8.3: Conservação do Momentum

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Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

Descreva o princípio da conservação do momentum.
Derive uma expressão para a conservação do momentum.
Explique a conservação do momentum com exemplos.
Explique o princípio da conservação do momento no que se refere às partículas atômicas e subatômicas.

O momentum é uma quantidade importante porque é conservado. No entanto, não foi conservado nos exemplos em Impulso e Momento Linear e Força, onde grandes mudanças no momentum foram produzidas por forças atuando no sistema de interesse. Em que circunstâncias o momentum é conservado?

A resposta a essa pergunta envolve considerar um sistema suficientemente grande. É sempre possível encontrar um sistema maior no qual o momentum total seja constante, mesmo que o momentum mude para os componentes do sistema. Se um jogador de futebol correr para a trave na end zone, haverá uma força sobre ele que o fará pular para trás. No entanto, a Terra também recua — conservando o momento — por causa da força aplicada a ela através do poste. Como a Terra é muitas ordens de magnitude mais massiva do que o jogador, seu recuo é incomensuravelmente pequeno e pode ser negligenciado em qualquer sentido prático, mas é real mesmo assim.

Considere o que acontece se as massas de dois objetos em colisão forem mais semelhantes às massas de um jogador de futebol e da Terra — por exemplo, um carro batendo em outro, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{1}\). Ambos os carros estão girando na mesma direção quando o carro principal (rotulado)\(m_2\) é batido pelo carro de arrasto (rotulado)\(m_1\). A única força desequilibrada em cada carro é a força da colisão. (Suponha que os efeitos causados pelo atrito sejam insignificantes.) O carro 1 desacelera como resultado da colisão, perdendo um pouco de impulso, enquanto o carro 2 acelera e ganha algum impulso. Vamos agora mostrar que a dinâmica total do sistema de dois carros permanece constante.

Um carro marrom com velocidade V 1 e massa m 1 se move para a direita atrás de um carro marrom de velocidade V 2 e massa m 2. O sistema de interesse tem um momento total igual à soma dos momentos individuais p 1 e p 2. A força líquida entre eles é zero antes de colidirem entre si. O carro marrom após colidir com o carro bronzeado tem velocidade V 1prime e momentum p 1 prime e o carro marrom claro se move com velocidade V 2 prime e momentum p 2 prime. Ambos se movem na mesma direção de antes da colisão. Esse sistema de interesse tem um momento total igual à soma p 1 primo e p 2 primo. — Figura\(\PageIndex{1}\): Um carro de massa\(m_1\) se movendo com uma velocidade\(v_1\) de colisão com outro carro de massa\(m_2\) e velocidade\(v_2\) que está seguindo. Como resultado, o primeiro carro diminui para uma velocidade de\(v_1' \) e o segundo acelera até uma velocidade de\(v_2'\) O impulso de cada carro é alterado, mas o impulso total\(p_{tot}\) dos dois carros é o mesmo antes e depois da colisão (se você assumir que o atrito é insignificante).

Usando a definição de impulso, a mudança no impulso do carro 1 é dada por\[\Delta p_1 = F_1 \Delta t,\] é a força no carro 1 devido ao carro 2, e\(\Delta t\)

onde\(F_1\) está a hora em que a força atua (a duração da colisão). Intuitivamente, parece óbvio que o tempo de colisão é o mesmo para os dois carros, mas isso só vale para objetos que viajam em velocidades normais. Essa suposição deve ser modificada para objetos que viajam perto da velocidade da luz, sem afetar o resultado de que o momento é conservado.

Da mesma forma, a mudança no momentum do carro 2 é

\[ \Delta p_2 = F_2 \Delta t,\]

onde\(F_2\) está a força no carro 2 devido ao carro 1, e assumimos que a duração da colisão\(\Delta t\) é a mesma para os dois carros. Sabemos pela terceira lei de Newton que\(F_2 = - F_1\), e assim

\[ \Delta p_2 = -F_1\Delta t = - \Delta p_1.\]

Assim, as mudanças no momentum são iguais e opostas, e

\[\Delta p_1 + \Delta p_2 = 0.\]

Como as mudanças no momentum aumentam a zero, o impulso total do sistema de dois carros é constante. Ou seja,

\[p_1 + p_2 = constant\]

\[p_1 + p_2 = p_1' + p_2', \]

onde\(p_1'\) e\(p_2'\) estão os momentos dos carros 1 e 2 após a colisão. (Costumamos usar números primos para indicar o estado final.)

