3.2: Representar graficamente equações lineares em duas variáveis
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- 183097
Ao final desta seção, você poderá:
- Traçar pontos em um sistema de coordenadas retangular
- Representar graficamente uma equação linear traçando pontos
- Gráfico de linhas verticais e horizontais
- Encontre as\(y\) interceptações\(x\) - e -
- Faça um gráfico de uma linha usando as interceptações
Traçar pontos em um sistema de coordenadas retangulares
Assim como os mapas usam um sistema de grade para identificar localizações, um sistema de grade é usado em álgebra para mostrar uma relação entre duas variáveis em um sistema de coordenadas retangular. O sistema de coordenadas retangulares também é chamado de\(xy\) plano -ou “plano coordenado”.
O sistema de coordenadas retangulares é formado por duas linhas numéricas que se cruzam, uma horizontal e uma vertical. A linha numérica horizontal é chamada de\(x\) eixo -. A linha numérica vertical é chamada de\(y\) eixo -. Esses eixos dividem um plano em quatro regiões, chamadas quadrantes. Os quadrantes são identificados por números romanos, começando no canto superior direito e prosseguindo no sentido anti-horário. Veja a Figura\(\PageIndex{1}\).

No sistema de coordenadas retangulares, cada ponto é representado por um par ordenado. O primeiro número no par ordenado é a\(x\) coordenada -do ponto, e o segundo número é a\(y\) coordenada -do ponto. A frase “par ordenado” significa que o pedido é importante.
Um par ordenado\((x,y)\) fornece as coordenadas de um ponto em um sistema de coordenadas retangulares. O primeiro número é a\(x\) coordenada -. O segundo número é a\(y\) coordenada -.
Qual é o par ordenado do ponto em que os eixos se cruzam? Nesse ponto, ambas as coordenadas são zero, então seu par ordenado é\((0,0)\) .O ponto\((0,0)\) tem um nome especial. É chamado de origem.
O ponto\((0,0)\) é chamado de origem. É o ponto em que o\(x\) eixo -e o\(y\) eixo -se cruzam.
Usamos as coordenadas para localizar um ponto no\(xy\) plano. Vamos traçar o ponto\((1,3)\) como exemplo. Primeiro, localize 1 no\(x\) eixo -e desenhe levemente uma linha vertical\(x=1\). Em seguida, localize\(3\) no\(y\) eixo -e desenhe uma linha horizontal até\(y=3.\) Agora, encontre o ponto onde essas duas linhas se encontram, ou seja, o ponto com coordenadas\((1,3)\). Veja a Figura\(\PageIndex{2}\).

Observe que a linha vertical passando\(x=1\) e a linha horizontal não\(y=3\) fazem parte do gráfico. Nós apenas os usamos para nos ajudar a localizar o ponto\((1,3)\).
Quando uma das coordenadas é zero, o ponto fica em um dos eixos. Na Figura,\(\PageIndex{3},\) o ponto\((0,4)\) está no\(y\) eixo -e o ponto\((−2,0)\) está no\(x\) eixo -.

- Pontos com uma\(y\) coordenada -igual a\(0\) estão no\(x\) eixo -e têm coordenadas\((a,0)\).
- Pontos com uma\(x\) coordenada -igual a\(0\) estão no\(y\) eixo -e têm coordenadas\((0,b)\).
Faça um gráfico de cada ponto no sistema de coordenadas retangulares e identifique o quadrante no qual o ponto está localizado:
a.\((−5,4\)) b.\((−3,−4)\) c.\((2,−3)\) d.\((0,−1)\)\((3,\dfrac{5}{2})\) e.
Solução
O primeiro número do par de coordenadas é a\(x\) coordenada -e o segundo número é a\(y\) coordenada -. Para traçar cada ponto, desenhe uma linha vertical através da\(x\) coordenada -e uma linha horizontal através da\(y\) coordenada -. A interseção deles é o ponto.
- Desde então\(x=−5\), o ponto está à esquerda do\(y\) eixo y. Além disso\(y=4\), uma vez que o ponto está acima\(x\) do eixo. O ponto\((−5,4)\) está no Quadrante II.
