3.5: Representar graficamente desigualdades lineares em duas variáveis
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Ao final desta seção, você poderá:
- Verifique as soluções para uma desigualdade em duas variáveis.
- Reconheça a relação entre as soluções de uma desigualdade e seu gráfico.
- Representar graficamente desigualdades lineares em duas
- Resolva aplicações usando inequações lineares em duas variáveis
Antes de começar, faça este teste de prontidão.
Verificar soluções para uma desigualdade em duas variáveis
Anteriormente, aprendemos a resolver desigualdades com apenas uma variável. Agora aprenderemos sobre desigualdades contendo duas variáveis. Em particular, examinaremos as desigualdades lineares em duas variáveis que são muito semelhantes às equações lineares em duas variáveis.
As desigualdades lineares em duas variáveis têm muitas aplicações. Se você dirigisse uma empresa, por exemplo, gostaria que sua receita fosse maior do que seus custos, para que sua empresa tivesse lucro.
Uma desigualdade linear é uma desigualdade que pode ser escrita em uma das seguintes formas:
\( \begin{array} {l} { }& {Ax+By>C} &{Ax+By\geq C} &{Ax+By<C} &{Ax+By\leq C} \\ \end{array} \)
Onde A e B não são ambos zero.
Lembre-se de que uma desigualdade com uma variável tinha muitas soluções. Por exemplo, a solução para a desigualdade x>3x>3 é qualquer número maior que 3. Mostramos isso na reta numérica sombreando a reta numérica à direita de 3 e colocando um parêntese aberto em 3. Veja a Figura.

Da mesma forma, as desigualdades lineares em duas variáveis têm muitas soluções. Qualquer par ordenado (x, y) (x, y) que torne uma desigualdade verdadeira quando substituímos os valores é uma solução para uma desigualdade linear.
Um par ordenado\((x,y)\) é uma solução para uma desigualdade linear se a desigualdade for verdadeira quando substituímos os valores de x e y.
Determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade y>x+4:y>x+4:
ⓐ (0,0) (0,0) ⓑ (1,6) (1,6) ⓒ (2,6) (2,6) ⓓ (−5, −15) (−5, −15) ⓔ (−8,12) (−8,12)
- Resposta
-
ⓐ
\((0,0)\) Simplifique. Então, não\((0,0)\) é uma solução para\(y>x+4\).
ⓑ
\((1,6)\) Simplifique. Então,\((1,6)\) é uma solução para\(y>x+4\). ⓒ
\((2,6)\) Simplifique. Então, não\((2,6)\) é uma solução para\(y>x+4\). ⓓ
\((−5,−15)\) Simplifique. Então, não\((−5,−15)\) é uma solução para\(y>x+4\). ⓔ
\((−8,12)\) Simplifique. Então,\((−8,12)\) é uma solução para\(y>x+4\).
Determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade\(y>x−3\):
ⓐ\((0,0)\) ⓑ\((4,9)\) ⓒ\((−2,1)\) ⓓ\((−5,−3)\) ⓔ\((5,1)\)
- Resposta
-
ⓐ sim ⓑ sim ⓒ sim ⓓ sim ⓔ não
Determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade\(y<x+1\):
ⓐ\((0,0)\) ⓑ\((8,6)\) ⓒ\((−2,−1)\) ⓓ\((3,4)\) ⓔ\((−1,−4)\)
- Resposta
-
ⓐ sim ⓑ sim ⓒ não ⓓ não ⓔ sim
Reconhecer a relação entre as soluções de uma desigualdade e seu gráfico
Agora, veremos como as soluções de uma desigualdade se relacionam com seu gráfico.
Vamos pensar novamente na reta numérica mostrada anteriormente. O ponto\(x=3\) separou essa reta numérica em duas partes. Em um lado de 3 estão todos os números menores que 3. No outro lado de 3, todos os números são maiores que 3. Veja a Figura.

Da mesma forma, a linha\(y=x+4\) separa o plano em duas regiões. Em um lado da linha estão os pontos com\(y<x+4\). Do outro lado da linha estão os pontos com\(y>x+4\). Chamamos a linha\(y=x+4\) de linha limite.
A linha com equação\(Ax+By=C\) é a linha limite que separa a região onde\(Ax+By>C\) da região onde\(Ax+By<C\).
