja de 1,50 kg?
(b) A força seria diferente se a mulher batesse palmas na mesma velocidade e as fizesse descansar ao mesmo tempo? Explique por que ou por que não.
Solução
a)\(\displaystyle 2.40×10^3N\) em direção à perna
b) A força em cada mão teria a mesma magnitude encontrada na parte (a) (mas em direções opostas pela terceira lei de Newton) porque a mudança no momento e no intervalo de tempo são os mesmos.
32. Aplicação profissional
Um boxeador profissional atinge seu oponente com um golpe horizontal de 1000-N que dura 0,150 s.
(a) Calcule o impulso transmitido por esse golpe.
(b) Qual é a velocidade final do oponente, se sua massa é de 105 kg e ele está imóvel no ar quando atingido perto de seu centro de massa?
(c) Calcule a velocidade de recuo da cabeça de 10,0 kg do oponente se for atingida dessa maneira, supondo que a cabeça não transfira inicialmente um impulso significativo para o corpo do boxeador.
(d) Discuta as implicações de suas respostas para as partes (b) e (c).
33. Aplicação profissional
Suponha que uma criança dirija um carro de choque de cabeça para o trilho lateral, o que exerce uma força de 4000 N no carro por 0,200 s.
(a) Que impulso é transmitido por essa força?
(b) Encontre a velocidade final do carro para-choque se sua velocidade inicial for de 2,80 m/s e o carro mais o motorista tiverem uma massa de 200 kg. Você pode negligenciar o atrito entre o carro e o chão.
Solução
a)\(\displaystyle 800 kg⋅m/s\) longe da parede
b)\(\displaystyle 1.20 m/s\) longe da parede
34. Aplicação profissional
Um perigo das viagens espaciais são os detritos deixados por missões anteriores. Existem vários milhares de objetos orbitando a Terra que são grandes o suficiente para serem detectados por radar, mas há um número muito maior de objetos muito pequenos, como flocos de tinta. Calcule a força exercida por uma lasca de tinta de 0,100 mg que atinge a janela de uma espaçonave a uma velocidade relativa de\(\displaystyle 4.00×10^3m/s\), desde que a colisão dure\(\displaystyle 6.00×10^{–8}s\).
35. Aplicação profissional
Uma pessoa de 75,0 kg está andando em um carro movendo-se a 20,0 m/s quando o carro bate em um pilar da ponte.
(a) Calcule a força média da pessoa se ela for parada por um painel acolchoado que comprime uma média de 1,00 cm.
(b) Calcule a força média da pessoa se ela for parada por um airbag que comprime em média 15,0 cm.
Solução
(a)\(\displaystyle 1.50×10^6N\) longe do painel
(b)\(\displaystyle 1.00×10^5N\) longe do painel
36. Aplicação profissional
Os rifles militares têm um mecanismo para reduzir as forças de recuo da arma sobre a pessoa que a dispara. Uma peça interna recua por uma distância relativamente grande e é interrompida por mecanismos de amortecimento na pistola. A distância maior reduz a força média necessária para parar a peça interna.
(a) Calcule a velocidade de recuo de um êmbolo de 1,00 kg que interage diretamente com uma bala de 0,0200 kg disparada a 600 m/s do canhão.
(b) Se esta peça for parada a uma distância de 20,0 cm, qual força média é exercida sobre ela pelo canhão?
(c) Compare isso com a força exercida na arma se a bala for acelerada até sua velocidade em 10,0 ms (milissegundos).
37. Um navio de cruzeiro com uma massa de\(\displaystyle 1.00×10^7kg\) atinge um píer a uma velocidade de 0,750 m/s e descansa 6,00 m depois, prejudicando o navio, o píer e as finanças do capitão do rebocador. Calcule a força média exercida no píer usando o conceito de impulso. (Dica: primeiro calcule o tempo necessário para fazer o navio descansar.)
Solução
\(\displaystyle 4.69×10^5N\) na direção original do movimento do barco
38. Calcule a velocidade final de um jogador de rúgbi de 110 kg que está correndo inicialmente a 8,00 m/s, mas colide de frente com um poste acolchoado e experimenta uma força de retrocesso de\(\displaystyle 1.76×10^4N\) for\(\displaystyle 5.50×10^{–2}s\).