- Desde então\(x=−3\), o ponto está à esquerda do\(y\) eixo y. Além disso\(y=−4\), uma vez que o ponto está abaixo\(x\) do eixo. O ponto\((−3,−4)\) está no Quadrante III.
- Uma vez que\(x=2\), o ponto está à direita\(y\) do eixo. Desde então\(y=−3\), o ponto está abaixo do\(x\) eixo -. O ponto\((2,−3)\) está no Quadrante IV.
- Desde então\(x=0\), o ponto cujas coordenadas estão\((0,−1)\) está no\(y\) eixo y.
- Uma vez que\(x=3\), o ponto está à direita\(y\) do eixo. Desde então\(y=\dfrac{5}{2})\), o ponto está acima do\(x\) eixo -. (Pode ser útil escrever\(\dfrac{5}{2})\) como um número misto ou decimal.) O ponto\((3,\dfrac{5}{2})\) está no Quadrante I.
Faça um gráfico de cada ponto em um sistema de coordenadas retangular e identifique o quadrante no qual o ponto está localizado:
a.\((−2,1)\) b.\((−3,−1)\) c.\((4,−4)\) d.\((−4,4)\) e.\((−4,\dfrac{3}{2})\)
- Responda
-
Faça um gráfico de cada ponto em um sistema de coordenadas retangular e identifique o quadrante no qual o ponto está localizado:
a.\((−4,1)\) b.\((−2,3)\) c.\((2,−5)\) d.\((−2,5)\) e.\((−3,\dfrac{5}{2})\)
- Responda
-
Os sinais da\(x\) coordenada\(y\) -e da coordenada -afetam a localização dos pontos. Você pode ter notado alguns padrões ao representar graficamente os pontos no exemplo anterior. Podemos resumir os padrões de sinais dos quadrantes desta forma:
Quadrante I | Quadrante II | Quadrante III | Quadrante IV |
\((x,y)\) | \((x,y)\) | \((x,y)\) | \((x,y)\) |
\((+,+)\) | \((−,+)\) | \((−,−)\) | \((+,−)\) |
Até agora, todas as equações que você resolveu eram equações com apenas uma variável. Em quase todos os casos, quando você resolveu a equação, obteve exatamente uma solução. Mas as equações podem ter mais de uma variável. Equações com duas variáveis podem ser da forma\(Ax+By=C\). Uma equação dessa forma é chamada de equação linear em duas variáveis.
Uma equação da forma\(Ax+By=C\), onde\(A\) e não\(B\) são ambas zero, é chamada de equação linear em duas variáveis.
Aqui está um exemplo de uma equação linear em duas variáveis,\(x\)\(y\) e.
\ (\ begin {align*} {\ color {brickRed} A} x + {\ color {RoyalBlue} B} y &= {\ color {forestgreen} C}\\ [5pt]
x+ {\ color {RoyalBlue} 4} y &= {\ color {forestgreen} 8}\ end {align*}\)
\({\color{BrickRed}A = 1}\),\({\color{RoyalBlue}B = 4}\),\({\color{forestgreen}C=8}\)
A equação também\(y=−3x+5\) é uma equação linear. Mas não parece estar no formulário\(Ax+By=C\). Podemos usar a Propriedade de Adição da Igualdade e reescrevê-la na\(Ax+By=C\) forma.
\[ \begin{array} {lrll} {} &{y} &= &{-3x+5} \\ {\text{Add to both sides.} } &{y+3x} &= &{3x+5+3x} \\ {\text{Simplify.} } &{y+3x} &= &{5} \\ {\text{Use the Commutative Property to put it in} } &{} &{} &{} \\ {Ax+By=C\text{ form.} } &{3x+y} &= &{5} \end{array} \nonumber\]
Ao reescrever\(y=−3x+5\) as\(3x+y=5\), podemos ver facilmente que é uma equação linear em duas variáveis porque é da forma\(Ax+By=C\). Quando uma equação está na forma\(Ax+By=C\), dizemos que está na forma padrão de uma equação linear.
Uma equação linear está na forma padrão quando é escrita\(Ax+By=C\).
