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3.2: Representar graficamente equações lineares em duas variáveis

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    183097
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Traçar pontos em um sistema de coordenadas retangular
    • Representar graficamente uma equação linear traçando pontos
    • Gráfico de linhas verticais e horizontais
    • Encontre as\(y\) interceptações\(x\) - e -
    • Faça um gráfico de uma linha usando as interceptações
    Antes de começar

    Antes de começar, faça este teste de prontidão.

    1. Avalie\(5x−4\) quando\(x=−1\).
      Se você perdeu esse problema, revise [link].
    2. Avalie\(3x−2y\) quando\(x=4,y=−3\).
      Se você perdeu esse problema, revise [link].
    3. Resolver para\(y: 8−3y=20\).
      Se você perdeu esse problema, revise [link].

    Traçar pontos em um sistema de coordenadas retangulares

    Assim como os mapas usam um sistema de grade para identificar localizações, um sistema de grade é usado em álgebra para mostrar uma relação entre duas variáveis em um sistema de coordenadas retangular. O sistema de coordenadas retangulares também é chamado de\(xy\) plano -ou “plano coordenado”.

    O sistema de coordenadas retangulares é formado por duas linhas numéricas que se cruzam, uma horizontal e uma vertical. A linha numérica horizontal é chamada de\(x\) eixo -. A linha numérica vertical é chamada de\(y\) eixo -. Esses eixos dividem um plano em quatro regiões, chamadas quadrantes. Os quadrantes são identificados por números romanos, começando no canto superior direito e prosseguindo no sentido anti-horário. Veja a Figura\(\PageIndex{1}\).

    Esta figura mostra uma grade quadrada. Uma linha numérica horizontal no meio é rotulada como x. Uma linha numérica vertical no meio é rotulada como y. As linhas numéricas se cruzam em zero e juntas dividem a grade quadrada em 4 quadrados menores do mesmo tamanho. O quadrado no canto superior direito é identificado como I. O quadrado no canto superior esquerdo é rotulado como II. O quadrado no canto inferior esquerdo é rotulado como III. O quadrado no canto inferior direito é rotulado IV.
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    No sistema de coordenadas retangulares, cada ponto é representado por um par ordenado. O primeiro número no par ordenado é a\(x\) coordenada -do ponto, e o segundo número é a\(y\) coordenada -do ponto. A frase “par ordenado” significa que o pedido é importante.

    Par ordenado

    Um par ordenado\((x,y)\) fornece as coordenadas de um ponto em um sistema de coordenadas retangulares. O primeiro número é a\(x\) coordenada -. O segundo número é a\(y\) coordenada -.

    Esta figura mostra a expressão (x, y). A variável x é rotulada como coordenada x. A variável y é rotulada como coordenada y.

    Qual é o par ordenado do ponto em que os eixos se cruzam? Nesse ponto, ambas as coordenadas são zero, então seu par ordenado é\((0,0)\) .O ponto\((0,0)\) tem um nome especial. É chamado de origem.

    A origem

    O ponto\((0,0)\) é chamado de origem. É o ponto em que o\(x\) eixo -e o\(y\) eixo -se cruzam.

    Usamos as coordenadas para localizar um ponto no\(xy\) plano. Vamos traçar o ponto\((1,3)\) como exemplo. Primeiro, localize 1 no\(x\) eixo -e desenhe levemente uma linha vertical\(x=1\). Em seguida, localize\(3\) no\(y\) eixo -e desenhe uma linha horizontal até\(y=3.\) Agora, encontre o ponto onde essas duas linhas se encontram, ou seja, o ponto com coordenadas\((1,3)\). Veja a Figura\(\PageIndex{2}\).

    Esta figura mostra um ponto traçado no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 6 a 6. O ponto (1, 3) é rotulado. Uma linha vertical tracejada passa pelo ponto e cruza o eixo x em xplus1. Uma linha horizontal tracejada atravessa o ponto e cruza o eixo y em yplus3.
    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Observe que a linha vertical passando\(x=1\) e a linha horizontal não\(y=3\) fazem parte do gráfico. Nós apenas os usamos para nos ajudar a localizar o ponto\((1,3)\).

    Quando uma das coordenadas é zero, o ponto fica em um dos eixos. Na Figura,\(\PageIndex{3},\) o ponto\((0,4)\) está no\(y\) eixo -e o ponto\((−2,0)\) está no\(x\) eixo -.

    Esta figura mostra os pontos traçados no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 6 a 6. O ponto (menos 2, 0) é rotulado e fica no eixo x. O ponto (0, 4) é rotulado e fica no eixo y.
    Figura\(\PageIndex{3}\)
    PONTOS NOS EIXOS
    • Pontos com uma\(y\) coordenada -igual a\(0\) estão no\(x\) eixo -e têm coordenadas\((a,0)\).
    • Pontos com uma\(x\) coordenada -igual a\(0\) estão no\(y\) eixo -e têm coordenadas\((0,b)\).
    Exemplo\(\PageIndex{1}\)

    Faça um gráfico de cada ponto no sistema de coordenadas retangulares e identifique o quadrante no qual o ponto está localizado:

    a.\((−5,4\)) b.\((−3,−4)\) c.\((2,−3)\) d.\((0,−1)\)\((3,\dfrac{5}{2})\) e.

    Solução

    O primeiro número do par de coordenadas é a\(x\) coordenada -e o segundo número é a\(y\) coordenada -. Para traçar cada ponto, desenhe uma linha vertical através da\(x\) coordenada -e uma linha horizontal através da\(y\) coordenada -. A interseção deles é o ponto.