Para uma desigualdade em uma variável, o ponto final é mostrado com um parêntese ou um colchete, dependendo se a está ou não incluído na solução:
Da mesma forma, para uma desigualdade em duas variáveis, a linha limite é mostrada com uma linha sólida ou tracejada para mostrar se a linha está ou não incluída na solução.
\[ \begin{array} {ll} {Ax+By<C} &{Ax+By\leq C} \\ {Ax+By>C} &{Ax+By\geq C} \\ {\text{Boundary line is }Ax+By=C.} &{\text{Boundary line is }Ax+By=C.} \\ {\text{Boundary line is not included in solution.}} &{\text{Boundary line is not included in solution.}} \\ {\textbf{Boundary line is dashed.}} &{\textbf{Boundary line is solid.}} \\ \nonumber \end{array} \]
Agora, vamos dar uma olhada no que encontramos no Example. Começaremos representando graficamente a linha e\(y=x+4\), em seguida, traçaremos os cinco pontos que testamos, conforme mostrado no gráfico. Veja a Figura.

No exemplo, descobrimos que alguns dos pontos eram soluções para a desigualdade\(y>x+4\) e outros não.
Quais dos pontos traçados são soluções para a desigualdade\(y>x+4\)?
Os pontos\((1,6)\) e\((−8,12)\) são soluções para a desigualdade\(y>x+4\). Observe que ambos estão do mesmo lado da linha limite\(y=x+4\).
Os dois pontos\((0,0)\)\((−5,−15)\) estão do outro lado da linha\(y=x+4\) limite e não são soluções para a desigualdade\(y>x+4\). Para esses dois pontos,\(y<x+4\).
E quanto ao ponto\((2,6)\)? Porque\(6=2+4\), o ponto é uma solução para a equação\(y=x+4\), mas não uma solução para a desigualdade\(y>x+4\). Portanto, o ponto\((2,6)\) está na linha limite.
Vamos pegar outro ponto acima da linha limite e testar se é ou não uma solução para a desigualdade\(y>x+4\). O ponto parece\((0,10)\) claramente acima da linha limite, não é? É uma solução para a desigualdade?
\[\begin{array} {lll} {y} &{>} &{x+4} \\ {10} &{\overset{?}{>}} &{0+4} \\ {10} &{>} &{4} \\ \nonumber \end{array}\]
Então,\((0,10)\) é uma solução para\(y>x+4\).
Qualquer ponto que você escolher acima da linha limite é uma solução para a desigualdade\(y>x+4\). Todos os pontos acima da linha limite são soluções.
Da mesma forma, todos os pontos abaixo da linha limite, o lado com\((0,0)\) e\((−5,−15)\), não são soluções para\(y>x+4\), conforme mostrado na Figura.

O gráfico da desigualdade\(y>x+4\) é mostrado abaixo.
A linha\(y=x+4\) divide o plano em duas regiões. O lado sombreado mostra as soluções para a desigualdade\(y>x+4\).
Os pontos na linha limite, aqueles em que\(y=x+4\), não são soluções para a desigualdade\(y>x+4\), então a linha em si não faz parte da solução. Mostramos isso tornando a linha tracejada, não sólida.
A linha limite mostrada neste gráfico é\(y=2x−1\). Escreva a desigualdade mostrada pelo gráfico.
- Resposta
-
A linha\(y=2x−1\) é a linha limite. De um lado da linha estão os pontos com\(y>2x−1\) e do outro lado da linha estão os pontos com\(y<2x−1\).
Vamos testar o ponto\((0,0)\) e ver qual desigualdade descreve sua posição em relação à linha limite.
Em\((0,0)\), qual desigualdade é verdadeira:\(y>2x−1\) ou\(y<2x−1\)?
\[\begin{array} {ll} {y>2x−1} &{y<2x−1} \\ {0\overset{?}{>}2·0−1} &{0\overset{?}{<}2·0−1} \\ {0>−1\text{ True}} &{0<−1\text{ False}} \\ \nonumber \end{array}\]
\(y>2x−1\)Pois, é verdade, o lado da linha com\((0,0)\), é a solução. A região sombreada mostra a solução da desigualdade\(y>2x−1\).