A maioria das pessoas prefere ter\(A,\)\(B,\) e\(C\) ser números inteiros e\(A \geq 0\) ao escrever uma equação linear na forma padrão, embora isso não seja estritamente necessário.
As equações lineares têm infinitas soluções. Para cada número que é substituído,\(x\) há um\(y\) valor -correspondente. Esse par de valores é uma solução para a equação linear e é representado pelo par ordenado\((x,y)\). Quando substituímos esses valores de\(x\) e\(y\) na equação, o resultado é uma afirmação verdadeira, porque o valor no lado esquerdo é igual ao valor no lado direito.
Um par ordenado\((x,y)\) é uma solução da equação linear\(Ax+By=C\), se a equação for uma afirmação verdadeira quando os\(y\) valores\(x\) - e -do par ordenado forem substituídos na equação.
As equações lineares têm infinitas soluções. Podemos traçar essas soluções no sistema de coordenadas retangulares. Os pontos se alinharão perfeitamente em uma linha reta. Conectamos os pontos com uma linha reta para obter o gráfico da equação. Colocamos setas nas extremidades de cada lado da linha para indicar que a linha continua nas duas direções.
Um gráfico é uma representação visual de todas as soluções da equação. É um exemplo do ditado: “Uma imagem vale mais que mil palavras”. A linha mostra todas as soluções para essa equação. Cada ponto na linha é uma solução da equação. E, cada solução dessa equação está nessa linha. Essa linha é chamada de gráfico da equação. Pontos que não estão em jogo não são soluções!
O gráfico de uma equação linear\(Ax+By=C\) é uma linha reta.
- Cada ponto na linha é uma solução da equação.
- Cada solução dessa equação é um ponto nessa linha.
O gráfico de\(y=2x−3\) é mostrado.
Para cada par pedido, decida:
- O par ordenado é uma solução para a equação?
- O ponto está na linha?
R:\((0,−3)\) B:\((3,3)\) C:\((2,−3)\) D:\((−1,−5)\)
Solução:
Substitua\(y\) os valores\(x\) - e -na equação para verificar se o par ordenado é uma solução para a equação.
uma.
b. Faça um gráfico dos pontos\((0,−3)\)\((3,3)\)\((2,−3)\),,\((−1,−5)\) e.
Os pontos\((0,3)\),\((3,−3)\), e\((−1,−5)\) estão na linha\(y=2x−3\), e o ponto não\((2,−3)\) está na linha.
Os pontos que são soluções para\(y=2x−3\) estão em jogo, mas o ponto que não é uma solução não está em jogo.
Use o gráfico de\(y=3x−1\). Para cada par pedido, decida:
a. O par ordenado é uma solução para a equação?
b. O ponto está na linha?
UM\((0,−1)\) B\((2,5)\)
- Responda
-
a. sim b. sim
Use o gráfico de\(y=3x−1\). Para cada par pedido, decida:
a. O par ordenado é uma solução para a equação?
b. O ponto está na linha?
UM\((3,−1)\) B\((−1,−4)\)
- Responda
-
a. não b. sim
Representar graficamente uma equação linear traçando pontos
Existem vários métodos que podem ser usados para representar graficamente uma equação linear. O primeiro método que usaremos é chamado de plotagem de pontos ou método de plotagem de pontos. Encontramos três pontos cujas coordenadas são soluções para a equação e, em seguida, os plotamos em um sistema de coordenadas retangular. Ao conectar esses pontos em uma linha, temos o gráfico da equação linear.
Faça um gráfico da equação\(y=2x+1\) traçando pontos.
Solução:
Faça um gráfico da equação traçando pontos:\(y=2x−3\).
- Responda
-
Faça um gráfico da equação traçando pontos:\(y=−2x+4\).
- Responda
-
As etapas a serem seguidas ao representar graficamente uma equação linear traçando pontos estão resumidas aqui.
- Encontre três pontos cujas coordenadas são soluções para a equação. Organize-os em uma mesa.
- Faça um gráfico dos pontos em um sistema de coordenadas retangular. Verifique se os pontos estão alinhados. Se não o fizerem, verifique cuidadosamente seu trabalho.
- Desenhe a linha através dos três pontos. Estenda a linha para preencher a grade e coloque setas nas duas extremidades da linha.