    1. Desde então\(x=−5\), o ponto está à esquerda do\(y\) eixo y. Além disso\(y=4\), uma vez que o ponto está acima\(x\) do eixo. O ponto\((−5,4)\) está no Quadrante II.
    2. Desde então\(x=−3\), o ponto está à esquerda do\(y\) eixo y. Além disso\(y=−4\), uma vez que o ponto está abaixo\(x\) do eixo. O ponto\((−3,−4)\) está no Quadrante III.
    3. Uma vez que\(x=2\), o ponto está à direita\(y\) do eixo. Desde então\(y=−3\), o ponto está abaixo do\(x\) eixo -. O ponto\((2,−3)\) está no Quadrante IV.
    4. Desde então\(x=0\), o ponto cujas coordenadas estão\((0,−1)\) está no\(y\) eixo y.
    5. Uma vez que\(x=3\), o ponto está à direita\(y\) do eixo. Desde então\(y=\dfrac{5}{2})\), o ponto está acima do\(x\) eixo -. (Pode ser útil escrever\(\dfrac{5}{2})\) como um número misto ou decimal.) O ponto\((3,\dfrac{5}{2})\) está no Quadrante I.

    Esta figura mostra os pontos traçados no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 6 a 6. Os seguintes pontos são rotulados: (3, 5 dividido por 2), (menos 2, 3), menos 5, 4), (menos 3, menos 4) e (2, menos 3).

    Experimente! \(\PageIndex{1}\)

    Faça um gráfico de cada ponto em um sistema de coordenadas retangular e identifique o quadrante no qual o ponto está localizado:

    a.\((−2,1)\) b.\((−3,−1)\) c.\((4,−4)\) d.\((−4,4)\) e.\((−4,\dfrac{3}{2})\)

    Responda

    Esta figura mostra os pontos traçados no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 6 a 6. O ponto rotulado a está 2 unidades à esquerda da origem e 1 unidade acima da origem e está localizado no quadrante II. O ponto rotulado b está 3 unidades à esquerda da origem e 1 unidade abaixo da origem e está localizado no quadrante III. O ponto marcado com c está 4 unidades à direita da origem e 4 unidades abaixo da origem e está localizado no quadrante IV. O ponto identificado como d está 4 unidades à esquerda da origem e 4 unidades acima da origem e está localizado no quadrante II. O ponto rotulado e está 4 unidades à esquerda da origem e 1 unidade e meia acima da origem e está localizado no quadrante II.

    Experimente! \(\PageIndex{2}\)

    Faça um gráfico de cada ponto em um sistema de coordenadas retangular e identifique o quadrante no qual o ponto está localizado:

    a.\((−4,1)\) b.\((−2,3)\) c.\((2,−5)\) d.\((−2,5)\) e.\((−3,\dfrac{5}{2})\)

    Responda

    Esta figura mostra os pontos traçados no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 6 a 6. O ponto rotulado a está 4 unidades à esquerda da origem e 1 unidade acima da origem e está localizado no quadrante II. O ponto rotulado b está 2 unidades à esquerda da origem e 3 unidades acima da origem e está localizado no quadrante II. O ponto marcado com c está 2 unidades à direita da origem e 5 unidades abaixo da origem e está localizado no quadrante IV. O ponto identificado como d está 2 unidades à esquerda da origem e 5 unidades acima da origem e está localizado no quadrante II. O ponto rotulado e está 3 unidades à esquerda da origem e 2 unidades e meia acima da origem e está localizado no quadrante II.

    Os sinais da\(x\) coordenada\(y\) -e da coordenada -afetam a localização dos pontos. Você pode ter notado alguns padrões ao representar graficamente os pontos no exemplo anterior. Podemos resumir os padrões de sinais dos quadrantes desta forma:

    QUADRANTES
    Quadrante I Quadrante II Quadrante III Quadrante IV
    \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\)
    \((+,+)\) \((−,+)\) \((−,−)\) \((+,−)\)

    Esta figura mostra o plano de coordenadas x y com os quatro quadrantes identificados. No canto superior direito do plano está o quadrante I rotulado (mais, mais). No canto superior esquerdo do plano está o quadrante II rotulado (menos, mais). Na parte inferior esquerda do plano está o quadrante III rotulado (menos, menos). No canto inferior direito do plano está o quadrante IV rotulado (mais, menos).

    Até agora, todas as equações que você resolveu eram equações com apenas uma variável. Em quase todos os casos, quando você resolveu a equação, obteve exatamente uma solução. Mas as equações podem ter mais de uma variável. Equações com duas variáveis podem ser da forma\(Ax+By=C\). Uma equação dessa forma é chamada de equação linear em duas variáveis.

    Equação linear

    Uma equação da forma\(Ax+By=C\), onde\(A\) e não\(B\) são ambas zero, é chamada de equação linear em duas variáveis.

    Aqui está um exemplo de uma equação linear em duas variáveis,\(x\)\(y\) e.

    \ (\ begin {align*} {\ color {brickRed} A} x + {\ color {RoyalBlue} B} y &= {\ color {forestgreen} C}\\ [5pt]
    x+ {\ color {RoyalBlue} 4} y &= {\ color {forestgreen} 8}\ end {align*}\)

    \({\color{BrickRed}A = 1}\),\({\color{RoyalBlue}B = 4}\),\({\color{forestgreen}C=8}\)

    A equação também\(y=−3x+5\) é uma equação linear. Mas não parece estar no formulário\(Ax+By=C\). Podemos usar a Propriedade de Adição da Igualdade e reescrevê-la na\(Ax+By=C\) forma.

    \[ \begin{array} {lrll} {} &{y} &= &{-3x+5} \\ {\text{Add to both sides.} } &{y+3x} &= &{3x+5+3x} \\ {\text{Simplify.} } &{y+3x} &= &{5} \\ {\text{Use the Commutative Property to put it in} } &{} &{} &{} \\ {Ax+By=C\text{ form.} } &{3x+y} &= &{5} \end{array} \nonumber\]

    Ao reescrever\(y=−3x+5\) as\(3x+y=5\), podemos ver facilmente que é uma equação linear em duas variáveis porque é da forma\(Ax+By=C\). Quando uma equação está na forma\(Ax+By=C\), dizemos que está na forma padrão de uma equação linear.