Como a linha limite é representada graficamente com uma linha sólida, a desigualdade inclui o sinal de igual.
O gráfico mostra a desigualdade\(y\geq 2x−1\).
Poderíamos usar qualquer ponto como ponto de teste, desde que não esteja na linha. Por que escolhemos\((0,0)\)? Porque é o mais fácil de avaliar. Talvez você queira escolher um ponto do outro lado da linha limite e verificar isso\(y<2x−1\).
Escreva a desigualdade mostrada pelo gráfico com a linha limite\(y=−2x+3\).
- Resposta
-
\(y\geq −2x+3\)
Escreva a desigualdade mostrada pelo gráfico com a linha limite\(y=\frac{1}{2}x−4\).
- Resposta
-
\(y\leq \frac{1}{2}x−4\)
A linha limite mostrada neste gráfico é\(2x+3y=6\). Escreva a desigualdade mostrada pelo gráfico.
- Resposta
-
A linha\(2x+3y=6\) é a linha limite. De um lado da linha estão os pontos com\(2x+3y>6\) e do outro lado da linha estão os pontos com\(2x+3y<6\).
Vamos testar o ponto\((0,0)\) e ver qual desigualdade descreve seu lado da linha limite.
Em\((0,0)\), qual desigualdade é verdadeira:\(2x+3y>6\) ou\(2x+3y<6\)?
\[\begin{array} {ll} {2x+3y>6} &{2x+3y<6} \\ {2(0)+3(0)\overset{?}{>}6} &{2(0)+3(0)\overset{?}{<}6} \\ {0>6\text{ False}} &{0<6\text{ True}} \\ \nonumber \end{array}\]
Então, o lado com\((0,0)\) é o lado onde\(2x+3y<6\).
(Talvez você queira escolher um ponto do outro lado da linha limite e verificar isso\(2x+3y>6\).)
Como a linha limite é representada graficamente como uma linha tracejada, a desigualdade não inclui um sinal de igual.
A região sombreada mostra a solução para a desigualdade\(2x+3y<6\).
Escreva a desigualdade mostrada pela região sombreada no gráfico com a linha limite\(x−4y=8\).
- Resposta
-
\(x−4y\leq 8\)
Escreva a desigualdade mostrada pela região sombreada no gráfico com a linha limite\(3x−y=6\).
- Resposta
-
\(3x−y\geq 6\)
Gráfico de desigualdades lineares em duas variáveis
Agora que sabemos como é o gráfico de uma desigualdade linear e como ele se relaciona com uma equação de limite, podemos usar esse conhecimento para representar graficamente uma determinada desigualdade linear.
Representar graficamente a desigualdade linear\(y\geq \frac{3}{4}x−2\).
- Resposta
-
Representar graficamente a desigualdade linear\(y>\frac{5}{2}x−4\).
- Resposta
-
Todos os pontos na região sombreada e na linha limite representam as soluções para\(y>\frac{5}{2}x−4\).
Representar graficamente a desigualdade linear\(y<\frac{2}{3}x−5\).
- Resposta
-
Todos os pontos na região sombreada, mas não aqueles na linha limite, representam as soluções para\(y<\frac{2}{3}x−5\).
As etapas que tomamos para representar graficamente uma desigualdade linear estão resumidas aqui.
- Identifique e represente graficamente a linha limite.
- Se a desigualdade for\ leq ou\ geq,\ leq ou\ geq, a linha limite é sólida.
- Se a desigualdade for<or>,<or>, a linha limite será tracejada.
- Teste um ponto que não esteja na linha limite. É uma solução da desigualdade?
- Sombreie em um lado da linha limite.
- Se o ponto de teste for uma solução, sombreie o lado que inclui o ponto.
- Se o ponto de teste não for uma solução, sombreie no lado oposto.
Representar graficamente a desigualdade linear\(x−2y<5\).
- Resposta
-
Primeiro, representamos graficamente a linha limite\(x−2y=5\). A desigualdade é\(<\) então que desenhamos uma linha tracejada.
Em seguida, testamos um ponto. Usaremos\((0,0)\) novamente porque é fácil de avaliar e não está na linha limite.
É\((0,0)\) uma solução de\(x−2y<5\)?
