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4.5: Funções de valor absoluto

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Para representar graficamente funções de valor absoluto\(x\), escolha valores pequenos de e calcule o valor\(f(x)\) de da função dada para criar pares ordenados. Três pares ordenados é a quantidade mínima necessária para representar graficamente uma função de valor absoluto. Tenha cuidado, pois um par ordenado deve representar o vértice, o ponto onde os lados esquerdo e direito da função se encontram. Para representar graficamente corretamente a forma da função de valor absoluto, o vértice deve ser encontrado.

    \(f(x) = a\vert x − h\vert+ k\)Forma geral de uma função de valor absoluto, com vértice\((h,k)\)

    • \(a\)determina a largura e a orientação (voltadas para cima ou para baixo) da função.
    • \(h\)é a mudança horizontal da origem.
    • \(k\)é a mudança vertical da origem.

    Comece identificando o par ordenado do vértice e, em seguida, encontre um par ordenado à esquerda da origem e à direita da origem. Escolha um valor x uma unidade à esquerda do valor x da origem,\(f(x)\) calcule e escolha um valor x uma unidade à direita do valor x da origem e calcule\(f(x)\). O gráfico será semelhante a um\(V\), voltado para cima ou para baixo, dependendo do sinal de\(a\).

    Exemplo Template:index

    Crie uma tabela de soluções e represente graficamente a seguinte função de valor absoluto:

    \(f(x) = \vert x − 4\vert\)

    Solução

    Comparando essa função com a forma geral de funções de valor absoluto (mostrada acima),\(a = 1\),\(h = 4\),\(k = 0\). O vértice é\((h, k)\) ou\((4, 0)\).

    Para encontrar mais dois pares ordenados, escolha\(x = 3\) e\(x = 5\), em seguida, calcule os valores de\(f(x)\).

    clipboard_e4c9bfc2e550aa369ba89481f9ab5d4fb.png
    Figura Template:index
    Tabela de soluções para\(f(x) = \vert x − 4\vert\)
    \(x\) \(f(x)\)
    \ (x\) ">3 \ (f (x)\) ">\(f(3) = \vert 3 − 4\vert = \vert − 1\vert = 1\)
    \ (x\) ">4 \ (f (x)\) ">\(f(4) = \vert 4 − 4\vert = \vert 0\vert = 0\)
    \ (x\) ">5 \ (f (x)\) ">\(f(5) = \vert 5 − 4\vert = \vert 1\vert = 1\)
    Exemplo Template:index

    Crie uma tabela de soluções e represente graficamente a seguinte função de valor absoluto:

    \(g(x) = \vert x + 2\vert − 5\)

    Solução

    Comparando essa função com a forma geral de funções de valor absoluto (mostrada acima),\(a = 1\),\(h = −2\),\(k = −5\). O vértice é (h, k)\) ou\((−2, −5)\).

    Para encontrar mais dois pares ordenados, escolha\(x = −3\) e\(x = −1\), em seguida, calcule os valores de\(g(x)\)

    clipboard_e4ca56e46ab74be7e1b0eaaea223f1a1d.png
    Figura Template:index
    Tabela de soluções para\(g(x) = \vert x + 2\vert − 5\)
    \(x\) \(g(x)\)
    -3 \(g(−3) = \vert − 3 + 2\vert − 5 = \vert − 1\vert − 5 = 1 − 5 = −4\)
    -2 \(g(−2) = \vert − 2 + 2\vert − 5 = \vert 0\vert − 5 = 0 − 5 = −5\)
    -1 \(g(−1) = \vert − 1 + 2\vert − 5 = \vert 1\vert − 5 = 1 − 5 = −4\)
    Exemplo Template:index

    Crie uma tabela de soluções e represente graficamente a seguinte função de valor absoluto:

    \(h(x) = 3\vert x − 5\vert + 1\)

    Solução

    Comparando essa função com a forma geral de funções de valor absoluto (mostrada acima),\(a = 3\),\(h = 5\),\(k = 1\). O vértice é\((h, k)\) ou\((5, 1)\).

    Para encontrar mais dois pares ordenados, escolha\(x = 4\) e\(x = 6\), em seguida, calcule os valores de\(h(x)\).

    clipboard_ee43f5a639ef847eb9b27a95bb4052b84.png
    Figura Template:index
    Tabela de soluções para\(h(x) = 3\vert x − 5\vert + 1\)
    \(x\) \(h(x)\)
    4 \(g(−3) = \vert − 3 + 2\vert − 5 = \vert − 1\vert − 5 = 1 − 5 = −4\)
    5 \(g(−2) = \vert − 2 + 2\vert − 5 = \vert 0\vert − 5 = 0 − 5 = −5\)
    6 \(g(−1) = \vert − 1 + 2\vert − 5 = \vert 1\vert − 5 = 1 − 5 = −4\)
    Exemplo Template:index

    Crie uma tabela de soluções e represente graficamente a seguinte função de valor absoluto:

    \(h(x) = \dfrac{1}{2} \vert x − 2\vert + 3\)

    Solução

    Comparando essa função com a forma geral de funções de valor absoluto (mostrada acima),\(a = \dfrac{1}{2} \),\(h = 2\),\(k = 3\). O vértice é\((h, k)\) ou\((2, 3)\).

    Para encontrar mais dois pares ordenados, escolha\(x = 1\) e\(x = 3\), em seguida, calcule os valores de\(h(x)\).

    clipboard_ecc69da60d6771932018e42e8e7a5cdda.png
    Figura Template:index
    Tabela de soluções para\(h(x) = \dfrac{1}{2} \vert x − 2\vert + 3\)
    \(x\) \(h(x)\)
    1 \(h(1) = \dfrac{1}{2} \vert 1 − 2\vert + 3 = \dfrac{1}{2} \vert − 1\vert + 3 = \dfrac{1}{2} (1) + 3 = 3\dfrac{1}{2}\)
    2 \(h(2) = \dfrac{1}{2} \vert 2 − 2\vert + 3 = \dfrac{1}{2} \vert 0\vert + 3 = 0 + 3 = 3\)
    3 \(h(3) = \dfrac{1}{2} \vert 3 − 2\vert + 3 = \dfrac{1}{2} \vert 1\vert + 3 = \dfrac{1}{2} (1) + 3 = 3\dfrac{1}{2}\)
    Exercício Template:index

    Crie uma tabela de soluções e represente graficamente as seguintes funções de valor absoluto:

    1. \(f(x) = \vert x + 6\vert\)
    2. \(g(x) = \dfrac{1}{3} \vert x − 3\vert + 5\)
    3. \(h(x) = 4\vert x + 2\vert + 2\)
    4. \(f(x) = \vert x − 1\vert − 5\)