39. A água de uma mangueira de incêndio é direcionada horizontalmente contra uma parede a uma taxa de 50,0 kg/s e uma velocidade de 42,0 m/s. Calcule a magnitude da força exercida na parede, assumindo que o momento horizontal da água seja reduzido a zero.
Solução
\(\displaystyle 2.10×10^3N\) longe da parede
40. Um martelo de 0,450 kg está se movendo horizontalmente a 7,00 m/s quando atinge um prego e descansa depois de enfiar o prego de 1,00 cm em uma prancha.
(a) Calcule a duração do impacto.
(b) Qual foi a força média exercida na unha?
41. Começando com as definições de momento e energia cinética, derive uma equação para a energia cinética de uma partícula expressa em função de seu momento.
Solução
\(\displaystyle p=mv⇒p^2=m^2v^2⇒\frac{p^2}{m}=mv^2\) ⇒\(\displaystyle \frac{p^2}{2m}=\frac{1}{2}mv^2=KE\)
\(\displaystyle KE=\frac{p^2}{2m}\)
42. Uma bola com uma velocidade inicial de 10 m/s se move em um ângulo\(\displaystyle 60º\) acima da\(\displaystyle +x\) direção. A bola atinge uma parede vertical e salta para se mover\(\displaystyle 60º\) acima da\(\displaystyle −x\) direção com a mesma velocidade. Qual é o impulso transmitido pela parede?
43. Ao servir uma bola de tênis, um jogador bate na bola quando sua velocidade é zero (no ponto mais alto de um arremesso vertical). A raquete exerce uma força de 540 N na bola por 5,00 ms, dando a ela uma velocidade final de 45,0 m/s. Usando esses dados, determine a massa da bola.
Solução
60,0 g
44. Um apostador derruba uma bola do repouso verticalmente 1 metro abaixo em seu pé. A bola sai do pé com uma velocidade de 18 m/s em um ângulo de 55º tamanho 12 {"55"°} {} acima da horizontal. Qual é o impulso dado pelo pé (magnitude e direção)?
8.3: Conservação do Momentum
45. Aplicação profissional
Os vagões de trem são acoplados ao serem esbarrados um no outro. Suponha que dois vagões carregados estejam se movendo um em direção ao outro, o primeiro com uma massa de 150.000 kg e uma velocidade de 0,300 m/s, e o segundo com uma massa de 110.000 kg e uma velocidade de\(\displaystyle −0.120 m/s\). (O sinal de menos indica a direção do movimento.) Qual é a velocidade final deles?
Solução
0,122 m/s
46. Suponha que um modelo de argila de um coala tenha uma massa de 0,200 kg e deslize no gelo a uma velocidade de 0,750 m/s. Ele se depara com outro modelo de argila, que inicialmente está imóvel e tem uma massa de 0,350 kg. Ambos sendo de argila macia, eles naturalmente se unem. Qual é a velocidade final deles?
47. Aplicação profissional
Considere a seguinte pergunta: Um carro que se move a 10 m/s bate em uma árvore e para em 0,26 s. Calcule a força que o cinto de segurança exerce sobre um passageiro no carro para pará-lo. A massa do passageiro é de 70 kg. A resposta a essa pergunta seria diferente se o carro com o passageiro de 70 kg tivesse colidido com um carro que tem uma massa igual e está viajando na direção oposta e na mesma velocidade? Explique sua resposta.
Solução
Em uma colisão com um carro idêntico, o impulso é conservado. Depois,\(\displaystyle v_f=0\) para os dois carros. A mudança no momentum será a mesma do acidente com a árvore. No entanto, a força no corpo não é determinada, pois a hora não é conhecida. Um batente acolchoado reduzirá a força prejudicial no corpo.
48. Qual é a velocidade de um carro de 900 kg se movendo inicialmente a 30,0 m/s, logo após atingir um cervo de 150 kg correndo inicialmente a 12,0 m/s na mesma direção? Suponha que o veado permaneça no carro.
49. Um falcão de 1,80 kg pega uma pomba de 0,650 kg por trás no ar. Qual é a velocidade deles após o impacto se a velocidade do falcão for inicialmente 28,0 m/s e a velocidade da pomba for 7,00 m/s na mesma direção?