O ponto\((0,0)\) é uma solução de\(x−2y<5\), então sombreamos esse lado da linha limite.
Todos os pontos na região sombreada, mas não aqueles na linha limite, representam as soluções para\(x−2y<5\).
Representar graficamente a desigualdade linear:\(2x−3y<6\).
- Resposta
-
Todos os pontos na região sombreada, mas não aqueles na linha limite, representam as soluções para\(2x−3y<6\).
Representar graficamente a desigualdade linear:\(2x−y>3\).
- Resposta
-
Todos os pontos na região sombreada, mas não aqueles na linha limite, representam as soluções para\(2x−y>3\).
E se a linha limite passar pela origem? Então, não poderemos usar\((0,0)\) como ponto de teste. Sem problemas, vamos apenas escolher outro ponto que não esteja na linha limite.
Representar graficamente a desigualdade linear:\(y\leq −4x\).
- Resposta
-
Primeiro, representamos graficamente a linha limite\(y=−4x\). Está na forma de inclinação-intercepto, com\(m=−4\)\(b=0\) e. A desigualdade é\(\leq\) então que traçamos uma linha sólida.
Agora precisamos de um ponto de teste. Podemos ver que o ponto (1,0) (1,0) não está na linha limite.
É\((1,0)\) uma solução de\(y\leq −4x\)?
O ponto não\((1,0)\) é uma solução\(y\leq −4x\), então sombreamos no lado oposto da linha limite.
Todos os pontos na região sombreada e na linha limite representam as soluções para\(y\leq −4x\).
Representar graficamente a desigualdade linear:\(y>−3x\).
- Resposta
-
Todos os pontos na região sombreada, mas não aqueles na linha limite, representam as soluções para\(y>−3x\).
Representar graficamente a desigualdade linear:\(y\geq −2x\).
- Resposta
-
Todos os pontos na região sombreada e na linha limite representam as soluções para\(y\geq −2x\).
Algumas desigualdades lineares têm apenas uma variável. Eles podem ter um x, mas não y, ou um y, mas não x. Nesses casos, a linha limite será vertical ou horizontal.
Lembre-se de que:
\[\begin{array} {ll} {x=a} &{\text{vertical line}} \\ {y=b} &{\text{horizontal line}} \\ \nonumber \end{array}\]
Representar graficamente a desigualdade linear:\(y>3\).
- Resposta
-
Primeiro, representamos graficamente a linha limite\(y=3\). É uma linha horizontal. A desigualdade é\(>\) então que desenhamos uma linha tracejada.
Nós testamos o ponto\((0,0)\).
\[y>3\nonumber\]\[0\slashed{>}3\nonumber\]
Então, não\((0,0)\) é uma solução para\(y>3\).
Então, sombreamos o lado que não inclui\((0,0)\), conforme mostrado neste gráfico.
Todos os pontos na região sombreada, mas não aqueles na linha limite, representam as soluções para\(y>3\).
Representar graficamente a desigualdade linear:\(y<5\).
- Responda
-
Todos os pontos na região sombreada, mas não aqueles na linha limite, representam as soluções para\(y<5\).
Representar graficamente a desigualdade linear:\(y\leq −1\).
- Responda
-
Todos os pontos na região sombreada e na linha limite representam as soluções para\(y\leq −1\).
Resolva aplicativos usando desigualdades lineares em duas variáveis
Muitos campos usam desigualdades lineares para modelar um problema. Embora nossos exemplos possam ser sobre situações simples, eles nos dão a oportunidade de desenvolver nossas habilidades e ter uma ideia de como elas podem ser usadas.
Hilaria trabalha em dois empregos de meio período para ganhar dinheiro suficiente para cumprir suas obrigações de pelo menos $240 por semana. Seu trabalho no serviço de alimentação paga $10 por hora e seu trabalho de tutora no campus paga $15 por hora. Quantas horas Hilaria precisa trabalhar em cada emprego para ganhar pelo menos $240?
ⓐ Seja xx o número de horas que ela trabalha no serviço de alimentação e que y seja o número de horas que ela trabalha como tutora. Escreva uma desigualdade que modelaria essa situação.
ⓑ Faça um gráfico da desigualdade.
ⓒ Encontre três pares ordenados\((x,y)\) que seriam soluções para a desigualdade. Em seguida, explique o que isso significa para Hilaria.
