8.6: Colisões de massas pontuais em duas dimensões

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Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

Discuta as colisões bidimensionais como uma extensão da análise unidimensional.
Defina massas de pontos.
Derive uma expressão para conservação do momento ao longo dos eixos x e y.
Descreva as colisões elásticas de dois objetos com a mesma massa.
Determine a magnitude e a direção da velocidade final com base na velocidade inicial e no ângulo de dispersão.

Nas duas seções anteriores, consideramos apenas colisões unidimensionais; durante essas colisões, as velocidades de entrada e saída estão todas na mesma linha. Mas e as colisões, como aquelas entre bolas de bilhar, nas quais objetos se dispersam para o lado? Essas são colisões bidimensionais, e veremos que seu estudo é uma extensão da análise unidimensional já apresentada. A abordagem adotada (semelhante à abordagem ao discutir cinemática e dinâmica bidimensionais) é escolher um sistema de coordenadas conveniente e resolver o movimento em componentes ao longo de eixos perpendiculares. Resolver o movimento gera um par de problemas unidimensionais a serem resolvidos simultaneamente.

Uma complicação que surge nas colisões bidimensionais é que os objetos podem girar antes ou depois da colisão. Por exemplo, se dois patinadores de gelo engancharem os braços ao passarem um pelo outro, eles girarão em círculos. Não consideraremos essa rotação até mais tarde e, por enquanto, organizamos as coisas para que nenhuma rotação seja possível. Para evitar a rotação, consideramos apenas a dispersão de massas pontuais, ou seja, partículas sem estrutura que não podem girar ou girar.

Começamos assumindo\(F_{net} = 0,\) isso para que o momentum\(p\) seja conservado. A colisão mais simples é aquela em que uma das partículas está inicialmente em repouso. (Veja a Figura.) A melhor opção para um sistema de coordenadas é aquele com um eixo paralelo à velocidade da partícula de entrada, conforme mostrado na Figura. Como o momento é conservado, os componentes do momento ao longo dos\(y-\) eixos\(p_x \) e (e\(p_y\)) também serão conservados, mas com o sistema de coordenadas escolhido,\(p_y\) é inicialmente zero e\(p_x\) é o momento da partícula de entrada.\(x-\) Ambos os fatos simplificam a análise. (Mesmo com as suposições simplificadas de massas de pontos, uma partícula inicialmente em repouso e um sistema de coordenadas conveniente, ainda obtemos novos insights sobre a natureza a partir da análise de colisões bidimensionais.)

Uma bola roxa de massa m1 se move com a velocidade V 1 em direção ao lado direito ao longo da direção X. A bola laranja de massa m 2 está inicialmente em repouso. O impulso total é o impulso possuído apenas pela bola roxa. Após a colisão, a bola roxa se move com a velocidade v 1prime no plano X Y positivo, formando um ângulo teta 1 com o eixo x e a bola laranja se move no plano X Y abaixo do eixo x, formando um ângulo teta 2 com o eixo x. O momentum total seria a soma do impulso da bola roxa p1 prime e da bola laranja p 2 prime. Também na colisão bidimensional, o momento antes e depois da colisão permanece o mesmo. — Figura\(\PageIndex{1}\): Uma colisão bidimensional com o sistema de coordenadas escolhido de forma que\(m_2\) esteja inicialmente em repouso e\(v_1\) seja paralelo ao\(x\) eixo. Esse sistema de coordenadas às vezes é chamado de sistema de coordenadas de laboratório, porque muitos experimentos de dispersão têm um alvo estacionário no laboratório, enquanto partículas são espalhadas para determinar as partículas que compõem o alvo e como elas são unidas. As partículas podem não ser observadas diretamente, mas suas velocidades inicial e final são.

Ao longo do\(x\) eixo -, a equação para conservação do momento é\[p_{1x} + p_{2x} = p'_{1x} + p'_{2x} .\]

Onde os subscritos denotam as partículas e os eixos e os números primos denotam a situação após a colisão. Em termos de massas e velocidades, esta equação é\[m_1v_1 + m_2v_{2x} = m_1v'_{1x} + m_2v'_{2x}.\]

Mas como a partícula 2 está inicialmente em repouso, essa equação se torna\[m_1v_1 = m_1v'_{1x} + m_2v'_{2x}.\]

Os componentes das velocidades ao longo do\(x\) eixo -têm a forma\(v \, cos \, \theta\). Como a partícula 1 se move inicialmente ao longo do\(x\) eixo -, nós encontramos\(v_{1x} = v_1\).

A conservação do momento ao longo do\(x\) eixo -fornece a seguinte equação\[ m_1v_1 = m_1v'_1 \, cos \, \theta_1 + m_2v'_2 \, cos \, \theta_2,\] onde\(\theta_1\) e\(\theta_2\) são mostradas na Figura.