Solução
22,4 m/s na mesma direção do movimento original
8.4: Colisões elásticas em uma dimensão
50. Dois objetos idênticos (como bolas de bilhar) têm uma colisão unidimensional na qual um está inicialmente imóvel. Após a colisão, o objeto em movimento fica parado e o outro se move com a mesma velocidade que o outro tinha originalmente. Mostre que tanto o momento quanto a energia cinética são conservados.
51. Aplicação profissional
Dois satélites tripulados se aproximam a uma velocidade relativa de 0,250 m/s, com a intenção de atracar. O primeiro tem uma massa de\(\displaystyle 4.00×10^3kg\), e o segundo uma massa de\(\displaystyle 7.50×10^3kg\). Se os dois satélites colidirem elasticamente em vez de se acoplarem, qual é sua velocidade relativa final?
Solução
0,250 m/s
52. Um goleiro de hóquei no gelo de 70,0 kg, originalmente em repouso, pega um disco de hóquei de 0,150 kg que lhe deu um tapa a uma velocidade de 35,0 m/s. Suponha que o goleiro e o disco de gelo tenham uma colisão elástica e o disco seja refletido de volta na direção de onde veio. Quais seriam suas velocidades finais nesse caso?
8.5: Colisões inelásticas em uma dimensão
53. Uma bola de bilhar de 0,240 kg que se move a 3,00 m/s atinge o para-choque de uma mesa de sinuca e salta para trás a 2,40 m/s (80% de sua velocidade original). A colisão dura 0,0150 s.
(a) Calcule a força média exercida sobre a bola pelo para-choque.
(b) Quanta energia cinética em joules é perdida durante a colisão?
(c) Qual a porcentagem da energia original restante?
Solução
(a) 86,4 N perpendicularmente afastada do pára-choque
(b) 0,389 J
(c) 64,0%
54. Durante um show no gelo, um patinador de 60,0 kg salta para o ar e é pego por um patinador inicialmente estacionário de 75,0 kg.
(a) Qual é a velocidade final deles assumindo atrito insignificante e que a velocidade horizontal original do patinador de 60,0 kg é de 4,00 m/s?
(b) Quanta energia cinética é perdida?
55. Aplicação profissional
Usando dados de massa e velocidade de [link] e assumindo que o jogador de futebol pega a bola com os pés do chão com os dois se movendo horizontalmente, calcule:
(a) a velocidade final se a bola e o jogador estiverem indo na mesma direção e
(b) a perda de energia cinética neste caso.
(c) Repita as partes (a) e (b) para a situação em que a bola e o jogador estão indo em direções opostas. A perda de energia cinética pode estar relacionada ao quanto dói pegar o passe?
Solução
(a) 8,06 m/s
(b) -56,0 J
(c) (i) 7,88 m/s; (ii) -223 J
56. Um navio de guerra que está\(\displaystyle 6.00×10^7kg\) e está originalmente em repouso dispara horizontalmente um projétil de artilharia de 1100 kg com uma velocidade de 575 m/s.
(a) Se o projétil for disparado diretamente para trás (em direção à parte traseira do navio), haverá atrito insignificante em oposição ao recuo do navio. Calcule sua velocidade de recuo.
(b) Calcule o aumento da energia cinética interna (ou seja, para o navio e o projétil). Essa energia é menor do que a energia liberada pela pólvora da pistola — ocorre uma transferência significativa de calor.
57. Aplicação profissional
Dois satélites tripulados se aproximando, a uma velocidade relativa de 0,250 m/s, com a intenção de atracar. O primeiro tem uma massa de\(\displaystyle 4.00×10^3kg\), e o segundo uma massa de\(\displaystyle 7.50×10^3kg\).
(a) Calcule a velocidade final (após o encaixe) usando o quadro de referência no qual o primeiro satélite estava originalmente em repouso.
(b) Qual é a perda de energia cinética nessa colisão inelástica?
(c) Repita as duas partes usando o quadro de referência no qual o segundo satélite estava originalmente em repouso. Explique por que a mudança na velocidade é diferente nos dois quadros, enquanto a mudança na energia cinética é a mesma em ambos.