É verdade que são necessários apenas dois pontos para determinar uma linha, mas é um bom hábito usar três pontos. Se você traçar apenas dois pontos e um deles estiver incorreto, você ainda poderá desenhar uma linha, mas ela não representará as soluções para a equação. Será a linha errada.
Se você usar três pontos e um estiver incorreto, os pontos não se alinharão. Isso indica que algo está errado e você precisa verificar seu trabalho. Veja a diferença entre essas ilustrações.
Quando uma equação inclui uma fração como coeficiente de, ainda\(x,\) podemos substituir qualquer número por\(x.\) Mas a aritmética é mais fácil se fizermos escolhas “boas” para os valores de\(x.\) Dessa forma, evitaremos respostas fracionárias, que são difíceis de representar graficamente com precisão.
Faça um gráfico da equação:\(y=\frac{1}{2}x+3\).
Solução:
Encontre três pontos que são soluções para a equação. Como essa equação tem a fração\(\dfrac{1}{2}\) como coeficiente de,\(x,\) escolheremos os valores de\(x\) com cuidado. Usaremos zero como uma opção e múltiplos de\(2\) para as outras opções. Por que múltiplos de dois são uma boa escolha para valores de\(x\)? Ao escolher múltiplos\(2\) da multiplicação por\(\dfrac{1}{2}\) simplifica para um número inteiro

Os pontos são mostrados na Tabela.
\(y=\frac{1}{2}x+3\) | ||
\(x\) | \(y\) | \((x,y)\) |
0 | 3 | \((0,3)\) |
2 | 4 | \((2,4)\) |
4 | 5 | \((4,5)\) |
Faça um gráfico dos pontos, verifique se eles estão alinhados e desenhe a linha.
Faça um gráfico da equação:\(y=\frac{1}{3}x−1\).
- Responda
-
Faça um gráfico da equação:\(y=\frac{1}{4}x+2\).
- Responda
-
Gráfico de linhas verticais e horizontais
Algumas equações lineares têm apenas uma variável. Eles podem ter apenas\(x\) e nenhum\(y,\) ou simplesmente\(y\) sem um.\(x.\) Isso muda a forma como fazemos uma tabela de valores para obter os pontos a serem traçados.
Vamos considerar a equação\(x=−3\). Essa equação tem apenas uma variável,\(x.\) A equação diz que\(x\) é sempre igual a\(−3\), então seu valor não depende de\(y.\) Não importa qual seja o valor\(y,\) do valor de\(x\) é sempre\(−3\).
Então, para criar uma tabela de valores, escreva\(−3\) para todos os\(x\) valores -. Em seguida, escolha qualquer valor para\(y.\) Uma vez\(x\) que não depende de\(y,\) você pode escolher os números que desejar. Mas para ajustar os pontos em nosso gráfico de coordenadas, usaremos 1, 2 e 3 para as\(y\) coordenadas. Veja a tabela.
\(x=−3\) | ||
\(x\) | \(y\) | \((x,y)\) |
\(−3\) | 1 | \((−3,1)\) |
\(−3\) | 2 | \((−3,2)\) |
\((−3,)\) | 3 | \((−3,3)\) |
Faça um gráfico dos pontos da tabela e conecte-os com uma linha reta. Observe que representamos graficamente uma linha vertical.
E se a equação tiver\(y\), mas não\(x\)? Vamos representar graficamente a equação\(y=4\). Desta vez, o valor y é uma constante, portanto, nesta equação,\(y\) não depende\(y\) do\(x.\) preenchimento\(4\) para todos os s na tabela e, em seguida, escolha qualquer valor para\(x.\) Nós usaremos 0, 2 e 4 para as\(x\) coordenadas.
\(y=4\) | ||
\(x\) | \(y\) | \((x,y)\) |
0 | 4 | \((0,4)\) |
2 | 4 | \((2,4)\) |
4 | 4 | \((4,4)\) |
Nesta figura, representamos graficamente uma linha horizontal passando pelo\(y\) eixo -em\(4.\)
Uma linha vertical é o gráfico de uma equação da forma\(x=a\).