Conservação do momento ao longo do eixo x

\[ m_1v_1 = m_1v'_1 \, cos \, \theta_1 + m_2v'_2 \, cos \, \theta_2\]

Ao longo do\(y\) eixo -, a equação para conservação do momento é\[p_{1y} + p_{2y} = p'_{1y} + p'_{2y},\] ou\[m_1v_1 + m_2v_{2y} = m_1v'_{1y} + m_2v'_{2y}.\]

Mas\(v_{1y} \) é zero, porque a partícula 1 se move inicialmente ao\(x\) longo do eixo. Como a partícula 2 está inicialmente em repouso, também\(v_{2y}\) é zero. A equação para conservação do momento ao longo do\(y\) eixo -torna-se\[0 = m_1v'_{1y} + m_2v'_{2y}.\]

Os componentes das velocidades ao longo do\(y\) eixo -têm a forma\(v \, sin \, \theta\).

Assim, a conservação do momento ao longo do\(y\) eixo -fornece a seguinte equação:\[0 = m_1v'_{1y} \, sin \, \theta_1 + m_2v'_{2y} \, sin \, \theta_2.\]

Conservação do momento ao longo do eixo y

\[0 = m_1v'_{1y} \, sin \, \theta_1 + m_2v'_{2y} \, sin \, \theta_2.\]

As equações de conservação do momento ao longo dos\(x\) eixos --e\(y\) -são muito úteis na análise de colisões bidimensionais de partículas, onde uma é originalmente estacionária (uma situação comum de laboratório). Mas duas equações só podem ser usadas para encontrar duas incógnitas e, portanto, outros dados podem ser necessários quando experimentos de colisão são usados para explorar a natureza no nível subatômico.

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Determining the Final Velocity of an Unseen Object from the

Dispersão de outro objeto

Suponha que o seguinte experimento seja realizado. Um objeto de 0,250 kg\((m_1)\) é deslizado em uma superfície sem atrito para uma sala escura, onde atinge um objeto inicialmente estacionário com massa de 0,400 kg\((m_2)\). O objeto de 0,250 kg emerge da sala em um ângulo de\(45^o\) sua direção de entrada. A velocidade do objeto de 0,250 kg é originalmente de 2,00 m/s e é de 1,50 m/s após a colisão. Calcule a magnitude e a direção da velocidade\((v'_2\) e\(\theta_2)\) do objeto de 0,400 kg após a colisão.

Estratégia

O momento é conservado porque a superfície não tem atrito. O sistema de coordenadas mostrado na Figura é aquele em que\(m_2\) está originalmente em repouso e a velocidade inicial é paralela ao\(x\) eixo -, de modo que a conservação do momento ao longo dos\(y\) eixos\(x\) - e -é aplicável. Tudo é conhecido nessas equações, exceto\(v'_2\) e\(\theta_2\), que são precisamente as quantidades que desejamos encontrar. Podemos encontrar duas incógnitas porque temos duas equações independentes: as equações que descrevem a conservação do momento nas\(y\) direções\(x\) - e -.

Solução

Resolver\(m_1v_1 = m_1v'_1 \, cos \, \theta_1 + m_2v'_2 \, cos \, \theta_2\) para\(v'_2 \, cos \, \theta_2\) e\(0 = m_1v'_{1y} \, sin \, \theta_1 + m_2v'_{2y} \, sin \, \theta_2\) para\(v'_2 \, sin \, \theta_2\) e tomar a razão produz uma equação (na qual\(\theta_2\) está a única quantidade desconhecida). Aplicando a identidade\(\left(tan \, \theta = \frac{sin \, \theta}{cos \, \theta} \right) \), obtemos

\[tan \, \theta_2 = \dfrac{v'_1 \, sin \, \theta_1}{v'_1 \, cos \, \theta_1 - v_1}.\]

A inserção de valores conhecidos na equação anterior fornece

\[tan \, \theta_2 = \dfrac{(1.50 \, m/s)(0.7071)}{(1.50 \, m/s)(0.7071) - 2.00 \, m/s} = -1.129.\]

Assim,\[\theta_2 = tan^{-1}9-1.129) = 311.5^o \approx 312^o.\]

Os ângulos são definidos como positivos no sentido anti-horário, então esse ângulo indica que\(m_2\) está disperso para a direita na Figura, conforme esperado (esse ângulo está no quarto quadrante). Qualquer equação para o\(y\) eixo\(x\) - ou -agora pode ser usada para resolver\(v_2\), mas a última equação é mais fácil porque tem menos termos.

\[v'_2 = - \left( \dfrac{0.250 \, kg}{0.400 \, kg} \right) (1.50 \, m/s) \left(\dfrac{0.7071}{-0.7485} \right).\]

Assim,\[v'_2 = 0.886 \, m/s.\]

Discussão

É instrutivo calcular a energia cinética interna desse sistema de dois objetos antes e depois da colisão. (Esse cálculo é deixado como um problema de fim de capítulo.) Se você fizer esse cálculo, descobrirá que a energia cinética interna é menor após a colisão e, portanto, a colisão é inelástica. Esse tipo de resultado faz com que um físico queira explorar mais o sistema.