Solução
(a) 0,163 m/s na direção do movimento do satélite mais massivo
(b) 81,6 J
(c)\(\displaystyle 8.70×10^{−2}m/s\) na direção do movimento do satélite menos massivo, 81,5 J. Como não há forças externas, a velocidade do centro de massa do o sistema de dois satélites permanece inalterado pela colisão. As duas velocidades calculadas acima são a velocidade do centro de massa em cada um dos dois diferentes quadros de referência individuais. A perda em KE é a mesma em ambos os quadros de referência porque o KE perdido por forças internas (calor, atrito, etc.) é o mesmo, independentemente do sistema de coordenadas escolhido.
58. Aplicação profissional
Um vagão de carga de 30.000 kg está rodando a 0,850 m/s com atrito insignificante sob uma tremonha que despeja 110.000 kg de sucata metálica nele.
(a) Qual é a velocidade final do vagão de carga carregado?
(b) Quanta energia cinética é perdida?
59. Aplicação profissional
As sondas espaciais podem ser separadas de seus lançadores por meio de parafusos explosivos. (Eles fogem um do outro.) Suponha que um satélite de 4800 kg use esse método para se separar dos restos de 1500 kg de seu lançador e que 5000 J de energia cinética sejam fornecidos às duas partes. Quais são suas velocidades subsequentes usando o quadro de referência em que estavam em repouso antes da separação?
Solução
0,704 m/s
—2,25 m/s
60. Uma bala de 0,0250 kg é acelerada do repouso até uma velocidade de 550 m/s em um rifle de 3,00 kg. A dor do chute do rifle é muito pior se você segurar a arma solta a alguns centímetros do ombro, em vez de segurá-la firmemente contra o ombro.
(a) Calcule a velocidade de recuo do rifle se ele for mantido frouxamente longe do ombro.
(b) Quanta energia cinética o rifle ganha?
(c) Qual é a velocidade de recuo se o rifle for segurado firmemente contra o ombro, fazendo com que a massa efetiva seja de 28,0 kg?
(d) Quanta energia cinética é transferida para a combinação rifle e ombro? A dor está relacionada à quantidade de energia cinética, que é significativamente menor nessa última situação.
(e) Calcule o impulso de um jogador de futebol de 110 kg correndo a 8,00 m/s. Compare o impulso do jogador com o impulso de uma bola de futebol de 0,410 kg com arremesso duro que tem uma velocidade de 25,0 m/s. Discuta sua relação com esse problema.
Solução
(a) a 4,58 m/s de distância da bala
(b) 31,5 J
(c) —0,491 m/s
(d) 3,38 J
61. Aplicação profissional
Um dos resíduos de um reator nuclear é o plutônio-239 (\(\displaystyle ^{239}Pu\)). Esse núcleo é radioativo e decai ao se dividir em um núcleo de hélio-4 e um núcleo de urânio-235 (\(\displaystyle ^4He+^{235}U\)), o último dos quais também é radioativo e se decompõe algum tempo depois. A energia emitida no decaimento do plutônio é (8,40×10^ {—13} J\) e é totalmente convertida em energia cinética dos núcleos de hélio e urânio. A massa do núcleo de hélio é\(\displaystyle 6.68×10^{–27}kg\), enquanto a do urânio é\(\displaystyle 3.92×10^{–25}kg\) (observe que a proporção das massas é de 4 a 235).
(a) Calcule as velocidades dos dois núcleos, supondo que o núcleo de plutônio esteja originalmente em repouso.
(b) Quanta energia cinética cada núcleo carrega? Observe que os dados fornecidos aqui têm precisão de apenas três dígitos.
62. Aplicação profissional
As crateras da Lua são resquícios de colisões de meteoritos. Suponha que um asteroide bastante grande com uma massa de\ (\ displaystyle 5.00×10^ {12} kg\ (\ displaystyle com cerca de um quilômetro de diâmetro) atinja a Lua a uma velocidade de 15,0 km/s.
(a) A que velocidade a Lua recua após a colisão perfeitamente inelástica (a massa da Lua é\(\displaystyle 7.36×10^{22}kg\))?
