5.4: Regra do expoente zero

Last updated
Save as PDF

Page ID: 169990

Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Na seção 5.3, o expoente do número no numerador sempre foi maior do que o expoente do número no denominador.

Na seção 5.4, o expoente do número no numerador será igual ao expoente do número no denominador.

Definição: A regra do expoente zero

Para qualquer número real\(a\), a Regra do Expoente Zero é a seguinte

\(a^0= 1\)

Ideia:

Das seções anteriores:

\[x^5 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \nonumber \]

\[\dfrac{x^5 }{x^5} =\dfrac{ x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }= \dfrac{\cancel{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }}{\cancel{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }}= 1 \nonumber \]

Conseqüentemente,

\[\dfrac{x ^5 }{x^5} = x^{5−5 }= x^0=1 \nonumber \]

Exemplo Template:index

Use a regra do expoente zero para simplificar as expressões.

\(\dfrac{x^9 }{x^9}\)
\(\dfrac{d^5 }{d^2 \cdot d^3}\)
\(\dfrac{5(xy)^3 }{(xy)^3}\)
\(-\dfrac{y^3 }{\sqrt{5}y^3}\)
\(\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^2 \cdot (ab^2)^4 ˙(ab^2)}\)

Solução

Expressão	Regra do expoente zero
\(\dfrac{x^9 }{x^9}\)	\(x^{9−9} = x^0 = 1\)
\(\dfrac{d^5 }{d^2 \cdot d^3}\)	\(\dfrac{d^5 }{d^{2+3 }}= \dfrac{d^5 }{d^5} = d^{5−5 }= d^{0} = 1\)
\(\dfrac{5(xy)^3 }{(xy)^3}\)	\(5 \cdot \dfrac{(xy)^3 }{(xy)^3 }= 5 \cdot (xy)^{3−3 }= 5 \cdot (xy)^0 = 5 \cdot 1 = 5 \) A constante 5, pode ser considerada para ver claramente as bases comuns.
\(-\dfrac{y^3 }{\sqrt{5}y^3}\)	\(− \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot \dfrac{y^3 }{y^3 }= − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot y ^{3−3 }= − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot y^0 = − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot 1 = − \dfrac{1}{ \sqrt{5}}\) A constante\(−\left( \dfrac{1 }{\sqrt{5}}\right )\) pode ser considerada para ver claramente as bases comuns.
\(\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^2 \cdot (ab^2)^4 ˙(ab^2)}\)	\(\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^{2+4+1}}= \dfrac{(ab^2 )^7}{ (ab^2)^7} = (ab^2 )^{7−7 }= (ab^2 )^0 = 1\) Primeiro, simplifique o denominador usando a regra do produto dos expoentes. Em seguida, use a regra do quociente dos expoentes para simplificar a expressão restante.

Nota:\(0^0\) não é igual a 1. Este é um caso especial que é abordado em cursos avançados. Por enquanto, considere\(0^0\) como indefinido.

Etapas úteis para simplificar expressões com expoentes

Identifique bases comuns.
Se necessário, combine bases comuns usando a regra do produto dos expoentes.
Se a expressão contiver bases comuns no numerador e no denominador, use a regra do quociente dos expoentes conforme necessário.

Exercício Template:index

Use todas as regras de expoentes abordadas até agora neste capítulo para simplificar o seguinte.

\(\dfrac{z ^4 }{z^ 4}\)
\(\dfrac{d^2 \cdot d^8}{ d^7 \cdot d^3}\)
\(\dfrac{5(x + y)^3 }{2(x + y)^3}\)
\(−\dfrac{\sqrt{9}{y^3 }}{y^3}\)
\(\dfrac{(a^3b^2 )^9}{ (a^3b^2)^3 \cdot (a^3b^2)^4 ˙(a^3b^2)^2}\)
\(\dfrac{(xyz)^{19} }{(xyz)^{19}}\)