4.7: Domínio e alcance de uma função
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O domínio de uma função são todos os valores possíveis de x que podem ser usados como entrada para a função, o que resultará em um número real como saída. O intervalo de uma função é o conjunto de todos os valores de saída possíveis de uma função.
Encontre o domínio e o intervalo da seguinte função:
\(f(x) = 5x + 3 \)
Solução
Qualquer número real, negativo, positivo ou zero pode ser substituído por x na função dada. Portanto, o domínio da função\(f(x) = 5x + 3 \) é todo número real, ou conforme escrito em notação de intervalo, é:\(D:(−\infty , \infty )\). Como a função\(f(x) = 5x + 3\) é um polinômio de grau 1, ela é uma linha reta (sem quebras ou furos).
O intervalo de qualquer polinômio de grau 1 são todos números reais ou escritos em notação de intervalo, é:\(R:(−\infty , \infty )\).
Encontre o domínio e o intervalo da seguinte função:
\(g(x) = 2\sqrt{ x − 4}\)
Solução
Preste atenção na parte da raiz quadrada dessa função. O radicando (o que está dentro da raiz quadrada) não deve ser negativo. Defina o radicando maior ou igual a zero para encontrar o domínio:
\(\begin{aligned} x − 4 &\geq 0 && \text{Set the radicand greater than or equal to 0 }\\ x &\geq 4 &&\text{ Solve the inequality } \\ D&:[4, \infty ) &&\text{Write the solution in interval notation }\end{aligned}\)
Portanto, o domínio da função\(g(x) = 2\sqrt{ x − 4}\) são todos números reais no intervalo de\([4, \infty )\), que é escrito\(D:[4, \infty )\).
Para encontrar o intervalo de\(g(x) = 2\sqrt{ x − 4}\), vamos observar o comportamento da função para diferentes valores de x que estão no domínio.
Deixe\(x = 4\)\(g(4) = 2\sqrt{ 4 − 4}\), então\(g(4) = 0\).
Deixe\(x = 5\)\(g(5) = 2\sqrt{ 5 − 4}\), então\(g(5) = 2\).
Deixe\(x = 8\)\(g(8) = 2\sqrt{ 8 − 4}\), então\(g(8) = 4\).
Qualquer valor não negativo escolhido para x resultará em um valor não negativo para\(g(x)\). Os valores da função para o intervalo (a saída da função\(g(x)\)) são números não negativos, escritos como\(R:[0, \infty )\).
Encontre o domínio e o intervalo da seguinte função:
\(h(x) = −2x^2 + 4x − 9\)
Solução
Qualquer número real, negativo, positivo ou zero pode substituir x na função dada.
Portanto, o domínio da função\(h(x) = 2x^2 + 4x − 9\) é todo número real, ou conforme escrito em notação de intervalo, é:\(D:(−\infty , \infty )\).
Como a função\(h(x) = 2x^2 + 4x − 9\) é quadrática de grau 2, quando representada graficamente, é uma parábola (sem quebras ou furos). Identifique duas coisas sobre essa parábola:
- Para que lado ele se abre, para cima ou para baixo? e
- Onde está o vértice?
O sinal do coeficiente do termo principal da função quadrática (\(2x^2\)) mostra para que lado a parábola se abre. O coeficiente é 2 e, como é positivo, a função quadrática se abre para cima.
Agora encontre o vértice. O valor y do par ordenado por vértices mostrará onde o intervalo começa.
O vértice é\(\left(−\dfrac{b}{2a} , f\left( −\dfrac{b}{2a} \right)\right)\), com\(a = 2\)\(b = 4\) e.
O vértice é\(\left(− \dfrac{4 }{2∗2} , f \left(− \dfrac{4 }{2∗2}\right)\right)\)
O vértice é\((− 1, f(− 1))\), que é\((− 1, 2 ∗ (−1)^2 − 9))\) ou\((− 1, −11)\)
O alcance começará em −11 e continuará aumentando, já que a parábola se abre para cima. \(R:[-11, \infty)\)
Encontre o domínio e o intervalo da seguinte função:
\(j(x) = \vert z − 6 \vert − 3\)
Solução
Essa função contém um valor absoluto. Qualquer valor pode ser escolhido para\(z\), então o domínio da função é todo em números reais ou, conforme escrito em notação de intervalo, é:\(D:(−\infty , \infty )\)
Para encontrar o intervalo, examine o interior dos símbolos de valor absoluto. Essa quantidade sempre\(\vert z−6 \vert\) será 0 ou um número positivo, para qualquer valor de z. Primeiro, descubra o que torna a expressão z−6 igual a zero, que é o número 6.