A linha passa pelo\(x\) eixo -em\((a,0)\).
Uma linha horizontal é o gráfico de uma equação da forma\(y=b\).
A linha passa pelo\(y\) eixo -em\((0,b)\).
Gráfico: a.\(x=2\)\(y=−1\) b.
Solução
a. A equação tem apenas uma variável\(x,\) e\(x\) é sempre igual a\(2.\) Criamos uma tabela onde\(x\) é sempre\(2\) e, em seguida, colocamos quaisquer valores para\(y.\) O gráfico é uma linha vertical passando pelo\(x\) eixo -em\(2.\)
\(x\) | \(y\) | \((x,y)\) |
---|---|---|
\ (x\)” data-valign="middle">2 | \ (y\)” data-valign="middle">1 | \ ((x, y)\)” data-valign="médio">\((2,1)\) |
\ (x\)” data-valign="middle">2 | \ (y\)” data-valign="middle">2 | \ ((x, y)\)” data-valign="médio">\((2,2)\) |
\ (x\)” data-valign="middle">2 | \ (y\)” data-valign="middle">3 | \ ((x, y)\)” data-valign="médio">\((2,3)\) |
b. Da mesma forma, a equação\(y=−1\) tem apenas uma variável,\(y\). O valor de\(y\) é constante. Todos os pares ordenados na tabela a seguir têm a mesma\(y\) coordenada. O gráfico é uma linha horizontal passando pelo\(y\) eixo -em\(−1.\)
\(\mathbf{x}\) | \(\mathbf{ y}\) | \(\mathbf{(x,y)}\) |
---|---|---|
\ (\ mathbf {x}\)” data-valign="middle">0 | \ (\ mathbf {y}\)” data-valign="middle">\(−1\) | \ (\ mathbf {(x, y)}\)” data-valign="middle">\((0,−1)\) |
\ (\ mathbf {x}\)” data-valign="middle">3 | \ (\ mathbf {y}\)” data-valign="middle">\(−1\) | \ (\ mathbf {(x, y)}\)” data-valign="middle">\((3,−1)\) |
\ (\ mathbf {x}\)” data-valign="middle">\(−3\) | \ (\ mathbf {y}\)” data-valign="middle">\(−1\) | \ (\ mathbf {(x, y)}\)” data-valign="middle">\((−3,−1)\) |
Faça um gráfico das equações: a.\(x=5\) b. \(y=−4\).
- Responda
-
uma.
b.
Faça um gráfico das equações: a.\(x=−2\) b. \(y=3\).
- Responda
-
uma.
b.
Qual é a diferença entre as equações\(y=4x\) e\(y=4\)?
A equação\(y=4x\) tem ambos\(x\) e\(y.\) O valor de\(y\) depende do valor de\(x,\), então a\(y\) coordenada -muda de acordo com o valor de\(x.\) A equação\(y=4\) tem apenas uma variável. O valor de\(y\) é constante, não depende do valor de\(x,\), então a\(y\) coordenada -é sempre\(4.\)
Observe que, no gráfico, a equação\(y=4x\) fornece uma linha inclinada, enquanto\(y=4\) fornece uma linha horizontal.
Gráfico\(y=−3x\) e\(y=−3\) no mesmo sistema de coordenadas retangulares.
Solução:
Percebemos que a primeira equação tem a variável,\(x,\) enquanto a segunda não. Fazemos uma tabela de pontos para cada equação e, em seguida, representamos graficamente as linhas. Os dois gráficos são mostrados.

Faça um gráfico das equações no mesmo sistema de coordenadas retangulares:\(y=−4x\)\(y=−4\) e.
- Responda
-
Faça um gráfico das equações no mesmo sistema de coordenadas retangulares:\(y=3\)\(y=3x\) e.
- Responda
-
Encontre\(x\) - e\(y\) - intercepta
Cada equação linear pode ser representada por uma linha única que mostra todas as soluções da equação. Vimos que, ao representar graficamente uma linha traçando pontos, você pode usar quaisquer três soluções para representar graficamente. Isso significa que duas pessoas representando graficamente a linha podem usar conjuntos diferentes de três pontos.