- Responda
-
ⓐ Deixamos x ser o número de horas que ela trabalha no serviço de alimentação e y o número de horas que ela trabalha como tutora.
Ela ganha $10 por hora no trabalho no serviço de alimentação e $15 por hora como tutora. Em cada trabalho, o número de horas multiplicado pelo salário por hora fornecerá o valor ganho nesse trabalho.
ⓑ Para representar graficamente a desigualdade, nós a colocamos em forma de inclinação e interceptação.
\[\begin{align} {10x+15y} &\geq 240 \\ 15y &\geq -10x+240 \\ y &\geq {−\frac{2}{3}x+16} \\ \nonumber \end{align}\]
ⓒ No gráfico, vemos que os pares\((15,10)\)\((0,16)\) ordenados\((24,0)\) representam três de infinitas soluções. Verifique os valores na desigualdade.
Para Hilaria, isso significa que, para ganhar pelo menos $240, ela pode trabalhar 15 horas como tutora e 10 horas em seu emprego de fast-food, ganhar todo o seu dinheiro como tutora por 16 horas ou ganhar todo o seu dinheiro trabalhando 24 horas no serviço de alimentação.
Hugh trabalha em dois empregos de meio período. Um em uma mercearia que paga $10 por hora e o outro é babá por $13 horas. Entre os dois empregos, Hugh quer ganhar pelo menos $260 por semana. Quantas horas Hugh precisa trabalhar em cada emprego para ganhar pelo menos $260?
ⓐ Seja x o número de horas que ele trabalha no supermercado e que y seja o número de horas em que ele trabalha como babá. Escreva uma desigualdade que modelaria essa situação.
ⓑ Faça um gráfico da desigualdade.
ⓒ Encontre três pares ordenados (x, y) que seriam soluções para a desigualdade. Em seguida, explique o que isso significa para Hugh.
- Responda
-
ⓐ\(10x+13y\geq 260\)
ⓑⓒ As respostas variarão..
Veronica trabalha em dois empregos de meio período para ganhar dinheiro suficiente para cumprir suas obrigações de pelo menos $280 por semana. Seu trabalho no spa diurno paga $10 por hora e seu trabalho de assistente administrativa no campus paga $17,50 por hora. Quantas horas Veronica precisa trabalhar em cada emprego para ganhar pelo menos $280?
ⓐ Seja x o número de horas que ela trabalha no spa diurno e seja y o número de horas que ela trabalha como assistente administrativa. Escreva uma desigualdade que modelaria essa situação.
ⓑ Faça um gráfico da desigualdade.
ⓒ Encontre três pares ordenados (x, y) que seriam soluções para a desigualdade. Em seguida, explique o que isso significa para Veronica
- Responda
-
ⓐ\(10x+17.5y\geq 280\)
ⓑⓒ As respostas podem variar.
Acesse esse recurso on-line para obter instruções e práticas adicionais com a representação gráfica de desigualdades lineares em duas variáveis.
Conceitos-chave
- Como representar graficamente uma desigualdade linear em duas variáveis.
- Identifique e represente graficamente a linha limite.
Se a desigualdade for\(\leq\) ou\(\geq\), a linha limite será sólida.
Se a desigualdade for\(<\) ou\(>\), a linha limite será tracejada. - Teste um ponto que não esteja na linha limite. É uma solução da desigualdade?
- Sombreie em um lado da linha limite.
Se o ponto de teste for uma solução, sombreie o lado que inclui o ponto.
Se o ponto de teste não for uma solução, sombreie no lado oposto.
- Identifique e represente graficamente a linha limite.
Glossário
- linha de limite
- A linha com equação\(Ax+By=C\) é a linha limite que separa a região onde\(Ax+By>C\) da região onde\(Ax+By<C\).
- desigualdade linear
- Uma desigualdade linear é uma desigualdade que pode ser escrita em uma das seguintes formas:\(Ax+By>C\),\(Ax+By\geq C\),\(Ax+By<C\), ou\(Ax+By\leq C\), onde A e B não são ambos zero.
- solução para uma desigualdade linear
- Um par ordenado\((x,y)\) é uma solução para uma desigualdade linear se a desigualdade for verdadeira quando substituímos os valores de x e y.