    Forma padrão a da equação linear

    Uma equação linear está na forma padrão quando é escrita\(Ax+By=C\).

    A maioria das pessoas prefere ter\(A,\)\(B,\) e\(C\) ser números inteiros e\(A \geq 0\) ao escrever uma equação linear na forma padrão, embora isso não seja estritamente necessário.

    As equações lineares têm infinitas soluções. Para cada número que é substituído,\(x\) há um\(y\) valor -correspondente. Esse par de valores é uma solução para a equação linear e é representado pelo par ordenado\((x,y)\). Quando substituímos esses valores de\(x\) e\(y\) na equação, o resultado é uma afirmação verdadeira, porque o valor no lado esquerdo é igual ao valor no lado direito.

    Solução de uma equação linear em duas variáveis

    Um par ordenado\((x,y)\) é uma solução da equação linear\(Ax+By=C\), se a equação for uma afirmação verdadeira quando os\(y\) valores\(x\) - e -do par ordenado forem substituídos na equação.

    As equações lineares têm infinitas soluções. Podemos traçar essas soluções no sistema de coordenadas retangulares. Os pontos se alinharão perfeitamente em uma linha reta. Conectamos os pontos com uma linha reta para obter o gráfico da equação. Colocamos setas nas extremidades de cada lado da linha para indicar que a linha continua nas duas direções.

    Um gráfico é uma representação visual de todas as soluções da equação. É um exemplo do ditado: “Uma imagem vale mais que mil palavras”. A linha mostra todas as soluções para essa equação. Cada ponto na linha é uma solução da equação. E, cada solução dessa equação está nessa linha. Essa linha é chamada de gráfico da equação. Pontos que não estão em jogo não são soluções!

    GRÁFICO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR

    O gráfico de uma equação linear\(Ax+By=C\) é uma linha reta.

    • Cada ponto na linha é uma solução da equação.
    • Cada solução dessa equação é um ponto nessa linha.
    Exemplo\(\PageIndex{2}\)

    O gráfico de\(y=2x−3\) é mostrado.

    Esta figura mostra uma linha reta representada graficamente no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. A linha tem setas nas duas extremidades e passa pelos pontos (menos 3, menos 9), (menos 2, menos 7), (menos 1, menos 5), (0, menos 3), (1, menos 1), (2, 1), (3, 3), (4, 5), (5, 7) e (6, 9). A linha é rotulada como y mais 2 x menos 3.

    Para cada par pedido, decida:

    1. O par ordenado é uma solução para a equação?
    2. O ponto está na linha?

    R:\((0,−3)\) B:\((3,3)\) C:\((2,−3)\) D:\((−1,−5)\)

    Solução:

    Substitua\(y\) os valores\(x\) - e -na equação para verificar se o par ordenado é uma solução para a equação.

    uma.

    O exemplo A mostra o par ordenado (0, menos 3). Abaixo disso está a equação y mais 2 x menos 3. Sob isso está a equação menos 3 é igual a 2 vezes 0 menos 3. Os negativos 3 e 0 são coloridos da mesma forma que os negativos 3 e 0 no par ordenado na parte superior. Há um ponto de interrogação acima do sinal de mais. Abaixo está a equação menos 3 mais menos 3. Abaixo disso, a afirmação (0, menos 3) é uma solução. O exemplo B mostra o par ordenado (3, 3). Abaixo disso está a equação y mais 2 x menos 3. Sob isso está a equação 3 é igual a 2 vezes 3 menos 3. O 3 e o 3 são coloridos da mesma forma que o 3 e o 3 no par ordenado na parte superior. Há um ponto de interrogação acima do sinal de mais. Abaixo está a equação 3 mais 3. Abaixo disso, a afirmação (3, 3) é uma solução. O exemplo C mostra o par ordenado (2, menos 3). Abaixo disso está a equação y mais 2 x menos 3. Sob isso está a equação menos 3 é igual a 2 vezes 2 menos 3. Os negativos 3 e 2 são coloridos da mesma forma que os negativos 3 e 2 no par ordenado na parte superior. Há um ponto de interrogação acima do sinal de mais. Abaixo disso está a desigualdade de menos 3 não é igual a 1. Abaixo disso, a afirmação (2, menos 3) não é uma solução. O exemplo D mostra o par ordenado (menos 1, menos 5). Abaixo disso está a equação y mais 2 x menos 3. Sob isso está a equação menos 5 é igual a 2 vezes menos 1 menos 3. O negativo 1 e o negativo 5 são coloridos da mesma forma que o negativo 1 e o menos 5 no par ordenado na parte superior. Há um ponto de interrogação acima do sinal de mais. Abaixo está a equação menos 5 mais menos 5. Abaixo disso, a afirmação (menos 1, menos 5) é uma solução.

    b. Faça um gráfico dos pontos\((0,−3)\)\((3,3)\)\((2,−3)\),,\((−1,−5)\) e.

    Esta figura mostra o gráfico da equação linear y mais 2 x menos 3 e alguns pontos representados graficamente no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. A linha tem setas nas duas extremidades e passa pelos pontos (menos 1, menos 5), (0, menos 3) e (3, 3). O ponto (2, menos 3) também é traçado, mas não na linha.

    Os pontos\((0,3)\),\((3,−3)\), e\((−1,−5)\) estão na linha\(y=2x−3\), e o ponto não\((2,−3)\) está na linha.

    Os pontos que são soluções para\(y=2x−3\) estão em jogo, mas o ponto que não é uma solução não está em jogo.

    Experimente! \(\PageIndex{3}\)

    Use o gráfico de\(y=3x−1\). Para cada par pedido, decida:

    a. O par ordenado é uma solução para a equação?
    b. O ponto está na linha?