À primeira vista, suas duas linhas podem não parecer iguais, pois teriam pontos diferentes rotulados. Mas se todo o trabalho foi feito corretamente, as linhas devem ser exatamente as mesmas. Uma forma de reconhecer que eles são realmente a mesma linha é observar onde a linha cruza o\(x\) eixo -e o\(y\) eixo -. Esses pontos são chamados de interceptações de uma linha.
Os pontos em que uma linha cruza o\(x\) eixo\(y\) -e o eixo -são chamados de interceptações da linha.
Vamos dar uma olhada nos gráficos das linhas.
Primeiro, observe onde cada uma dessas linhas cruza o\(x\) eixo. Veja a tabela.
Agora, vamos ver os pontos em que essas linhas cruzam o\(y\) eixo y.
Figura | A linha cruza o\(x\) eixo -em: |
Par encomendado para este ponto |
A linha cruza o eixo y em: |
Par encomendado para este ponto |
---|---|---|---|---|
Figura (a) | \ (x\) -eixo em:” data-valign="middle">\(3\) | \((3,0)\) | \(6\) | \((0,6)\) |
Figura (b) | \ (x\) -eixo em:” data-valign="middle">\(4\) | \((4,0)\) | \(−3\) | \((0,−3)\) |
Figura (c) | \ (x\) -eixo em:” data-valign="middle">\(5\) | \((5,0)\) | \(−5\) | \((0,5)\) |
Figura (d) | \ (x\) -eixo em:” data-valign="middle">\(0\) | \((0,0)\) | \(0\) | \((0,0)\) |
Figura geral | \ (x\) -eixo em:” data-valign="middle">\(a\) | \((a,0)\) | \(b\) | \((0,b)\) |
Você vê um padrão?
Para cada linha, a\(y\) coordenada -do ponto em que a linha cruza o\(x\) eixo -é zero. O ponto em que a linha cruza o\(x\) eixo -tem a forma\((a,0)\) e é chamado de\(x\) intercepto -da linha. O\(x\) -intercept ocorre quando\(y\) é zero.
Em cada linha, a coordenada\(x\) - do ponto em que a linha cruza o\(y\) eixo -é zero. O ponto em que a linha cruza o\(y\) eixo -tem a forma\((0,b)\) e é chamado de\(y\) intercepto -da linha. O\(y\) -intercept ocorre quando\(x\) é zero.
O\(x\) intercepto -é o\((a,0)\) ponto em que a linha cruza o\(x\) eixo -.
O\(y\) intercepto -é o\((0,b)\) ponto em que a linha cruza o\(y\) eixo -.
Encontre as\(y\) interceptações\(x\) - e -em cada gráfico mostrado.
Solução:
a. O gráfico cruza o\(x\) eixo -no ponto\((4,0)\). O intercepto x é\((4,0)\).
O gráfico cruza o\(y\) eixo -no ponto\((0,2)\). O\(y\) intercepto -é\((0,2)\).
b. O gráfico cruza o\(x\) eixo -no ponto\((2,0)\). O\(x\) intercepto -é\((2,0)\).
O gráfico cruza o\(y\) eixo -no ponto\((0,−6)\). O\(y\) intercepto -é\((0,−6)\).
c. O gráfico cruza o\(x\) eixo -no ponto\((−5,0)\). O\(x\) intercepto -é\((−5,0)\).
O gráfico cruza o\(y\) eixo -no ponto\((0,−5)\). O\(y\) intercepto -é\((0,−5)\).
Encontre as\(y\) interceptações\(x\) - e -no gráfico.
- Responda
-
\(x\)-interceptar:\((2,0)\),
\(y\) -interceptar:\((0,−2)\)
Encontre as\(y\) interceptações\(x\) - e -no gráfico.
- Responda
-
\(x\)-interceptar:\((3,0)\),
\(y\) -interceptar:\((0,2)\)
Reconhecer que o\(x\) intercepto -ocorre quando\(y\) é zero e que o\(y\) intercepto ocorre quando\(x\) é zero, nos dá um método para encontrar os interceptos de uma linha a partir de sua equação. Para encontrar o\(x\) -intercept, let\(y=0\) and solve for\(x.\) Para encontrar o\(y\) -intercept, deixe\(x=0\) and solve for\(y.\)
Use a equação da linha. Para encontrar:
- a\(x\) interceptação da linha, deixe\(y=0\) e resolva para\(x\).
