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4.12: Exemplos aplicados de funções

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    Exemplos aplicados de funções (também conhecidos como problemas com palavras!) pode assumir várias formas.

    Esteja preparado para usar qualquer tipo de função que tenha sido revisada neste capítulo.

    Exemplo Template:index

    Um emprego de verão paga tempo e meio por horas extras se um trabalhador trabalhar mais de 40 horas. Após 40 horas, o trabalhador recebe 1,5 vezes a taxa horária\($12.00\) por hora.

    1. Escreva e faça um gráfico de uma função por partes que forneça o pagamento semanal P em termos do número de horas trabalhadas h. DICA: Isso pode ser complicado, pense em como expressar o número de horas acima de 40.
    2. Quanto será ganho trabalhando 45 horas?
    Solução
    1. Para escrever a função por partes:

    \(P (h) = \left\{\begin{array}{cc} 12h &0 < h \leq 40 \\ 12(40) + 1.5(12)(h − 40) &h > 40\end{array} \right.\)

    Para representar graficamente essa função, faça uma tabela de soluções:

    Tabela de soluções para\(P (h) = 12h \)

    Domínio\(0 < h \leq 40\)
    \(h\) \(P(h)\)
    1 \($12.00\)
    10 \($120.00\)
    40 \($480.00\)

    Tabela de soluções para\(P (h) = 12(40) + 1.5(7)(h − 40) \)

    Simplificado\(P (h) = 18h − 240 \)

    Domínio\(h > 40\)
    \(h\) \(P(h)\)
    41 498
    45 570
    50 660
    60 840
    clipboard_ef0cbdf88861b06f2927739d371a66cd0.png
    Figura Template:index

    1. \($570.00\)para 45 horas de trabalho (consulte a Tabela de Soluções)
    Exemplo Template:index

    A NASA lança um foguete em\(t=0\) segundos. Sua altura, em metros acima do nível do mar, em função do tempo, é dada por\(h(t) = −4.9t^2 + 46t + 227\).

    1. Supondo que o foguete caia no oceano, a que horas ocorre o respingo?
    2. Quão alto acima do nível do mar o foguete atinge seu pico?
    Solução
    1. No splash down\(h(t) = 0\), então defina a função igual a 0 e resolva para\(t\).

    \(0 = −4.9t 2 + 46t + 227\)

    Use a fórmula quadrática para resolver essa equação, com\(a = −4.9\),\(b = 46\),\(c = 227\)

    \(\begin{aligned} t &= \dfrac{−46 \pm \sqrt{46^2 − 4(−4.9)(227) }}{2(−4.9) } && \text{Quadratic Formula} \\ t &= \dfrac{−46 \pm \sqrt{ 2116 + 4449.2 }}{−9.8 } &&\text{Simplify the radical} \\ t &= \dfrac{46 \pm \sqrt{ 6565.2 }}{9.8 } &&\text{Further simplify the radical, divide all terms by -1 (still have } \pm\text{ )} \\t &= \dfrac{46 \pm 81.026 }{9.8 } &&\text{Square root} \\ t &= \dfrac{46 + 81.026 }{9.8 } &&\text{Addition} \\ t &= \dfrac{46 − 81.026 }{9.8} && \text{Subtraction} \\ t& = 12.96 \text{ and } t = −3.57&& \text{Two solutions, reject negative solution because time cannot be negative} \\ t &= 12.96 \text{ seconds }&&\text{Final Answer} \end{aligned}\)

    1. Quão alto acima do nível do mar o foguete atinge seu pico?

    O sinal do coeficiente do termo principal da função quadrática\(h(t) = −4.9t^2 + 46t + 227\) mostra para que lado a parábola se abre. O coeficiente é\(−4.9\), e como é negativo, a função quadrática se abre para baixo.

    Agora precisamos encontrar o vértice. O valor y do par ordenado por vértices mostrará onde o intervalo começa.

    O vértice é\(\left(− \dfrac{b }{2a} , f\left( −\dfrac{ b }{2a}\right) \right)\), com\(a = −4.9\) e\(b = 46\)

    O vértice é\(\left(−\dfrac{ 46 }{2(−4.9) }, f\left( − \dfrac{46 }{2(−4.9)}\right)\right)\)

    O vértice é\((4.694, f (4.694))\) qual é\((4.694, (−4.9)(4.694)^2 + (46)(4.694) + 227 ))\) ou\((4.694, 334.959)\)

    A altura do foguete em seu pico é de\(334.959\) metros acima do nível do mar.

    Exemplo Template:index

    Para promover vendas em grupo para um cruzeiro no Alasca, uma agência de viagens reduz o preço normal da passagem de\($4500\) by\($5\) para cada pessoa do grupo.

    1. Escreva uma equação linear que forneça o custo por pessoa\(f(p)\), se\(p\) as pessoas viajarem no grupo.
    2. Use a equação para determinar o custo para 50 pessoas.
    Solução
    1. Como o custo por pessoa é reduzido da mesma forma para cada pessoa, essa é uma equação linear.

    Use\(f(x) = mx + b\), ou vamos escrever como\(f(p) = mp + b\), com\(f(p)\) o custo por pessoa.

    \(f(p) = mp + b\)

    Como o custo por pessoa é reduzido em $5 para cada pessoa do grupo, essa é a inclinação da linha.

    \(\begin{aligned} f(p)&= −5p + b && \text{Slope-intercept form of the equation of a line} \\ f(p) &= −5p + 4500 &&\text{The y-intercept is the starting point, so the regular ticket price of }$4500 {is the y-intercept} \\ f(p)& = −5p + 4500 && \text{Linear Equation} \end{aligned}\)

    1. Use a equação para determinar o custo para 50 pessoas.

    \(\begin{aligned} f(50) &= −5(50) + 4500 && \text{Replace p with 50 people in the Linear Equation} \\ f(50) &= −250 + 4500 &&\text{Simplify} \\ f(50) &= 4250 &&\text{Simplify} \\ \text{If }50 &\text{ people take the cruise, the cost per-person for the cruise is } $4250&&\text{Final Answer }\end{aligned}\)

    Exercício Template:index

    Complete os seguintes problemas de função aplicados:

    1. Um alfaiate cobra uma taxa básica de\($20\) mais\($5\) por letra para costurar o nome de um atleta na parte de trás de uma jaqueta.
      1. Escreva uma equação linear que determine o custo de ter um nome contendo x letras costuradas na parte de trás de uma jaqueta.
      2. Qual é o custo de um nome com 11 letras?
    2. Em Acapulco, México, uma atração turística popular é observar homens mergulhando de um penhasco na água 75 pés abaixo. A altura do mergulhador\(f(t)\) acima da água (em pés),\(t\) segundos após o mergulho, é dada por\(f(t) = −16t^2+75\).
      • Quanto tempo dura um mergulho?
    3. Em um determinado país, o imposto de renda é avaliado da seguinte forma: Não há imposto sobre a renda até\($15000\). A renda\($15000\) de até\($30000\) é tributada em\(12%\). A renda acima\($30000\) é tributada em\(18%\).
      1. Escreva a função por partes das informações acima e esboce seu gráfico.
      2. Determine o valor do imposto a ser pago sobre uma renda de\($18000\).