    UM\((0,−1)\) B\((2,5)\)

    Esta figura mostra uma linha reta representada graficamente no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. A linha tem setas nas duas extremidades e passa pelos pontos (menos 3, menos 10), (menos 2, menos 7), (menos 1, menos 4), (0, menos 1), (1, 2), (2, 5) e (3, 8). A linha é rotulada como y mais 3 x menos 1.

    Responda

    a. sim b. sim

    Experimente! \(\PageIndex{4}\)

    Use o gráfico de\(y=3x−1\). Para cada par pedido, decida:

    a. O par ordenado é uma solução para a equação?
    b. O ponto está na linha?

    UM\((3,−1)\) B\((−1,−4)\)

    Esta figura mostra uma linha reta representada graficamente no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. A linha tem setas nas duas extremidades e passa pelos pontos (menos 3, menos 10), (menos 2, menos 7), (menos 1, menos 4), (0, menos 1), (1, 2), (2, 5) e (3, 8). A linha é rotulada como y mais 3 x menos 1.

    Responda

    a. não b. sim

    Representar graficamente uma equação linear traçando pontos

    Existem vários métodos que podem ser usados para representar graficamente uma equação linear. O primeiro método que usaremos é chamado de plotagem de pontos ou método de plotagem de pontos. Encontramos três pontos cujas coordenadas são soluções para a equação e, em seguida, os plotamos em um sistema de coordenadas retangular. Ao conectar esses pontos em uma linha, temos o gráfico da equação linear.

    Exemplo\(\PageIndex{3}\): How to Graph a Linear Equation by Plotting Points

    Faça um gráfico da equação\(y=2x+1\) traçando pontos.

    Solução:

    A etapa 1 é encontrar três pontos cujas coordenadas são soluções para a equação. Você pode escolher qualquer valor para x ou y. Nesse caso, como y está isolado no lado esquerdo das equações, é mais fácil escolher valores para x. Escolhendo x mais 0. Substituímos isso na equação y mais 2 x mais 1 para obter y mais 2 vezes 0 mais 1. Isso simplifica para y mais 0 mais 1. Então y mais 1. Escolhendo x mais 1. Substituímos isso na equação y mais 2 x mais 1 para obter y mais 2 vezes 1 mais 1. Isso simplifica para y mais 2 mais 1. Então y mais 3. Escolhendo x mais menos 2. Substituímos isso na equação y mais 2 x mais 1 para obter y mais 2 vezes menos 2 mais 1. Isso simplifica para y mais menos 4 mais 1. O y mais menos 3. Em seguida, queremos organizar as soluções em uma tabela. Para esse problema, colocaremos as três soluções que acabamos de encontrar em uma tabela. A tabela tem 5 linhas e 3 colunas. A primeira linha é uma linha de título com a equação y mais 2 x mais 1. A segunda linha é uma linha de cabeçalho com os cabeçalhos x, y e (x, y). A terceira linha tem os números 0, 1 e (0, 1). A quarta linha tem os números 1, 3 e (1, 3). A quinta linha tem os números menos 2, menos 3 e (menos 2, menos 3).A etapa 2 é traçar os pontos em um sistema de coordenadas retangulares. Gráfico: (0, 1), (1, 3), (menos 2, menos 3). A figura então mostra um gráfico de alguns pontos traçados no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 6 a 6. Os pontos (0, 1), (1, 3) e (menos 2, menos 3) são representados graficamente. Verifique se os pontos estão alinhados. Se não o fizerem, verifique cuidadosamente seu trabalho! Faça a linha de pontos? Sim, os pontos neste exemplo estão alinhados.O passo 3 é traçar a linha através dos três pontos. Estenda a linha para preencher a grade e coloque setas nas duas extremidades da linha. Essa linha é o gráfico de y mais 2 x mais 1. A figura mostra o gráfico de uma linha reta no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 6 a 6. Os pontos (menos 2, menos 3), (0, 1) e (1, 3) são representados graficamente. A linha reta passa pelos três pontos e tem setas nas duas extremidades.

    Experimente! \(\PageIndex{5}\)

    Faça um gráfico da equação traçando pontos:\(y=2x−3\).

    Responda

    Esta figura mostra uma linha reta representada graficamente no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. A linha passa pelos pontos (menos 2, menos 7), (menos 1, menos 5), (0, menos 3), (1, menos 1), (2, 1), (3, 3), (4, 5) e (5, 7).

    Experimente! \(\PageIndex{6}\)

    Faça um gráfico da equação traçando pontos:\(y=−2x+4\).

    Responda

    Esta figura mostra uma linha reta representada graficamente no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. A linha passa pelos pontos (menos 2, 8), (menos 1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), (3, menos 2), (4, menos 4), (5, menos 6) e (6, menos 8).

    As etapas a serem seguidas ao representar graficamente uma equação linear traçando pontos estão resumidas aqui.

    REPRESENTAR GRAFICAMENTE UMA EQUAÇÃO LINEAR TRAÇANDO PONTOS
    1. Encontre três pontos cujas coordenadas são soluções para a equação. Organize-os em uma mesa.
    2. Faça um gráfico dos pontos em um sistema de coordenadas retangular. Verifique se os pontos estão alinhados. Se não o fizerem, verifique cuidadosamente seu trabalho.
    3. Desenhe a linha através dos três pontos. Estenda a linha para preencher a grade e coloque setas nas duas extremidades da linha.

    É verdade que são necessários apenas dois pontos para determinar uma linha, mas é um bom hábito usar três pontos. Se você traçar apenas dois pontos e um deles estiver incorreto, você ainda poderá desenhar uma linha, mas ela não representará as soluções para a equação. Será a linha errada.

    Se você usar três pontos e um estiver incorreto, os pontos não se alinharão. Isso indica que algo está errado e você precisa verificar seu trabalho. Veja a diferença entre essas ilustrações.

