4.6: Funções polinomiais
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Uma função polinomial é uma função que pode ser escrita na forma geral:
\(f(x) = a_n x^n + a_{n−1} x^{n−1 }+ ... + a_1x + a_0\)
para\(n\) um inteiro não negativo, chamado grau do polinômio. Os coeficientes\(a_0\),\(a_1\),\(\ldots\), an são números reais com coeficiente inicial\(a_n \neq 0\) a. O domínio de uma função polinomial é\((−\infty , \infty )\). O gráfico de uma função polinomial de grau\(n\) pode cruzar o eixo x na maioria das\(n\) vezes. Essas são as raízes da função polinomial.
Não há exemplos ou trabalhos de casa nesta seção.
Funções quadráticas
\(f(x) = ax^2 + bx + c\)onde\(a\neq 0\)
é uma função quadrática na forma padrão e seu gráfico é uma parábola. Quando o coeficiente principal,\(a\), é positivo, o gráfico da função quadrática se abre para cima. Quando o coeficiente principal,\(a\), é negativo, o gráfico da função quadrática se abre para baixo.
Esboce um gráfico de\(f(x) = −x^2 + 5x + 3\) em um sistema de coordenadas retangular. Encontre o vértice, o (s) intercepto (s) x e o intercepto y algebricamente.
Solução
Encontre o vértice calculando\(\left(\dfrac{-b}{2 a}, f\left(\dfrac{-b}{2 a}\right)\right)\) com\(a = −1\),\(b = 5\)\(c = 3\) e.
\ (\ begin {aligned}
\ left (\ dfrac {-b} {2 a}, f\ left (\ dfrac {-b} {2 a}\ right)\ right) &=&&\ text {Encontre o vértice da parábola}\\
\ dfrac {-5} {2 (-1)} &=\
\ dfrac {5} {2} &=2.5 &&\ text {Simplifique}\\
\ dfrac {-5} {2 (-1)} &=2,5\\
f (2,5) &=- (2,5) ^ {2} +5 (2,5) +3=9,25=&& f\ left (\ dfrac {-b} {2 a}\ direita) =9,25\\\ esquerda (\ dfrac {-b} {2 a}, f\ left (\ dfrac {-b} {2 a}\ direita)\ direita) & =( 2,5,9,9 25) &&\ text {Vértice da parábola}
\ end {alinhado}\)
Para encontrar as interceptações:
\ (\ begin {aligned} 0&=-x^ {2} +5 x+3 &&\ text {x-intercept, set} f (x) =0\\ 0&=-x^ {2} +5 x+3 &&\ text {Use a fórmula quadrática para resolver essa equação (ela não pode ser fatorada). Seja} a=-1, b=5, c=3\\ x&=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {(5) ^ {2} -4 (-1) (3)} {2 (-1)} &&\ text {Fórmula quadrática
}\\ x&=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {37}} {-2} &&\ text {Simplifique\\
x&=-0.54\ text {or} x=5.54 &&\ text {Essa função quadrática tem duas raízes (interceptos x). }\\ f (0) &=-0^ {2} +5 (0) +3 &&\ text {intercepto y, conjunto} x=0\\ f (0) &=3 &&\ texto {intercepto y}\ end {alinhado}\)
Faça um gráfico dos quatro pares ordenados e calcule mais pares ordenados, se necessário:\((2.5, 9.25)\)\((−.54, 0)\),,\((5.54, 0)\),\((0, 3)\).
- \(f(x) = 2x ^2 − 5x − 5\)
- \(f(x) = 0.5x ^2 − 6x + 21\)
- \(f(x) = −4x ^2 − 8x − 3\)
- \(f(x) = −4x^ 2 + 16x − 15\)
- \(f(x) = x^ 2 − 8x + 12\)
- \(f(x) = −7x^ 2 + 100x − 10\)
Funções cúbicas e de ordem superior
Uma função cúbica é uma função polinomial de terceiro grau que pode ser escrita na forma geral:
\(f(x) = a_3x^ 3 + a_2x^2 + a_1x + a_0\)
com 3 como o grau da função cúbica. Os coeficientes\(a_0\),,\(a_1\)\(a_2\),\(a_3\) são números reais com coeficiente inicial\(a_3 \neq 0\). O domínio de uma função cúbica é\((−\infty , \infty )\).