Esse resultado — que o momentum é preservado — tem validade muito além do caso unidimensional anterior. Da mesma forma, pode-se mostrar que o momento total é conservado para qualquer sistema isolado, com qualquer número de objetos nele. Em forma de equação, o princípio de conservação do momento para um sistema isolado é escrito

\[p_{tot} = constant,\]

\[p_{tot} = p_{tot},\]

onde\( p_{tot}\) é o momento total (a soma dos momentos dos objetos individuais no sistema) e\( p_{tot},\) é o momento total algum tempo depois. (O momento total pode ser mostrado como o momento do centro de massa do sistema.) Um sistema isolado é definido como aquele para o qual a força externa líquida é zero\((F_{net} = 0)\).

Princípio de conservação do momentum

\[ p_{tot} = constant\]

\[p_{tot} = p_{tot}' \, (isolated \, system)\]

Sistema isolado

Um sistema isolado é definido como aquele para o qual a força externa líquida é zero\((F_{net} = 0)\).

Talvez uma maneira mais fácil de ver que o ímpeto é conservado em um sistema isolado seja considerar a segunda lei de Newton em termos de impulso,\(F_{net} = \frac{\Delta p_{tot}}{\Delta t}\). Para um sistema isolado,\((F_{net} = 0)\); portanto,\(\Delta p_{tot} = 0\) e\(\Delta p\) é constante.

Observamos que as três dimensões de comprimento na natureza x, y e z são independentes, e é interessante notar que o momentum pode ser conservado de maneiras diferentes ao longo de cada dimensão. Por exemplo, durante o movimento do projétil e onde a resistência do ar é insignificante, o momento é conservado na direção horizontal porque as forças horizontais são zero e o momento permanece inalterado. Mas na direção vertical, a força vertical líquida não é zero e o momento do projétil não é conservado (Figura\(\PageIndex{2}\)). No entanto, se o momento do sistema Terra Projétil for considerado na direção vertical, descobrimos que o momento total é conservado.

Uma sonda espacial é projetada para cima. Ele segue um caminho parabólico. Nenhuma força da rede horizontal atua. O componente horizontal do momentum permanece conservado. A força líquida vertical não é zero e o componente vertical do momento não é constante. Quando a sonda espacial se separa, a força líquida horizontal permanece zero, pois a força que causa a separação é interna ao sistema. A força líquida vertical não é zero e o componente vertical do momento também não é constante após a separação. O centro de massa, entretanto, continua no mesmo caminho parabólico. — Figura\(\PageIndex{2}\): O componente horizontal do impulso de um projétil é conservado se a resistência do ar for insignificante, mesmo neste caso em que uma sonda espacial se separa. As forças que causam a separação são internas ao sistema, de modo que a força horizontal externa líquida ainda\(F_{x-net}\) é zero. O componente vertical do momento não é conservado, porque a força vertical líquida não\(F_{y-net}\) é zero. Na direção vertical, o sistema espaço-sonda terrestre precisa ser considerado e descobrimos que o momento total é conservado. O centro de massa da sonda espacial segue o mesmo caminho que faria se a separação não ocorresse.

O princípio da conservação do momento pode ser aplicado a sistemas tão diferentes quanto um cometa atingindo a Terra e um gás contendo um grande número de átomos e moléculas. A conservação do momentum é violada somente quando a força externa líquida não é zero. Mas outro sistema maior sempre pode ser considerado, no qual o momentum é conservado simplesmente incluindo a fonte da força externa. Por exemplo, na colisão de dois carros considerados acima, o sistema de dois carros conserva o impulso, enquanto cada sistema de um carro não.

FAZENDO CONEXÕES: Investigação para levar para casa - queda de uma bola de tênis e uma bola de basquete

Segure uma bola de tênis lado a lado e em contato com uma bola de basquete. Solte as bolas juntas. (Tenha cuidado!) O que acontece? Explique suas observações. Agora segure a bola de tênis acima e em contato com a bola de basquete. O que aconteceu? Explique suas observações. O que você acha que acontecerá se a bola de basquete for segurada acima e em contato com a bola de tênis?

FAZENDO CONEXÕES: Investigação para levar para casa — Duas bolas de tênis em uma trajetória balística

Amarre duas bolas de tênis com uma corda de cerca de 30 centímetros de comprimento. Segure uma bola e deixe a outra cair e jogue-a em uma trajetória balística. Explique suas observações. Agora marque o centro da corda com tinta brilhante ou cole um adesivo colorido nela e jogue novamente. O que aconteceu? Explique suas observações.