(b) Quanta energia cinética é perdida na colisão? Esse evento pode ter sido observado por monges ingleses medievais que relataram ter observado um brilho vermelho e subsequente neblina sobre a Lua.
(c) Em outubro de 2009, a NASA colidiu com um foguete na Lua e analisou a pluma produzida pelo impacto. (Foram detectadas quantidades significativas de água.) Responda às partes (a) e (b) para esse experimento da vida real. A massa do foguete era de 2.000 kg e sua velocidade de impacto era de 9.000 km/h. Como a pluma produzida altera esses resultados?
Solução
(a)\(\displaystyle 1.02×10^{−6}m/s\)
(b)\(\displaystyle 5.63×10^{20}J\) (quase todos os KE perdidos)
(c) A velocidade de recuo é\(\displaystyle 6.79×10^{−17}m/s\), a energia perdida é\(\displaystyle 6.25×10^9J\). A pluma não afetará o resultado do momentum porque a pluma ainda faz parte do sistema lunar. A pluma pode afetar o resultado da energia cinética porque uma parte significativa da energia cinética inicial pode ser transferida para a energia cinética das partículas da pluma.
63. Aplicação profissional
Dois jogadores de futebol colidem de frente no ar enquanto tentam pegar uma bola de futebol lançada. O primeiro jogador tem 95,0 kg e uma velocidade inicial de 6,00 m/s, enquanto o segundo jogador tem 115 kg e uma velocidade inicial de —3,50 m/s. Qual é a velocidade deles logo após o impacto se eles se agarrarem juntos?
64. Qual é a velocidade de um caminhão de lixo que está\(\displaystyle 1.20×10^4kg\) e está se movendo inicialmente a 25,0 m/s logo após bater e aderir a uma lata de lixo que tem 80,0 kg e está inicialmente em repouso?
Solução
24,8 m/s
65. Durante um ato de circo, um artista idoso emociona a multidão ao pegar uma bala de canhão disparada contra ele. A bala de canhão tem uma massa de 10,0 kg e o componente horizontal de sua velocidade é de 8,00 m/s quando o artista de 65,0 kg a pega. Se o artista usa patins quase sem atrito, qual é sua velocidade de recuo?
66. (a) Durante uma apresentação de patinação no gelo, um palhaço inicialmente imóvel de 80,0 kg joga fora uma barra falsa. Os patins de gelo do palhaço permitem que ela recue sem atrito. Se o palhaço recuar com uma velocidade de 0,500 m/s e a barra for lançada com uma velocidade de 10,0 m/s, qual é a massa da barra?
(b) Quanta energia cinética é obtida com essa manobra?
(c) De onde vem a energia cinética?
Solução
(a) 4,00 kg
(b) 210 J
(c) O palhaço trabalha para lançar a barra, então a energia cinética vem dos músculos do palhaço. Os músculos convertem a energia potencial química do ATP em energia cinética.
8.6: Colisões de massas pontuais em duas dimensões
67. Dois discos idênticos colidem em uma mesa de air hockey. Um disco estava originalmente em repouso.
(a) Se o disco de entrada tiver uma velocidade de 6,00 m/s e se espalhar em um ângulo de\(\displaystyle 30.0º\), qual é a velocidade (magnitude e direção) do segundo disco? (Você pode usar o resultado\(\displaystyle θ_1−θ_2=90º\) para colisões elásticas de objetos com massas idênticas.)
(b) Confirme se a colisão é elástica.
Solução
(a) 3,00 m/s,\(\displaystyle 60º\) abaixo do\(\displaystyle x\) eixo
-( b) Encontre a velocidade do primeiro disco após a colisão:\(\displaystyle 0=mv'_1sin30º−mv'_2sin60º⇒v'_1=v′_2\frac{sin60º}{sin30º=}5.196 m/s\)
Verifique se a razão entre o KE inicial e o final é igual a um:\(\displaystyle KE=\frac{1}{2}mv_1^2=18mJ\)
\(\displaystyle KE=\frac{1}{2}mv_{1}^{'2}+\frac{1}{2}mv_2^{'2}=18mJ\)\(\displaystyle \frac{KE}{KE'}=1.00\)
68. Confirme se os resultados do exemplo Exemplo conservam o impulso nas\(\displaystyle y\) direções\(\displaystyle x\) - e -.