Fatore, se possível, e represente graficamente a função criando uma tabela de soluções:
\(f(x) = x^3 − 4x^2 + 6x − 1\)
Solução
Esse polinômio é de grau 3 e é difícil de fatorar. Crie uma tabela de soluções para representar graficamente.
| Tabela de soluções para\(f(x) = x^3 − 4x^2 + 6x − 1\) | |
| \(x\) | \(f(x)\) |
| -2 | \(f(−2) = (−2)^3 − 4(−2)^2 + 6(−2) − 1 = −37\) |
| -1 | \(f(−1) = (−1)^3 − 4(−1)^2 + 6(−1) − 1 = −12\) |
| 0 | \(f(0) = (0)^3 − 4(0)^2 + 6(0) − 1 = −1\) |
| 1 | \(f(1) = (1)^3 − 4(1)^2 + 6(1) − 1 = 2\) |
| 2 | \(f(2) = (2)^3 − 4(2)^2 + 6(2) − 1 = 3\) |
Fatore, se possível, e represente graficamente a função criando uma tabela de soluções:
\(g(x)=x^4-16\)
Solução
Esse polinômio é de grau 4 e, como é uma diferença de quadrados, ele pode ser fatorado em um produto de binômios para encontrar os zeros do polinômio. Crie uma tabela de soluções para representar graficamente.
\(\begin{aligned} g(x)&=\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}+4\right) && \text{Factoring into the sum and difference of binomials.} \\ g(x)&=(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right) && \text{Further factoring. Set each binomial equal to zero to find the real number zeroes of the polynomial.} \\ x-2&=0, x=2 && \text{The first real number zero of the polynomial, }(2,0) \\ x+2&=0, x=-2 &&\text{The second real number zero of the polynomial, } (2,0) \\ x^{2}+4&=0, x^{2}=-4 && \text{The third binomial factor does not produce real number zeroes, } \\ & &&\text{because no number squared can result in a negative value.} \end{aligned}\)
| Tabela de soluções para\(g(x)=x^4-16\) | |
| \(x\) | \(g(x)\) |
| -2 | \(g(−2) = (−2)^4 − 16 = 16 − 16 = 0\) |
| -1 | \(g(−1) = (−1)^4 − 16 = 1 − 16 = −15\) |
| 0 | \(g(0) = (0)^4 − 16 = 0 − 16 = −16\) |
| 1 | \(g(1) = g(1) = (1)^4 − 16 = 1 − 16 = −15\) |
| 2 | \(g(2) = g(2) = (2)^4 − 16 = 16 − 16 = 0\) |
Fatore, se possível, e represente graficamente a função criando uma tabela de soluções:
\(f(x) = x ^6 − 5x ^2 + 3\)
Solução
Esse polinômio é de grau 6 e é difícil de fatorar. Crie uma tabela de soluções para representar graficamente.
| Tabela de soluções para\(f(x) = x ^6 − 5x ^2 + 3\) | |
| \(x\) | \(f(x)\) |
| -2 | \(f(−2) = (−2)^6 − 5(−2)^2 + 3 = 47\) |
| -1 | \(f(−1) = (−1)^6 − 5(−1)^2 + 3 = −1\) |
| 0 | \(f(0) = (0)^6 − 5(0)^2 + 3 = 3\) |
| 1 | \(f(1) = (1)^6 − 5(1)^2 + 3 = −1\) |
| 2 | \(f(2) = (2)^6 − 5(2)^2 + 3 = 47\) |
- \(f(x) = x^3 − 27\)
- \(g(x) = 81x ^4 − 16\)
- \(h(x) = 2x ^5 − 4x ^2 − 6x + 3\)
- \(f(x) = 5x ^6 − 6x ^4 + 5\)
Funções racionais
Uma função racional é uma função que pode ser escrita como um quociente de polinômios.