- a\(y\) interceptação da linha, deixe\(x=0\) e resolva para\(y\).
Encontre as interceptações de\(2x+y=8\).
Solução:
Vamos deixar\(y=0\) encontrar o\(x\) intercepto -e vamos\(x=0\) encontrar o\(y\) intercepto. Preencheremos uma tabela, que nos lembra do que precisamos encontrar.

Para encontrar o\(x\) intercepto -, deixe\(y=0\). | |
\(2x+y=8\) | |
Deixe\(y=0\). | \(2x+{\color{red}0}=8\) |
Simplifique. | \(2x=8\) |
\(x=4\) | |
O\(x\) -intercept é: | \((4,0)\) |
Para encontrar o\(y\) intercepto -, deixe\(x=0\). | |
\(2x+y=8\) | |
Deixe\(x=0\). | \(2 ( {\color{red}0}) + y = 8\) |
Simplifique. | \(0 + y = 8\) |
\(y=8\) | |
O\(y\) -intercept é: | \((0,8)\) |
As interceptações são os pontos\((4,0)\) e\((0,8)\) conforme mostrado na tabela.
\(2x+y=8\) | |
\(x\) | \(y\) |
4 | 0 |
0 | 8 |
Encontre as interceptações:\(3x+y=12\).
- Responda
-
\(x\)-interceptar:\((4,0)\),
\(y\) -interceptar:\((0,12)\)
Encontre as interceptações:\(x+4y=8\).
- Responda
-
\(x\)-interceptar:\((8,0)\),
\(y\) -interceptar:\((0,2)\)
Representar graficamente uma linha usando as interceptações
Para representar graficamente uma equação linear traçando pontos, você precisa encontrar três pontos cujas coordenadas são soluções para a equação. Você pode usar as interceptações x e y como dois dos seus três pontos. Encontre as interceptações e, em seguida, encontre um terceiro ponto para garantir a precisão. Certifique-se de que os pontos estejam alinhados e, em seguida, desenhe a linha. Esse método geralmente é a maneira mais rápida de representar graficamente uma linha.
Faça\(–x+2y=6\) um gráfico usando as interceptações.
Solução:
Gráfico usando as interceptações:\(x–2y=4\).
- Responda
-
Gráfico usando as interceptações:\(–x+3y=6\).
- Responda
-
As etapas para representar graficamente uma equação linear usando os interceptos estão resumidas aqui.
- Encontre as\(y\) interceptações\(x\) - e -da linha.
- Deixe y = 0y = 0 e resolva para\(x\).
- Deixe x=0x=0 e resolva para\(y\).
- Encontre uma terceira solução para a equação.
- Faça um gráfico dos três pontos e verifique se eles estão alinhados.
- Desenhe a linha.
Faça\(4x−3y=12\) um gráfico usando as interceptações.
Solução:
Encontre as interceptações e um terceiro ponto.

Listamos os pontos na tabela e mostramos o gráfico.
\(4x−3y=12\) | ||
\(x\) | \(y\) | \((x,y)\) |
3 | 0 | \((3,0)\) |
0 | \(−4\) | \((0,−4)\) |
6 | 4 | \((6,4)\) |
Gráfico usando as interceptações:\(5x−2y=10\).
- Responda
-
Gráfico usando as interceptações:\(3x−4y=12\).
- Responda
-
Quando a linha passa pela origem, o\(x\) -intercept e o\(y\) -intercept são o mesmo ponto.
Faça\(y=5x\) um gráfico usando as interceptações.
Solução:
Essa linha tem apenas uma interceptação. Esse é o ponto\((0,0)\).
Para garantir a precisão, precisamos traçar três pontos. Como os\(y\) interceptos\(x\) - e -são o mesmo ponto, precisamos de mais dois pontos para representar graficamente a linha.
Os três pontos resultantes estão resumidos na tabela.