    A figura mostra duas imagens. Na primeira imagem, há três pontos com uma linha reta passando por todos os três. Na segunda imagem, há três pontos que nem todos estão em linha reta.

    Quando uma equação inclui uma fração como coeficiente de, ainda\(x,\) podemos substituir qualquer número por\(x.\) Mas a aritmética é mais fácil se fizermos escolhas “boas” para os valores de\(x.\) Dessa forma, evitaremos respostas fracionárias, que são difíceis de representar graficamente com precisão.

    Exemplo\(\PageIndex{4}\)

    Faça um gráfico da equação:\(y=\frac{1}{2}x+3\).

    Solução:

    Encontre três pontos que são soluções para a equação. Como essa equação tem a fração\(\dfrac{1}{2}\) como coeficiente de,\(x,\) escolheremos os valores de\(x\) com cuidado. Usaremos zero como uma opção e múltiplos de\(2\) para as outras opções. Por que múltiplos de dois são uma boa escolha para valores de\(x\)? Ao escolher múltiplos\(2\) da multiplicação por\(\dfrac{1}{2}\) simplifica para um número inteiro

    O primeiro conjunto de equações começa com x mais 0. Sob isso está a equação y mais 1 meio x mais 3. Abaixo disso está a equação y mais 1 metade vezes 0 mais 3. Abaixo está a equação y mais 0 mais 3. Abaixo está a equação y mais 3. O segundo conjunto de equações começa com x mais 2. Sob isso está a equação y mais 1 meio x mais 3. Abaixo disso está a equação y mais 1 meio vezes 2 mais 3. Abaixo está a equação y mais 1 mais 3. Abaixo está a equação y mais 4. O terceiro conjunto de equações começa com x mais 4. Sob isso está a equação y mais 1 meio x mais 3. Abaixo disso está a equação y mais 1 metade vezes 4 mais 3. Abaixo está a equação y mais 2 mais 3. Abaixo está a equação y mais 5.

    Os pontos são mostrados na Tabela.

    \(y=\frac{1}{2}x+3\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 3 \((0,3)\)
    2 4 \((2,4)\)
    4 5 \((4,5)\)

    Faça um gráfico dos pontos, verifique se eles estão alinhados e desenhe a linha.

    A figura mostra o gráfico de uma linha reta no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. Os pontos (0, 3), (2, 4) e (4, 5) são plotados. A linha reta passa pelos três pontos e tem setas nas duas extremidades. A linha é rotulada como y mais 1 dividida por 2 vezes x mais 3.

    Experimente! \(\PageIndex{7}\)

    Faça um gráfico da equação:\(y=\frac{1}{3}x−1\).

    Responda

    Esta figura mostra uma linha reta representada graficamente no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. A linha passa pelos pontos (menos 12, menos 5), (menos 9, menos 4), (menos 6, menos 3), (menos 3, menos 2), (0, menos 1), (3, 0), (6, 1), (9, 2) e (12, 3).

    Experimente! \(\PageIndex{8}\)

    Faça um gráfico da equação:\(y=\frac{1}{4}x+2\).

    Responda

    Esta figura mostra uma linha reta representada graficamente no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. A linha passa pelos pontos (menos 12, menos 1), (menos 8, 0), (menos 4, 1), (0, 2), (4, 3), (8, 4) e (12, 5).

    Gráfico de linhas verticais e horizontais

    Algumas equações lineares têm apenas uma variável. Eles podem ter apenas\(x\) e nenhum\(y,\) ou simplesmente\(y\) sem um.\(x.\) Isso muda a forma como fazemos uma tabela de valores para obter os pontos a serem traçados.

    Vamos considerar a equação\(x=−3\). Essa equação tem apenas uma variável,\(x.\) A equação diz que\(x\) é sempre igual a\(−3\), então seu valor não depende de\(y.\) Não importa qual seja o valor\(y,\) do valor de\(x\) é sempre\(−3\).

    Então, para criar uma tabela de valores, escreva\(−3\) para todos os\(x\) valores -. Em seguida, escolha qualquer valor para\(y.\) Uma vez\(x\) que não depende de\(y,\) você pode escolher os números que desejar. Mas para ajustar os pontos em nosso gráfico de coordenadas, usaremos 1, 2 e 3 para as\(y\) coordenadas. Veja a tabela.

    \(x=−3\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    \(−3\) 1 \((−3,1)\)
    \(−3\) 2 \((−3,2)\)
    \((−3,)\) 3 \((−3,3)\)

    Faça um gráfico dos pontos da tabela e conecte-os com uma linha reta. Observe que representamos graficamente uma linha vertical.

    A figura mostra o gráfico de uma linha reta vertical no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. Os pontos (menos 3, 1), (menos 3, 2) e (menos 3, 3) são representados graficamente. A linha passa pelos três pontos e tem setas nas duas extremidades. A linha é rotulada como x mais menos 3.

    E se a equação tiver\(y\), mas não\(x\)? Vamos representar graficamente a equação\(y=4\). Desta vez, o valor y é uma constante, portanto, nesta equação,\(y\) não depende\(y\) do\(x.\) preenchimento\(4\) para todos os s na tabela e, em seguida, escolha qualquer valor para\(x.\) Nós usaremos 0, 2 e 4 para as\(x\) coordenadas.

    \(y=4\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 4 \((0,4)\)
    2 4 \((2,4)\)
    4 4 \((4,4)\)

    Nesta figura, representamos graficamente uma linha horizontal passando pelo\(y\) eixo -em\(4.\)

    A figura mostra o gráfico de uma linha reta horizontal no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. Os pontos (0, 4), (2, 4) e (4, 4) são plotados. A linha passa pelos três pontos e tem setas nas duas extremidades. A linha é rotulada como y mais 4.

    LINHAS VERTICais e horizontais

    Uma linha vertical é o gráfico de uma equação da forma\(x=a\).