\(f(x) = \dfrac{P (x) }{Q(x) }\),\(Q(x) \neq 0\)
onde\(P(x)\) e\(Q(x)\) são polinômios em uma variável\(x\). O domínio é o conjunto de todos os números reais, tais como\(Q(x) \neq 0\).
Para a função,\(f(x) = \dfrac{9 }{x − 3}\):
- Faça um gráfico da função
- Avalie a função para\(x = 0\) e\(x = 2\)
Solução
Preste atenção ao domínio dessa função. A divisão por zero é indefinida, então os números que farão com que o denominador 0 sejam excluídos do domínio.
Nesse problema,\(x − 3\) está no denominador da função. Defina\(x − 3 = 0\) e resolva para\(x\). Se\(x = 3\) a divisão for indefinida, exclua o número 3 do domínio da função. Pense nisso como sempre começando com todos os números reais\((−\infty , \infty )\) e depois removendo os valores que causarão uma divisão indefinida.
O domínio dessa função é\((−\infty , 3) \cup (3, \infty )\).
As funções racionais geralmente têm assíntotas, uma linha que se aproxima continuamente de uma determinada curva, mas não a encontra a nenhuma distância finita. Você aprenderá sobre assíntotas na seção Desenho de Curvas do Math 162.
O gráfico dessa função pode ser encontrado fazendo uma tabela de soluções:
| Tabela de soluções para\(f(x) = \dfrac{9 }{x − 3}\) | Domínio:\((−\infty , 3) \cup (3, \infty )\) |
| \(x\) | \(f(x)\) |
| -4 | \(-\dfrac{9}{7}\) |
| -3 | \(-\dfrac{3}{2}\) |
| -2 | \(-\dfrac{9}{5}\) |
| -1 | \(-\dfrac{9}{4}\) |
| 0 | \(-3\) |
| 1 | \(-\dfrac{9}{2}\) |
| 2 | \(-9\) |
Para a função,\(f(x) = \dfrac{100x}{ x^2 − 3x − 4}\)
- Faça um gráfico da função
- Avalie a função para\(x = −1\) e\(x = 3\)
Solução
Preste atenção ao domínio dessa função. A divisão por zero é indefinida, então os números que farão com que o denominador 0 sejam excluídos do domínio.
Nesse problema,\(x^2 − 3x − 4\) está no denominador da função. Fator a expressão quadrática para obter\((x − 4)(x + 1)\) e definir cada fator igual a zero e resolver por\(x\):\(x − 4 = 0\), so\(x = 4\);\(x + 1 = 0\), so\(x = −1\). Se\(x = 4\) ou\(x = −1\), a divisão é indefinida, então exclua os números 4 e −1 do domínio da função. Pense nisso como sempre começando com todos os números reais\((−\infty , \infty )\) e depois removendo os valores que resultarão em uma divisão indefinida.
O domínio dessa função é\((−\infty , −1) \cup (−1, 4) \cup (4, \infty )\). O gráfico dessa função pode ser encontrado fazendo uma tabela de soluções:
| Tabela de soluções para\(f(x) = \dfrac{100x}{ x^2 − 3x − 4}\) | Domínio:\((−\infty , −1) \cup (−1, 4) \cup (4, \infty )\) |
| \(x\) | \(f(x)\) |
| -4 | −16,667 |
| -3 | −21,429 |
| -2 | −33,33 |
| -1 | indefinida |
| 0 | 0 |
| 1 | −16,667 |
| 2 | −33,33 |
| 3 | -75 |
| 4 | indefinida |
- \(f(x) = \dfrac{3x + 6 }{x − 1}\)
- \(f(x) = \dfrac{9 }{x^2 − 9}\)
- \(f(x) = \dfrac{x^ 2 − 4 }{x^2 − 4x}\)