69. Um canhão de 3000 kg é montado de forma que ele possa recuar somente na direção horizontal.
(a) Calcule sua velocidade de recuo ao disparar um projétil de 15,0 kg a 480 m/s em um ângulo\(\displaystyle 20.0º\) acima da horizontal.
(b) Qual é a energia cinética do canhão? Essa energia é dissipada como transferência de calor em amortecedores que impedem seu recuo.
(c) O que acontece com o componente vertical do impulso que é transmitido ao canhão quando ele é disparado?
Solução
(a)\(\displaystyle −2.26m/s\)
(b)\(\displaystyle 7.63×10^3J\)
(c) O solo exercerá uma força normal para se opor ao recuo do canhão na direção vertical. O momento na direção vertical é transferido para a terra. A energia é transferida para o solo, fazendo um entalhe onde está o canhão. Depois de longas barragens, os canhões têm uma mira irregular porque o solo está cheio de divots.
70. Aplicação profissional
Uma bola de boliche de 5,50 kg movendo-se a 9,00 m/s colide com um pino de boliche de 0,850 kg, que está espalhado em um ângulo de\(\displaystyle 85.0º\) até a direção inicial da bola de boliche e com uma velocidade de 15,0 m/s.
(a) Calcule a velocidade final (magnitude e direção) da bola de boliche.
(b) A colisão é elástica?
(c) A energia cinética linear é maior após a colisão. Discuta como o giro da bola pode ser convertido em energia cinética linear na colisão.
71. Aplicação profissional
Ernest Rutherford (o primeiro neozelandês a receber o Prêmio Nobel de Química) demonstrou que os núcleos eram muito pequenos e densos ao espalhar núcleos de hélio-4 (\(\displaystyle ^4He\)) a partir de núcleos de ouro-197 (\(\displaystyle ^{197}Au\)). A energia do núcleo de hélio de entrada era\(\displaystyle 8.00×10^{−13}J\), e as massas dos núcleos de hélio e ouro eram\(\displaystyle 6.68×10^{−27}kg\) e\(\displaystyle 3.29×10^{−25}kg\), respectivamente (observe que sua proporção de massa é de 4 a 197).
(a) Se um núcleo de hélio se espalhar em um ângulo de\(\displaystyle 120º\) durante uma colisão elástica com um núcleo dourado, calcule a velocidade final do núcleo de hélio e a velocidade final (magnitude e direção) do núcleo dourado.
(b) Qual é a energia cinética final do núcleo de hélio?
Solução
(a)\(\displaystyle 5.36×10^5m/s\) em\(\displaystyle −29.5º\)
(b)\(\displaystyle 7.52×10^{−13}J\)
72. Aplicação profissional
Dois carros colidem em um cruzamento gelado e se unem depois. O primeiro carro tem uma massa de 1200 kg e está se aproximando para\(\displaystyle 8.00m/s\) o sul. O segundo carro tem uma massa de 850 kg e está se aproximando para\(\displaystyle 17.0m/s\) oeste.
(a) Calcule a velocidade final (magnitude e direção) dos carros.
(b) Quanta energia cinética é perdida na colisão? (Essa energia entra em deformação dos carros.) Observe que, como os dois carros têm uma velocidade inicial, você não pode usar as equações para conservação do momento ao longo dos\(\displaystyle x\) eixos --e\(\displaystyle y\) -; em vez disso, você deve procurar outros aspectos simplificadores.
73. Começando com equações\(\displaystyle m_1v_1=m_1v'_1cosθ_1+m_2v'_2cosθ_2\) e\(\displaystyle 0=m_1v'_1sinθ_1+m_2v'_2sinθ_2\) para conservação do momento nas\(\displaystyle y-\) direções\(\displaystyle x-\) e e assumindo que um objeto é originalmente estacionário, prove que, para uma colisão elástica de dois objetos de massas iguais,
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}mv_1^{'2}+\frac{1}{2}mv_2^{'2}+mv'_1v'_2cos(θ_1−θ_2)\)
conforme discutido no texto.