    A linha passa pelo\(x\) eixo -em\((a,0)\).

    Uma linha horizontal é o gráfico de uma equação da forma\(y=b\).

    A linha passa pelo\(y\) eixo -em\((0,b)\).

    Exemplo\(\PageIndex{5}\)

    Gráfico: a.\(x=2\)\(y=−1\) b.

    Solução

    a. A equação tem apenas uma variável\(x,\) e\(x\) é sempre igual a\(2.\) Criamos uma tabela onde\(x\) é sempre\(2\) e, em seguida, colocamos quaisquer valores para\(y.\) O gráfico é uma linha vertical passando pelo\(x\) eixo -em\(2.\)

    \(x=2\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    \ (x\)” data-valign="middle">2 \ (y\)” data-valign="middle">1 \ ((x, y)\)” data-valign="médio">\((2,1)\)
    \ (x\)” data-valign="middle">2 \ (y\)” data-valign="middle">2 \ ((x, y)\)” data-valign="médio">\((2,2)\)
    \ (x\)” data-valign="middle">2 \ (y\)” data-valign="middle">3 \ ((x, y)\)” data-valign="médio">\((2,3)\)

    A figura mostra o gráfico de uma linha reta vertical no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. Os pontos (2, 1), (2, 2) e (2, 3) são plotados. A linha passa pelos três pontos e tem setas nas duas extremidades. A linha é rotulada como x mais 2.

    b. Da mesma forma, a equação\(y=−1\) tem apenas uma variável,\(y\). O valor de\(y\) é constante. Todos os pares ordenados na tabela a seguir têm a mesma\(y\) coordenada. O gráfico é uma linha horizontal passando pelo\(y\) eixo -em\(−1.\)

    \(y=−1\)
    \(\mathbf{x}\) \(\mathbf{ y}\) \(\mathbf{(x,y)}\)
    \ (\ mathbf {x}\)” data-valign="middle">0 \ (\ mathbf {y}\)” data-valign="middle">\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)}\)” data-valign="middle">\((0,−1)\)
    \ (\ mathbf {x}\)” data-valign="middle">3 \ (\ mathbf {y}\)” data-valign="middle">\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)}\)” data-valign="middle">\((3,−1)\)
    \ (\ mathbf {x}\)” data-valign="middle">\(−3\) \ (\ mathbf {y}\)” data-valign="middle">\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)}\)” data-valign="middle">\((−3,−1)\)

    A figura mostra o gráfico de uma linha reta horizontal no plano de coordenadas xy. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. Os pontos (-3, -1), (0, -1) e (3, -1) são plotados. A linha passa pelos três pontos e tem setas nas duas extremidades. A linha é rotulada como y é igual a menos 1..

    Experimente! \(\PageIndex{9}\)

    Faça um gráfico das equações: a.\(x=5\) b. \(y=−4\).

    Responda

    uma.

    A figura mostra o gráfico de uma linha reta vertical no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. A linha passa pelos pontos (5, menos 3), (5, menos 2), (5, menos 1), (5, 0), (5, 1), (5, 2) e (5, 3).

    b.

    A figura mostra o gráfico de uma linha reta horizontal no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. A linha passa pelos pontos (menos 3, menos 4), (menos 2, menos 4), (menos 1, menos 4), (0, menos 4), (1, menos 4), (2, menos 4) e (3, menos 4).

    Experimente! \(\PageIndex{10}\)

    Faça um gráfico das equações: a.\(x=−2\) b. \(y=3\).

    Responda

    uma.

    A figura mostra o gráfico de uma linha reta vertical no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. A linha passa pelos pontos (menos 2, menos 3), (menos 2, menos 2), (menos 2, menos 1), (menos 2, 0), (menos 2, 1), (menos 2, 2) e (menos 2, 3).

    b.

    A figura mostra o gráfico de uma linha reta horizontal no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. A linha passa pelos pontos (menos 3, 3), (menos 2, 3), (menos 1, 3), (0, 3), (1, 3), (2, 3) e (3, 3).

    Qual é a diferença entre as equações\(y=4x\) e\(y=4\)?

    A equação\(y=4x\) tem ambos\(x\) e\(y.\) O valor de\(y\) depende do valor de\(x,\), então a\(y\) coordenada -muda de acordo com o valor de\(x.\) A equação\(y=4\) tem apenas uma variável. O valor de\(y\) é constante, não depende do valor de\(x,\), então a\(y\) coordenada -é sempre\(4.\)

    Essa figura tem duas tabelas. A primeira tabela tem 5 linhas e 3 colunas. A primeira linha é uma linha de título com a equação y mais 4 x. A segunda linha é uma linha de cabeçalho com os cabeçalhos x, y e (x, y). A terceira linha tem os números 0, 0 e (0, 0). A quarta linha tem os números 1, 4 e (1, 4). A quinta linha tem os números 2, 8 e (2, 8). A segunda tabela tem 5 linhas e 3 colunas. A primeira linha é uma linha de título com a equação y mais 4. A segunda linha é uma linha de cabeçalho com os cabeçalhos x, y e (x, y). A terceira linha tem os números 0, 4 e (0, 4). A quarta linha tem os números 1, 4 e (1, 4). A quinta linha tem os números 2, 4 e (2, 4).A figura mostra os gráficos de uma linha reta horizontal e uma linha reta inclinada no mesmo plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. A linha horizontal passa pelos pontos (0, 4), (1, 4) e (2,4) e é rotulada como y mais 4. A linha inclinada passa pelos pontos (0, 0), (1, 4) e (2, 8) e é rotulada como y mais 4 x.

    Observe que, no gráfico, a equação\(y=4x\) fornece uma linha inclinada, enquanto\(y=4\) fornece uma linha horizontal.

    Exemplo\(\PageIndex{6}\)

    Gráfico\(y=−3x\) e\(y=−3\) no mesmo sistema de coordenadas retangulares.