Alguns animais aquáticos, como medusas, se movimentam com base nos princípios de conservação do momentum. Uma medusa enche a seção do guarda-chuva com água e, em seguida, empurra a água para fora, resultando em movimento na direção oposta à do jato de água. As lulas se impulsionam de maneira semelhante, mas, ao contrário das medusas, são capazes de controlar a direção em que se movem apontando o bico para frente ou para trás. As lulas típicas podem se mover a velocidades de 8 a 12 km/h.

O balistocardiógrafo (BCG) foi uma ferramenta de diagnóstico usada na segunda metade do século XX para estudar a força do coração. Cerca de uma vez por segundo, seu coração bate, forçando o sangue para a aorta. Uma força na direção oposta é exercida no resto do seu corpo (lembre-se da terceira lei de Newton). Um balistocardiógrafo é um dispositivo que pode medir essa força de reação. Essa medição é feita usando um sensor (apoiado na pessoa) ou usando uma mesa móvel suspensa no teto. Essa técnica pode coletar informações sobre a força do batimento cardíaco e o volume de sangue que passa do coração. No entanto, o eletrocardiograma (ECG ou EKG) e o ecocardiograma (ECO cardíaco ou ECHO; uma técnica que usa ultrassom para ver uma imagem do coração) são mais amplamente utilizados na prática da cardiologia.

Fazendo conexões: conservação do momento e colisão

A conservação do momentum é bastante útil na descrição de colisões. O momentum é crucial para nossa compreensão das partículas atômicas e subatômicas porque muito do que sabemos sobre essas partículas vem de experimentos de colisão.

Colisões subatômicas e momento

O princípio da conservação do momento não se aplica apenas aos objetos macroscópicos, mas também é essencial para nossas explorações de partículas atômicas e subatômicas. Máquinas gigantes lançam partículas subatômicas umas nas outras, e os pesquisadores avaliam os resultados assumindo a conservação do momento (entre outras coisas).

Em pequena escala, descobrimos que as partículas e suas propriedades são invisíveis a olho nu, mas podem ser medidas com nossos instrumentos, e modelos dessas partículas subatômicas podem ser construídos para descrever os resultados. Descobriu-se que o momento é uma propriedade de todas as partículas subatômicas, incluindo partículas sem massa, como fótons que compõem a luz. O momento, sendo uma propriedade das partículas, sugere que o momento pode ter uma identidade além da descrição da massa de um objeto multiplicada pela velocidade do objeto. De fato, o momento está relacionado às propriedades das ondas e desempenha um papel fundamental em quais medições são feitas e como fazemos essas medições. Além disso, descobrimos que o princípio da conservação do momento é válido quando se considera sistemas de partículas. Usamos esse princípio para analisar as massas e outras propriedades de partículas não detectadas anteriormente, como o núcleo de um átomo e a existência de quarks que compõem partículas de núcleos. A figura\(\PageIndex{3}\) abaixo ilustra como uma partícula se espalhando para trás de outra implica que seu alvo é massivo e denso. Experimentos em busca de evidências de que os quarks formam prótons (um tipo de partícula que compõe os núcleos) espalharam elétrons de alta energia dos prótons (núcleos de átomos de hidrogênio). Elétrons ocasionalmente espalhados diretamente para trás de uma maneira que implica que uma partícula muito pequena e muito densa compõe o próton - essa observação é considerada evidência quase direta de quarks. A análise foi baseada parcialmente no mesmo princípio de conservação do momentum que funciona tão bem em grande escala.

Um elétron atinge um alvo macroscópico e recua para trás. Uma análise mais detalhada mostra que o elétron se espalha para trás depois de interagir com o próton. — Figura\(\PageIndex{3}\): Uma partícula subatômica se dispersa diretamente para trás a partir de uma partícula alvo. Em experimentos que buscam evidências de quarks, observou-se que os elétrons ocasionalmente se dispersam diretamente para trás a partir de um próton.

Resumo

O princípio da conservação do momentum está escrito

\[p_{tot} = constant\]ou

\[p_{tot} = p'_{tot} \, (isolated \, system),\]

\(p_{tot}\)é o momentum total inicial e\(p'_{tot}\) é o momentum total algum tempo depois. Um sistema isolado é definido como aquele para o qual a força externa líquida é zero.\((F_{net} = 0\)
Durante o movimento do projétil e onde a resistência do ar é insignificante, o momento é conservado na direção horizontal porque as forças horizontais são zero.
A conservação do momento se aplica somente quando a força externa líquida é zero.
O princípio da conservação do momento é válido quando se considera sistemas de partículas.

Glossário

princípio de conservação do momentum: quando a força externa líquida é zero, o momento total do sistema é conservado ou constante

sistema isolado: um sistema em que a força externa líquida é zero

quark: constituinte fundamental da matéria e uma partícula elementar

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