\(\begin{aligned} j(x) &= \vert z − 6 \vert − 3 &&\text{ Original function } \\ j(x) &= \vert 6 − 6 \vert − 3 && \text{Replace z with 6 } \\j(x) &= \vert 0 \vert − 3 && \text{Simplify } \\ j(x) &= −3 && j(x) \text{ is } −3 \end{aligned}\)
Portanto, o intervalo da função\(j(x) = \vert z − 6 \vert − 3\) é −3 ou superior, ou conforme escrito em notação de intervalo, é:\(R:[-3, \infty)\)
É mais difícil trabalhar com alguns tipos de funções. Aqui estão alguns exemplos de funções em que o domínio pode ser encontrado, mas o intervalo seria muito difícil de encontrar e fora do escopo deste curso:
Encontre o domínio das seguintes funções:
\(f(x) = \dfrac{x − 4 }{x^2 − 2x − 15 }\)
Solução
Com qualquer função racional (um quociente de polinômios), esteja ciente da divisão por 0. Defina o polinômio denominador igual a 0 e resolva.
\(\begin{aligned} x^2 − 2x − 15 &= 0 &&\text{Set the denominator function equal to } 0 \\ (x − 5)(x + 3) &= 0 &&\text{Factor the quadratic equation } \\ x − 5 &= 0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero } \\ x &= 5 &&\text{Solve the first binomial factor } \\ x + 3 &= 0 &&\text{Set the second binomial factor equal to zero } \\ x &= −3 &&\text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}\)
Existem duas soluções para a equação quadrática, 5 e −3.
Esses valores devem ser excluídos do domínio, porque se\(x\) for 5 ou −3, o denominador será igual a zero.
A divisão por zero é indefinida. O domínio da função\(f(x) = x − 4 x^2 − 2x − 15\) é\((−\infty , −3) \cup (−3, −5) \cup (−5, \infty )\).
Encontre o domínio da seguinte função:
\(g(x) = \dfrac{x }{x^2 − 9}\)
Solução
Mais uma vez, essa é uma função racional, e a preocupação é evitar a divisão por 0. Defina a função denominadora igual a 0 e resolva.
\(\begin{aligned} x^{2}-9&=0 && \text { Set the denominator function equal to } 0 \\ (x-3)(x+3)&=0 &&\text{Factor the quadratic equation} \\ x-3&=0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero} \\ x&=3 &&\text{Solve the first binomial factor}\\ x+3&=0 && \text{Set the second binomial factor equal to zero} \\ x&=-3 && \text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}\)
Existem duas soluções para a equação quadrática, 3 e −3. Esses valores devem ser excluídos do domínio, porque se\(x\) for 3 ou −3, o denominador será igual a zero. A divisão por zero é indefinida. O domínio da função\(g(x) =\dfrac{ x}{ x^2 − 9 }\) é\((−\infty , −3) \cup (−3, 3) \cup (3, \infty )\).
Encontre o domínio da seguinte função:
\(g(t) = \sqrt{6 + t − t^2}\)
Solução
O radicando dessa função de raiz quadrada não deve ser negativo. Defina o radicando maior ou igual a 0 e resolva.
\(\begin{aligned} 6 + t − t^2 &\geq 0 &&\text{Set the radicand equal to }0 \\ −t^2 + t + 6 &\geq 0 &&\text{Rewrite the function with the leading term first } \\ (−t + 3)(t + 2) &= 0 && \text{Factor the quadratic equation } \\−t + 3 &= 0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero } \\ t &= 3 && \text{Solve the first binomial factor } \\ t + 2 &= 0 &&\text{Set the second binomial factor equal to zero } \\ t &= −2 &&\text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}\)
Existem dois valores que farão com que o radicando dessa raiz quadrada funcione zero, 3 e −2.
Como o radicando não deve ser negativo, teste as regiões entre as soluções encontradas.
Se\(x < −2\), por exemplo, −4,\(g(−4) = \sqrt{6 + (−4) − (−4)^2}\) for negativo, o que não é permitido para o radicando.
Se\(x\) estiver entre −2 e 3, por exemplo, 0,\(g(0) = \sqrt{6 + (0) − (0)^2}\) é positivo. Essa região entre −2 e 3 estará no domínio da função.
Há mais uma região para verificar, onde\(x > 3\). Deixe\(x = 4\). \(g(4) = \sqrt{ 6 + (4) − (4)^2}\)é negativo, o que não é permitido para o radicando. O domínio da função\(g(t) = \sqrt{6 + t − t^2}\) é\([−2, 3]\)
Encontre o domínio e o intervalo das seguintes funções:
- \(f(x) = x ^2 − 8x + 12\)
- \(g(x) = \sqrt{x + 10}\)
- \(h(x) = \vert − 2x + 1\vert\)
Encontre o domínio das seguintes funções:
- \(f(x) = \dfrac{6x + 7 }{5x + 2}\)
- \(f(x) = \dfrac{2x }{2x^2 + 3x − 20}\)
- \(f(x) =\dfrac{ 4x + 11 }{x^2 + 6x + 9}\)
- \(f(x) = \dfrac{3x }{x^2 − 5x − 14}\)
- \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{ 6x^2 − x − 2}\)
- \(f(x) = \dfrac{−6 }{25x^2 − 4}\)