\(y=5x\) | ||
\(x\) | \(y\) | \((x,y)\) |
0 | 0 | \((0,0)\) |
1 | 5 | \((1,5)\) |
\(−1\) | \(−5\) | \((−1,−5)\) |
Faça um gráfico dos três pontos, verifique se eles estão alinhados e desenhe a linha.
Gráfico usando as interceptações:\(y=4x\).
- Responda
-
Faça um gráfico das interceptações:\(y=−x\).
- Responda
-
Conceitos-chave
- Pontos nos eixos
- Pontos com uma\(y\) coordenada -igual a\(0\) estão no\(x\) eixo -e têm coordenadas\((a,0)\).
- Pontos com uma\(x\) coordenada -igual a\(0\) estão no\(y\) eixo -e têm coordenadas\((0,b)\).
- Quadrante
Quadrante I Quadrante II Quadrante III Quadrante IV \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\) \((+,+)\) \((-,+)\) \((-,-)\) \((+,-)\) - Gráfico de uma equação linear: O gráfico de uma equação linear\(Ax+By=C\) é uma linha reta.
Cada ponto na linha é uma solução da equação.
Cada solução dessa equação é um ponto nessa linha. - Como representar graficamente uma equação linear traçando pontos.
- Encontre três pontos cujas coordenadas são soluções para a equação. Organize-os em uma mesa.
- Faça um gráfico dos pontos em um sistema de coordenadas retangular. Verifique se os pontos estão alinhados. Se não o fizerem, verifique cuidadosamente seu trabalho.
- Desenhe a linha através dos três pontos. Estenda a linha para preencher a grade e coloque setas nas duas extremidades da linha.
- \(x\)-intercepto e\(y\) -intercepto de uma linha
- O\(x\) intercepto -é o\((a,0)\) ponto em que a linha cruza o\(x\) eixo -.
- O\(y\) intercepto -é o\((0,b)\) ponto em que a linha cruza o\(y\) eixo -.
- Encontre as\(y\) interceptações\(x\) - e -da equação de uma reta
- Use a equação da linha. Para encontrar:
a\(x\) interceptação da linha, deixe\(y=0\) e resolva\(x.\)
a\(y\) interceptação -da linha, deixe\(x=0\) e resolva para\(y.\)
- Use a equação da linha. Para encontrar:
- Como representar graficamente uma equação linear usando os interceptos.
- Encontre as\(y\) interceptações\(x\) - e -da linha.
Deixe\(y=0\) e resolva para\(x.\)
Deixe\(x=0\) e resolva para\(y.\) - Encontre uma terceira solução para a equação.
- Faça um gráfico dos três pontos e verifique se eles estão alinhados.
- Desenhe a linha.
- Encontre as\(y\) interceptações\(x\) - e -da linha.
Glossário
- linha horizontal
- Uma linha horizontal é o gráfico de uma equação da forma\(y=b.\) A linha passa pelo\(y\) eixo -em\((0,b).\)
- interceptações de uma linha
- Os pontos em que uma linha cruza o\(x\) eixo\(y\) -e o eixo -são chamados de interceptações da linha.
- equação linear
- Uma equação da forma em\(Ax+By=C,\) que ambas\(B\) são\(A\) e não são zero é chamada de equação linear em duas variáveis.
- par encomendado
- Um par ordenado\((x,y),\) fornece as coordenadas de um ponto em um sistema de coordenadas retangulares. O primeiro número é a\(x\) coordenada -. O segundo número é a\(y\) coordenada -.
- origem
- O ponto\((0,0)\) é chamado de origem. É o ponto em que o\(x\) eixo -e o\(y\) eixo -se cruzam.
- solução de uma equação linear em duas variáveis
- Um par ordenado\((x,y)\) é uma solução da equação linear\(Ax+By=C,\) se a equação for uma afirmação verdadeira quando os\(y\) valores\(x\) - e -do par ordenado forem substituídos na equação.
- forma padrão de uma equação linear
- Uma equação linear está na forma padrão quando é escrita\(Ax+By=C.\)
- linha vertical
- Uma linha vertical é o gráfico de uma equação da forma\(x=a.\) A linha passa pelo\(x\) eixo -em\((a,0).\)