Uma bola roxa de massa m1 e velocidade v one se move na direção certa para uma sala escura. Ele colide com um objeto de massa m dois de valor zero ponto quatro zero miligramas que estava inicialmente em repouso e depois sai da sala escura do lado superior direito fazendo um ângulo de quarenta e cinco graus com a horizontal e na velocidade v um primo. A força externa líquida no sistema é zero. O momento antes e depois da colisão permanece o mesmo. A velocidade v dois primos da massa m dois e o ângulo teta dois que ela faria com a horizontal após a colisão não foram fornecidos. — Figura\(\PageIndex{2}\): Uma colisão ocorrendo em uma sala escura é explorada em Example. O objeto de entrada\(m_1\) é disperso por um objeto inicialmente estacionário. Somente a massa do objeto estacionário\(m_2\) é conhecida. Ao medir o ângulo e a velocidade com que\(m_1\) emerge da sala, é possível calcular a magnitude e a direção da velocidade do objeto inicialmente estacionário após a colisão.

Colisões elásticas de dois objetos com massa igual

Algumas situações interessantes surgem quando os dois objetos em colisão têm a mesma massa e a colisão é elástica. Essa situação é quase o caso da colisão de bolas de bilhar e, precisamente, de algumas colisões de partículas subatômicas. Assim, podemos obter uma imagem mental de uma colisão de partículas subatômicas pensando em bilhar (ou piscina). (Consulte a Figura para massas e ângulos.) Primeiro, uma colisão elástica conserva a energia cinética interna. Novamente, vamos supor que o objeto 2\(m_2\) esteja inicialmente em repouso. Então, a energia cinética interna antes e depois da colisão de dois objetos com massas iguais é

\[\dfrac{1}{2}mv_1^2 = \dfrac{1}{2}mv_1^{'2} + \dfrac{1}{2}mv_2^{'2}.\]

Porque as massas são iguais,\(m_1 = m_2 = m\). A manipulação algébrica (deixada para o leitor) da conservação do momento nas\(y\) direções\(x\) - e -pode mostrar que

\[\dfrac{1}{2}mv_1^2 = \dfrac{1}{2}mv_1^{'2} + \dfrac{1}{2}mv_2^{'2} + mv'_1 v'_2 \, cos (\theta_1 - \theta_2).\]

(Lembre-se de que isso\(\theta_2\) é negativo aqui.) As duas equações anteriores só podem ser verdadeiras se\[mv'_1 v'_2 \, cos (\theta_1 - \theta_2) = 0.\]

Há três maneiras pelas quais esse termo pode ser zero. Eles são

\(v'_1 = 0\): colisão frontal; a bola que entra para;

\(v'_2 = 0\): sem colisão; a bola que entra continua inalterada

Todas essas três formas são ocorrências familiares no bilhar e na sinuca, embora a maioria de nós tente evitar a segunda. Se você jogar sinuca o suficiente, notará que o ângulo entre as bolas está muito próximo de 90º após a colisão, embora varie desse valor se uma grande quantidade de giro for colocada na bola. (O giro grande carrega energia extra e uma quantidade chamada momento angular, que também deve ser conservada.) A suposição de que a dispersão das bolas de bilhar é elástica é razoável com base na exatidão dos três resultados que ela produz. Essa suposição também implica que, para uma boa aproximação, o impulso é conservado para o sistema de duas bolas no bilhar e na sinuca. Os problemas abaixo exploram essas e outras características das colisões bidimensionais.

CONEXÕES COM FÍSICA NUCLEAR E DE PARTÍCUL

Experimentos de colisão bidimensional revelaram muito do que sabemos sobre partículas subatômicas, como veremos em Aplicações Médicas da Física Nuclear e da Física de Partículas. Ernest Rutherford, por exemplo, descobriu a natureza do núcleo atômico a partir desses experimentos.

Resumo

A abordagem para colisões bidimensionais é escolher um sistema de coordenadas conveniente e dividir o movimento em componentes ao longo de eixos perpendiculares. Escolha um sistema de coordenadas com o eixo x paralelo à velocidade da partícula recebida.
As colisões bidimensionais de massas pontuais onde a massa 2 está inicialmente em repouso conservam o momento ao longo da direção inicial da massa 1 (o eixo x), declarada por\(m_1v_1=m_1v′_1cosθ_1+m_2v′_2cosθ_2\) e ao longo da direção perpendicular à direção inicial (o eixo y) declarada por\(0=m_1v′_1y+m_2v′2_y\).
A cinética interna antes e depois da colisão de dois objetos com massas iguais é
\(\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}mv′_1^2+\frac{1}{2}mv′_2^2+mv′_1v′_2cos(θ_1−θ_2)\).
As massas pontuais são partículas sem estrutura que não podem girar.

Glossário

massas de pontos: partículas sem estrutura sem rotação ou rotação