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5.5: A regra do expoente negativo

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    Na seção 5.3, o expoente do número no numerador era maior do que o expoente do número no denominador. Na seção 5.4, o expoente do número no numerador era igual ao expoente do número no denominador. Na seção 5.5, o expoente do número no denominador pode ser maior do que o expoente do número no numerador.

    Definição: A regra do expoente negativo

    Para qualquer número real diferente de zero a e qualquer inteiro n, a regra do expoente negativo é a seguinte

    \(a^{−n}= \dfrac{1 }{a^n} or \dfrac{1 }{a^{−n}} = a^n\)

    É péssimo em matemática deixar expoentes negativos na resposta. Todas as respostas sempre serão simplificadas para mostrar expoentes positivos.

    Como isso funciona?

    Recordar:

    \[\begin{align*} 2^3 &= 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \\[4pt] 2^2 &= 2 \cdot 2 = 4 \\[4pt] 2^1 &= 2 = 2 \\[4pt] 2^0 &= 1 \end{align*} \nonumber \]

    O que acontece com os expoentes negativos?

    \[\begin{align*} 2^{−1 } &= \dfrac{1 }{2^1 }= \dfrac{1 }{2} \\[4pt] 2^{−2 } &= \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{ 4} \end{align*} \nonumber \]

    Lembre-se: Da última seção,

    \[\begin{align*} x^3 = \textcolor{blue}{x \cdot x \cdot x} \\[4pt] x^5 &= \textcolor{red}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x} \end{align*} \nonumber \]

    Seu quociente:

    \(\dfrac{x^3 }{x^5} = \dfrac{x \cdot x \cdot x }{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }= \dfrac{\textcolor{blue}{\cancel{x \cdot x\cdot x }}}{\textcolor{red}{\cancel{x \cdot x\cdot x \cdot x \cdot x }}}=\dfrac{ 1 }{\textcolor{red}{x \cdot x }}= \dfrac{1 }{x^2}\)

    Aplique a regra do quociente para obter um resultado equivalente.

    \(\dfrac{x^3 }{x^5} = x^{3−5 }= x^{−2}\)

    Usando a regra do expoente negativo.

    \(x^{−2 }= \dfrac{1 }{x^2}\).

    Analise os exemplos a seguir para ajudar a entender o processo de simplificação usando a regra do quociente dos expoentes e a regra do expoente negativo.

    Dica: Seja paciente, não se apresse e tenha cuidado ao simplificar!

    Exemplo Template:index

    Simplifique a expressão a seguir para uma única base com somente expoentes positivos.

    \(\dfrac{t^5}{ t^11}\)

    Solução

    \(t^{5−11 }= t^{−6 }= \dfrac{1 }{t^6}\)

    Exemplo Template:index

    Simplifique a expressão a seguir para uma única base com somente expoentes positivos.

    \(\dfrac{x^{3} \cdot x^{11} }{x \cdot x^{15}}\)

    Solução

    \(\dfrac{x^{ 3+11 }}{x^{1+15 }}= \dfrac{x^14 }{x^16 }= x^{14−16 }= x^{−2 }= \dfrac{1}{x^2}\)

    Exemplo Template:index

    Simplifique a expressão a seguir para uma única base com somente expoentes positivos.

    \(\dfrac{2y^3 }{7y^7}\)

    Solução

    \(\dfrac{2 }{7} \cdot \dfrac{y^3 }{y^7 }= \dfrac{2 }{7} \cdot y^{3−7 }= \dfrac{2 }{7 }\cdot y^{−4} = \dfrac{2 }{7 }\cdot \dfrac{1 }{y^4 }= \dfrac{2 }{7y^4}\)

    Exemplo Template:index

    Simplifique a expressão a seguir para uma única base com somente expoentes positivos.

    \(-\dfrac{\sqrt{3}z^6}{ z^7}\)

    Solução

    \(− \sqrt{3} \cdot \dfrac{z^6 }{z^7} = − \sqrt{3} \cdot z^{6−7 }= − \sqrt{3} \cdot z^{−1} = − \sqrt{3} \cdot \dfrac{1 }{z} = − \dfrac{\sqrt{3}}{z}\)

    Nos exemplos 3 e 4, fatore a constante para ver claramente as bases comuns.

    Exemplo Template:index

    Simplifique a expressão a seguir para uma única base com somente expoentes positivos.

    \(\dfrac{1}{ a^{−9}}\)

    Solução

    \(a^9\)

    Exemplo Template:index

    Simplifique a expressão a seguir para uma única base com somente expoentes positivos.

    \(\dfrac{x^3 }{x^{−5}}\)

    Solução

    \(x^{3−(−5) }= x^{3+5 }= x^{8}\)

    Exemplo Template:index

    Simplifique a expressão a seguir para uma única base com somente expoentes positivos.

    \(\dfrac{c^{−7 }}{c^{−3}}\)

    Solução

    \(c^{(−7)−(−3) }= c^{−7+3 }= c ^{−4} = \dfrac{1 }{c^4}\)

    Nos exemplos 6 e 7, a regra do quociente dos expoentes foi usada antes de mudar os expoentes para expoentes positivos. Os mesmos resultados são obtidos expandindo e alterando primeiro os expoentes para expoentes positivos e depois aplicando a regra do quociente dos expoentes.

    Exercício Template:index

    Simplifique as seguintes expressões em uma única base com somente expoentes positivos.

    1. \(\dfrac{p^4}{ p^{13}}\)
    2. \(-\dfrac{k^2 \cdot k^3 }{k^7 \cdot k^8}\)
    3. \(\dfrac{5(x + y)^3 }{2(x + y)^{13}}\)
    4. −\(\dfrac{\sqrt{8}y^3}{ y^{−3}}\)
    5. \(\dfrac{a^{−7}}{ a^2 \cdot a^{−5}}\)
    6. \(\dfrac{x^{−7}}{ x^5}\)