    Solução:

    Percebemos que a primeira equação tem a variável,\(x,\) enquanto a segunda não. Fazemos uma tabela de pontos para cada equação e, em seguida, representamos graficamente as linhas. Os dois gráficos são mostrados.

    Essa figura tem duas tabelas. A primeira tabela tem 5 linhas e 3 colunas. A primeira linha é uma linha de título com a equação y mais menos 3 x. A segunda linha é uma linha de cabeçalho com os cabeçalhos x, y e (x, y). A terceira linha tem os números 0, 0 e (0, 0). A quarta linha tem os números 1, menos 3 e (1, menos 3). A quinta linha tem os números 2, menos 6 e (2, negativo 6). A segunda tabela tem 5 linhas e 3 colunas. A primeira linha é uma linha de título com a equação y mais menos 3. A segunda linha é uma linha de cabeçalho com os cabeçalhos x, y e (x, y). A terceira linha tem os números 0, menos 3 e (0, menos 3). A quarta linha tem os números 1, menos 3 e (1, menos 3). A quinta linha tem os números 2, menos 3 e (2, menos 3).

    A figura mostra os gráficos de uma linha reta horizontal e uma linha reta inclinada no mesmo plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. A linha horizontal passa pelos pontos (0, menos 3), (1, menos 3) e (2, menos 3) e é rotulada como y mais menos 3. A linha inclinada passa pelos pontos (0, 0), (1, menos 3) e (2, menos 6) e é rotulada como y mais menos 3 x.

    Experimente! \(\PageIndex{11}\)

    Faça um gráfico das equações no mesmo sistema de coordenadas retangulares:\(y=−4x\)\(y=−4\) e.

    Responda

    A figura mostra os gráficos de uma linha reta horizontal e uma linha reta inclinada no mesmo plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. A linha horizontal passa pelos pontos (0, menos 4), (1, menos 4) e (2, menos 4). A linha inclinada passa pelos pontos (0, 0), (1, menos 4) e (2, menos 8).

    Experimente! \(\PageIndex{12}\)

    Faça um gráfico das equações no mesmo sistema de coordenadas retangulares:\(y=3\)\(y=3x\) e.

    Responda

    A figura mostra os gráficos de uma linha reta horizontal e uma linha reta inclinada no mesmo plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. A linha horizontal passa pelos pontos (0, 3), (1, 3) e (2, 3). A linha inclinada passa pelos pontos (0, 0), (1, 3) e (2, 6).

    Encontre\(x\) - e\(y\) - intercepta

    Cada equação linear pode ser representada por uma linha única que mostra todas as soluções da equação. Vimos que, ao representar graficamente uma linha traçando pontos, você pode usar quaisquer três soluções para representar graficamente. Isso significa que duas pessoas representando graficamente a linha podem usar conjuntos diferentes de três pontos.

    À primeira vista, suas duas linhas podem não parecer iguais, pois teriam pontos diferentes rotulados. Mas se todo o trabalho foi feito corretamente, as linhas devem ser exatamente as mesmas. Uma forma de reconhecer que eles são realmente a mesma linha é observar onde a linha cruza o\(x\) eixo -e o\(y\) eixo -. Esses pontos são chamados de interceptações de uma linha.

    INTERCEPTAÇÕES DE UMA LINHA

    Os pontos em que uma linha cruza o\(x\) eixo\(y\) -e o eixo -são chamados de interceptações da linha.

    Vamos dar uma olhada nos gráficos das linhas.

    A figura mostra quatro gráficos de diferentes equações. No exemplo a, o gráfico de 2 x mais y mais 6 é representado graficamente no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. Os pontos (0, 6) e (3, 0) são plotados e rotulados. Uma linha reta passa pelos dois pontos e tem setas nas duas extremidades. No exemplo b, o gráfico de 3 x menos 4 y mais 12 é representado graficamente no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. Os pontos (0, menos 3) e (4, 0) são plotados e rotulados. Uma linha reta passa pelos dois pontos e tem setas nas duas extremidades. No exemplo c, o gráfico de x menos y mais 5 é representado graficamente no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. Os pontos (0, menos 5) e (5, 0) são plotados e rotulados. Uma linha reta passa pelos dois pontos e tem setas nas duas extremidades. No exemplo d, o gráfico de y mais menos 2 x é representado graficamente no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. O ponto (0, 0) é plotado e rotulado. Uma linha reta passa por esse ponto e pelos pontos (menos 1, 2) e (1, menos 2) e tem setas nas duas extremidades.

    Primeiro, observe onde cada uma dessas linhas cruza o\(x\) eixo. Veja a tabela.

    Agora, vamos ver os pontos em que essas linhas cruzam o\(y\) eixo y.

    Figura A linha cruza
    o\(x\) eixo -em:
    Par encomendado
    para este ponto
    A linha cruza
    o eixo y em:
    Par encomendado
    para este ponto
    Figura (a) \ (x\) -eixo em:” data-valign="middle">\(3\) \((3,0)\) \(6\) \((0,6)\)
    Figura (b) \ (x\) -eixo em:” data-valign="middle">\(4\) \((4,0)\) \(−3\) \((0,−3)\)
    Figura (c) \ (x\) -eixo em:” data-valign="middle">\(5\) \((5,0)\) \(−5\) \((0,5)\)
    Figura (d) \ (x\) -eixo em:” data-valign="middle">\(0\) \((0,0)\) \(0\) \((0,0)\)
    Figura geral \ (x\) -eixo em:” data-valign="middle">\(a\) \((a,0)\) \(b\) \((0,b)\)

    Você vê um padrão?

    Para cada linha, a\(y\) coordenada -do ponto em que a linha cruza o\(x\) eixo -é zero. O ponto em que a linha cruza o\(x\) eixo -tem a forma\((a,0)\) e é chamado de\(x\) intercepto -da linha. O\(x\) -intercept ocorre quando\(y\) é zero.

