4.9: Composição da função

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Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

O gráfico a seguir é mais uma vez do livro didático OER Business Calculus de Calaway, Hoffman e Lippman, 2013 e é usado com permissão (Creative Commons Attribution 3.0 United States License).

A notação\(f(g(x))\)\(g(f(x))\) pode ser mais fácil de entender do que usar o operador de composição. \(f(g(x))\)Pois, pense em embrulhar um pacote. O presente é colocado na caixa (o presente é\(g(x)\), a caixa é\(f(x)\)) e o presente embrulhado,\(f(x)\), contém o presente\(g(x)\).

Exemplo Template:index

Se\(f(x) = x^2 − 2\) e\(g(x) =\sqrt{x}\), encontre:

\(f(g(x))\)e o domínio da função composta
\(g(f(x))\)e o domínio da função composta

Solução

A composição das funções\(f(g(x))\) é:

\(\begin{aligned} f(g(x)) &&\text{ Function composition, }f \text{ of }g\text{ of }x \\ f(\sqrt{x}) &&\text{ Replace } g(x)\text{ with }\sqrt{x} \\ ( \sqrt{x})^2 − 2 && \text{ In the function } f(x)\text{, every }x \text{ is replaced with } g(x) =\sqrt{x} \\ x − 2 && f(g(x))\text{, answer simplified.} \end{aligned}\)

O domínio da função composta contém as restrições do domínio da função interna, bem como as restrições da função composta.

O domínio da função interna,\(g(x) = \sqrt{x}\) é que\(x\) deve ser não negativo, ou em notação de intervalo\([0, \infty )\)

O domínio da função composta,\(x − 2\) são todos números reais,\((−\infty , \infty )\)

Portanto, o domínio de\(f(g(x))\) é\([0, \infty )\).

A composição das funções\(g(f(x))\) é:

\(\begin{aligned} g(f(x)) &&\text{ Function composition, }g \text{ of } f \text{ of } x \\ g(x^2 − 2)&& \text{ Replace }f(x)\text{ with } x^2 − 2 \\ \sqrt{x^2 − 2} &&\text{ In the function } g(x)\text{, every }x \text{ is replaced with } f(x) = x^2−2 \\ x^2 − 2 && g(f(x))\text{, answer simplified. }\end{aligned}\)

O domínio da função composta contém as restrições do domínio da função interna, bem como a função composta.

O domínio da função interna,\(f(x) = x^2 − 2\) são todos números reais ou em notação de intervalo\((−\infty , \infty )\)

O domínio da função composta\(\sqrt{x^2} − 2\) é que a quantidade não\(x^2 −2\) deve ser negativa, ou\(x^2 −2 \geq 0\).

Resolvendo\(x^2 − 2 \geq 0\) para\(x\),\(x \geq 2\)\(x \leq −2\) e. Na notação de intervalo,\((−\infty , −2] \cup [2, \infty )\)

Portanto, o domínio da função composta, g (f (x)) é o domínio mais restritivo,\((−\infty , −2] \cup [2, \infty )\).

Exemplo Template:index

Se\(f(x) = \dfrac{1 }{x − 4}\) e\(g(x) = \dfrac{5 }{x} + 4\), encontre:

\(f(g(x))\)e o domínio da função composta
\(g(f(x))\)e o domínio da função composta

Solução

A composição das funções\(f(g(x))\) é:

\(\begin{aligned} f(g(x)) \text{ Function composition, } f\text{ of }g \text{ of }x\\ f\left( \dfrac{5}{ x} + 4\right) && \text{ Replace }g(x)\text{ with }\dfrac{5 }{x} + 4 \\ \dfrac{1 }{\left(5 x + 4\right)− 4} && \text{ In the function } f(x)\text{, every x is replaced with } g(x) = \dfrac{5}{ x} + 4 \\ \dfrac{1 }{\dfrac{5 }{x}}&&\text{ Simplify} \\ \dfrac{x }{5} && f(g(x))\text{, answer simplified. }\end{aligned}\)

O domínio da função composta contém as restrições do domínio da função interna, bem como as restrições da função composta.

O domínio da função interna\(g(x) = 5 x + 4\) são todos os valores de\(x\) tal que não\(x\) devem ser 0, ou em notação de intervalo\((−\infty , 0) \cup (0, \infty )\)

O domínio da função composta,\(\dfrac{x }{5}\) são todos números reais.\((−\infty , \infty )\) Portanto, o domínio de\(f(g(x))\) é\((−\infty , 0) \cup (0, \infty )\)

A composição das funções,\(g(f(x))\) é

\(\begin{aligned} g(f(x))&&\text{Function composition, } g \text{ of } f\text{ of }x \\ g\left( \dfrac{1 }{x −4}\right) &&\text{Replace } f(x) \text{ with }\dfrac{1}{ x − 4}\\ \dfrac{5 }{\dfrac{1 }{x − 4}} + 4 &&\text{In the function } g(x)\text{, every x is replaced with } f(x) = \dfrac{1 }{x − 4}\\ 5(x − 4) + 4 && \text{ Simplify the fraction} \\ 5x − 20 + 4 &&\text{ Simplify more}\\ 5x − 16 && g(f(x))\text{, answer simplified.} \end{aligned}\)

O domínio da função composta contém as restrições do domínio da função interna, bem como a função composta.

O domínio da função interna,\(f(x) = \dfrac{1}{ x − 4 }\) é isso\(x\neq 4\), ou na notação de intervalo\((−\infty , 4) \cup (4, \infty )\)

O domínio da função composta,\(5x − 16\) são todos números reais,\((−\infty , \infty )\).

Portanto, o domínio da função composta\(g(f(x))\) é o domínio mais restritivo,\((−\infty , 4) \cup (4, \infty)\).

Exercício Template:index

Para as funções fornecidas, encontre\(f(g(x))\) e\(g(f(x))\) e encontre o domínio da função composta.

\(f(x) = 3x^ 2 + x − 10\),\(g(x) = 1 − 20x\)
\(f(x) = 3x − 2\),\(g(x) = \dfrac{1}{ 3} x + \dfrac{2 }{3}\)
\(f(x) = 4x − 1\),\(g(x) = \sqrt{6 + 7x}\)
\(f(x) = 5x + 2\),\(g(x) = x^2 − 14x\)
\(f(x) = x^ 2 − 2x + 1\),\(g(x) = 8 − 3x ^2\)
\(f(x) = x ^2 + 3\),\(g(x) = \sqrt{5 + x^2} \)