Solução
Nós recebemos isso\(\displaystyle m_1=m_2≡m\). As equações dadas então se tornam:
\(\displaystyle v_1=v_1cosθ_1+v_2cosθ_2\)
e
\(\displaystyle 0=v'_1sinθ_1+v'_2sinθ_2.\)
Faça o quadrado de cada equação para obter
\(\displaystyle v_1^2=v_1^{'2}cos^2θ_1+v_2^{'2}cos^2θ_2+2v'_1v'_2cosθ_1cosθ_2\)
\(\displaystyle 0=v_1^{'2}sin^2θ_1+v_2^{'2}sin^2θ_2+2v'_1v'_2sinθ_1sinθ_2.\)
Adicione essas duas equações e simplifique:
\(\displaystyle v_1^2=v_1^{'2}+v_2^{'2}+2v'_1v'_2(cosθ_1cosθ_2+sinθ_1sinθ_2)\)
\(\displaystyle =v_1^{'2}+v_2^{'2}+2v'_1v'_2[\frac{1}{2}cos(θ_1−θ_2)+\frac{1}{2}cos(θ_1+θ_2)+\frac{1}{2}cos(θ_1−θ_2)−\frac{1}{2}cos(θ_1+θ_2)]\)
\(\displaystyle =v_1^{'2}+v_2^{'2}+2v'_1v'_2cos(θ_1−θ_2).\)
Multiplique toda a equação por\(\displaystyle \frac{1}{2}m\) para recuperar a energia cinética:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}mv_1^{'2}+\frac{1}{2}mv_2^{'2}+mv'_1v'_2cos(θ_1−θ_2)\)
74. Conceitos integrados
Um jogador de hóquei no gelo de 90,0 kg acerta um disco de 0,150 kg, dando ao disco uma velocidade de 45,0 m/s. Se ambos estiverem inicialmente em repouso e se o gelo estiver sem atrito, até onde o jogador recua no tempo necessário para atingir a meta a 15,0 m de distância?
8.7: Introdução à propulsão de foguetes
75. Aplicação profissional
Os mísseis antibalísticos (ABMs) são projetados para ter acelerações muito grandes para que possam interceptar mísseis de entrada em movimento rápido no curto espaço de tempo disponível. Qual é a aceleração de decolagem de um ABM de 10.000 kg que expele 196 kg de gás por segundo a uma velocidade de escape de\(\displaystyle 2.50×10^3m/s\)?
Solução
\(\displaystyle 39.2m/s^2\)
76. Aplicação profissional
Qual é a aceleração de um foguete de 5000 kg decolando da Lua, onde a aceleração devido à gravidade ocorre apenas\(\displaystyle 1.6m/s^2\) se o foguete expulsar 8,00 kg de gás por segundo a uma velocidade de escape de\(\displaystyle 2.20×10^3m/s\)?
77. Aplicação profissional
Calcule o aumento na velocidade de uma sonda espacial de 4000 kg que expele 3500 kg de sua massa a uma velocidade de escape de\(\displaystyle 2.00×10^3m/s\). Você pode assumir que a força gravitacional é insignificante na localização da sonda.
Solução
\(\displaystyle 4.16×10^3m/s\)
78. Aplicação profissional
Foguetes de propulsão iônica foram propostos para uso no espaço. Eles empregam técnicas de ionização atômica e fontes de energia nuclear para produzir velocidades de escape extremamente altas, talvez tão altas quanto\(\displaystyle 8.00×10^6m/s\). Essas técnicas permitem uma relação carga/combustível muito mais favorável. Para ilustrar esse fato:
(a) Calcule o aumento na velocidade de uma sonda espacial de 20.000 kg que expele apenas 40,0 kg de sua massa na velocidade de escape dada.
(b) Esses motores geralmente são projetados para produzir um empuxo muito pequeno por muito tempo - o tipo de motor que pode ser útil em uma viagem aos planetas externos, por exemplo. Calcule a aceleração desse motor se ele expelir\(\displaystyle 4.50×10^{−6}kg/s\) na velocidade dada, assumindo que a aceleração devido à gravidade seja insignificante.
