5.6: Regra de potência para expoentes
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Essa regra ajuda a simplificar uma expressão exponencial elevada a uma potência. Essa regra geralmente é confundida com a regra do produto, portanto, entender essa regra é importante para simplificar com êxito as expressões exponenciais.
Para qualquer número real\(a\) e qualquer número\(m\) e\(n\), a regra de potência para expoentes é a seguinte:
\((a^m)^n = a^{m\cdot n}\)
Ideia:
Dada a expressão
\(\begin{aligned} &(2^2 )^3 && \text{Use the exponent definition to expand the expression inside the parentheses.} \\ &(2 \cdot 2)^3 && \text{Now use the exponent definition to expand according to the exponent outside the parentheses.}\\ &(2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) = 2^6 && = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{1+1+1+1+1+1 }= 2^{6} \text{ (Product Rule of Exponents) }\end{aligned}\)
Conseqüentemente,\((2^2 ) ^3 = 2^{2\cdot 3 }= 2^6\)
Simplifique a seguinte expressão usando a regra de potência para expoentes.
\((−3^4 )^3\)
Solução
\((−3)^{4\cdot 3 }= (−3)^{12}\)
Simplifique a seguinte expressão usando a regra de potência para expoentes.
\((−3^4 )^3\)
Solução
\((5y)^{3\cdot 7 }= (5y)^{21}\)
Simplifique a seguinte expressão usando a regra de potência para expoentes.
\(((−y)^5 )^2\)
Solução
\((−y)^{5\cdot 2 }= (−y)^{10 }= y^{10}\)
Simplifique a seguinte expressão usando a regra de potência para expoentes.
\((x^{−2 })^3\)
Solução
\(x^{−2\cdot 3 }= x^{−6 }= \dfrac{1 }{x^6}\)
Dica: Os parênteses no problema são um forte indicador de simplificação do uso da regra de potência para expoentes.
Simplifique a expressão usando a regra de potência para expoentes.
- \((x^3 )^5\)
- \(((−y)^3 )^7\)
- \(((−6y)^8 ) ^{−3}\)
- \((x^{−2 }) ^{−3}\)
- \((r^4 )^5\)
- \((−p^7 )^7\)
- \(((3k)^{−3 })^5\)