79. Derive a equação para a aceleração vertical de um foguete.
Solução
A força necessária para dar uma pequena massa\(\displaystyle Δm\) uma aceleração\(\displaystyle a_{Δm}\) é\(\displaystyle F=Δma_{Δm}\). Para acelerar essa massa no pequeno intervalo de tempo\(\displaystyle Δt\) em uma velocidade\(\displaystyle v_e=a_{Δm}Δt\), então\(\displaystyle F=v_e\frac{Δm}{Δt}\). Pela terceira lei de Newton, essa força é igual em magnitude à força de empuxo que atua no foguete, então\(\displaystyle F_{thrust}=v_e\frac{Δm}{Δt}\), onde todas as quantidades são positivas. A aplicação da segunda lei de Newton ao foguete indica\(\displaystyle F_{thrust}−mg=ma⇒a=\frac{v_e}{m}\frac{Δm}{Δt}−g\) onde\(\displaystyle m\) está a massa do foguete e o combustível não queimado.
80. Aplicação profissional
(a) Calcule a taxa máxima na qual um foguete pode expelir gases se sua aceleração não puder exceder sete vezes a da gravidade. A massa do foguete no momento em que fica sem combustível é de 75.000 kg, e sua velocidade de escape é\(\displaystyle 2.40×10^3m/s\). Suponha que a aceleração da gravidade seja a mesma da superfície da Terra\(\displaystyle (9.80m/s^2)\).
(b) Por que pode ser necessário limitar a aceleração de um foguete?
Solução
Dados os seguintes dados para um experimento de extintor de incêndio com foguete de vagão de brinquedo, calcule a velocidade média de exaustão dos gases expelidos do extintor. Partindo do repouso, a velocidade final é de 10,0 m/s. A massa total é inicialmente de 75,0 kg e é de 70,0 kg após o extintor ser acionado.
81. Quanto de um foguete de estágio único de 100.000 kg pode ser qualquer coisa menos combustível se quiser que o foguete tenha uma velocidade final de\(\displaystyle 8.00km/s\), já que ele expele gases a uma velocidade de escape de\(\displaystyle 2.20×10^3m/s\)?
Solução
\(\displaystyle 2.63×10^3kg\)
82. Aplicação profissional
(a) Uma lula de 5,00 kg inicialmente em repouso ejeta 0,250 kg de fluido com uma velocidade de 10,0 m/s. Qual é a velocidade de recuo da lula se a ejeção for feita em 0,100 s e houver uma força de atrito de 5,00 N em oposição ao movimento da lula.
(b) Quanta energia é perdida no trabalho realizado contra o atrito?
Solução
(a) 0,421 m/s de distância do fluido ejetado.
(b)\(\displaystyle 0.237J\)
83. Resultados irracionais
Foi relatado que as lulas pulam do oceano e viajam\(\displaystyle 30.0m\) (medidas horizontalmente) antes de entrarem novamente na água.
(a) Calcule a velocidade inicial da lula se ela sair da água em um ângulo de\(\displaystyle 20.0º\), assumindo uma elevação insignificante do ar e uma resistência insignificante do ar.
(b) A lula se impulsiona esguichando água. Qual fração de sua massa ela teria que ejetar para atingir a velocidade encontrada na parte anterior? A água é ejetada em\(\displaystyle 12.0m/s\); a força gravitacional e o atrito são negligenciados.
(c) O que não é razoável nos resultados?
(d) Quais premissas não são razoáveis ou quais são inconsistentes?
84. Construa seu próprio problema
Considere uma astronauta no espaço profundo, libertada de sua nave espacial e precisando voltar para ela. A astronauta tem alguns pacotes que ela pode jogar fora para se mover em direção ao navio. Crie um problema no qual você calcule o tempo que ela leva para voltar jogando todos os pacotes de uma vez, em comparação com jogá-los um de cada vez. Entre as coisas a serem consideradas estão as massas envolvidas, a força que ela pode exercer sobre os pacotes por alguma distância e a distância até o navio.
85. Construa seu próprio problema
Considere um projétil de artilharia atingindo uma blindagem. Construa um problema no qual você encontre a força exercida pelo projétil na placa. Entre as coisas a serem consideradas estão a massa e a velocidade do projétil e a distância na qual sua velocidade é reduzida. Seu instrutor também pode querer que você considere os méritos relativos do urânio empobrecido versus projéteis de chumbo com base na maior densidade do urânio.