    Em cada linha, a coordenada\(x\) - do ponto em que a linha cruza o\(y\) eixo -é zero. O ponto em que a linha cruza o\(y\) eixo -tem a forma\((0,b)\) e é chamado de\(y\) intercepto -da linha. O\(y\) -intercept ocorre quando\(x\) é zero.

    Interceptações de uma linha

    O\(x\) intercepto -é o\((a,0)\) ponto em que a linha cruza o\(x\) eixo -.

    O\(y\) intercepto -é o\((0,b)\) ponto em que a linha cruza o\(y\) eixo -.

    A tabela tem 3 linhas e 2 colunas. A primeira linha é uma linha de cabeçalho com os cabeçalhos x e y. A segunda linha contém a e 0. A terceira linha contém 0 e b.

    Exemplo\(\PageIndex{7}\)

    Encontre as\(y\) interceptações\(x\) - e -em cada gráfico mostrado.

    A figura tem três gráficos. A Figura a mostra uma linha reta representada graficamente no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. A linha passa pelos pontos (menos 8, 6), (menos 4, 4), (0, 2), (4, 0), (8, menos 2). A Figura b mostra uma linha reta representada graficamente no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. A linha passa pelos pontos (0, menos 6), (2, 0) e (4, 6). A Figura c mostra uma linha reta representada graficamente no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. A linha passa pelos pontos (menos 5, 0), (menos 3, menos 3), (0, menos 5), (1, menos 6) e (2, menos 7).

    Solução:

    a. O gráfico cruza o\(x\) eixo -no ponto\((4,0)\). O intercepto x é\((4,0)\).
    O gráfico cruza o\(y\) eixo -no ponto\((0,2)\). O\(y\) intercepto -é\((0,2)\).

    b. O gráfico cruza o\(x\) eixo -no ponto\((2,0)\). O\(x\) intercepto -é\((2,0)\).
    O gráfico cruza o\(y\) eixo -no ponto\((0,−6)\). O\(y\) intercepto -é\((0,−6)\).

    c. O gráfico cruza o\(x\) eixo -no ponto\((−5,0)\). O\(x\) intercepto -é\((−5,0)\).
    O gráfico cruza o\(y\) eixo -no ponto\((0,−5)\). O\(y\) intercepto -é\((0,−5)\).

    Experimente! \(\PageIndex{13}\)

    Encontre as\(y\) interceptações\(x\) - e -no gráfico.

    Esta figura a mostra uma linha reta representada graficamente no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. A linha passa pelos pontos (menos 6, menos 8), (menos 4, menos 6), (menos 2, menos 4), (0, menos 2), (2, 0), (4, 2), (6, 4), (8, 6).

    Responda

    \(x\)-interceptar:\((2,0)\),
    \(y\) -interceptar:\((0,−2)\)

    Experimente! \(\PageIndex{14}\)

    Encontre as\(y\) interceptações\(x\) - e -no gráfico.

    Esta figura a mostra uma linha reta representada graficamente no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. A linha passa pelos pontos (menos 6, 6), (menos 3, 4), (0, 2), (3, 0), (6, menos 2) e (9, menos 4).

    Responda

    \(x\)-interceptar:\((3,0)\),
    \(y\) -interceptar:\((0,2)\)

    Reconhecer que o\(x\) intercepto -ocorre quando\(y\) é zero e que o\(y\) intercepto ocorre quando\(x\) é zero, nos dá um método para encontrar os interceptos de uma linha a partir de sua equação. Para encontrar o\(x\) -intercept, let\(y=0\) and solve for\(x.\) Para encontrar o\(y\) -intercept, deixe\(x=0\) and solve for\(y.\)

    Encontrando interceptações a partir da equação de uma reta

    Use a equação da linha. Para encontrar:

    • a\(x\) interceptação da linha, deixe\(y=0\) e resolva para\(x\).
    • a\(y\) interceptação da linha, deixe\(x=0\) e resolva para\(y\).
    Exemplo\(\PageIndex{8}\)

    Encontre as interceptações de\(2x+y=8\).

    Solução:

    Vamos deixar\(y=0\) encontrar o\(x\) intercepto -e vamos\(x=0\) encontrar o\(y\) intercepto. Preencheremos uma tabela, que nos lembra do que precisamos encontrar.

    A figura tem uma tabela com 4 linhas e 2 colunas. A primeira linha é uma linha de título com a equação 2 x mais y mais 8. A segunda linha é uma linha de cabeçalho com os cabeçalhos x e y. A terceira linha é rotulada como intercepto x e tem a primeira coluna em branco e um 0 na segunda coluna. A quarta linha é rotulada como intercepto y e tem um 0 na primeira coluna e a segunda coluna em branco.
    Para encontrar o\(x\) intercepto -, deixe\(y=0\).  
      \(2x+y=8\)
    Deixe\(y=0\). \(2x+{\color{red}0}=8\)
    Simplifique. \(2x=8\)
      \(x=4\)
    O\(x\) -intercept é: \((4,0)\)
    Para encontrar o\(y\) intercepto -, deixe\(x=0\).  
      \(2x+y=8\)
    Deixe\(x=0\). \(2 ( {\color{red}0}) + y = 8\)
    Simplifique. \(0 + y = 8\)
      \(y=8\)
    O\(y\) -intercept é: \((0,8)\)

    As interceptações são os pontos\((4,0)\) e\((0,8)\) conforme mostrado na tabela.

    \(2x+y=8\)
    \(x\) \(y\)
    4 0
    0 8
    Experimente! \(\PageIndex{15}\)

    Encontre as interceptações:\(3x+y=12\).

    Responda

    \(x\)-interceptar:\((4,0)\),
    \(y\) -interceptar:\((0,12)\)

    Experimente! \(\PageIndex{16}\)

    Encontre as interceptações:\(x+4y=8\).

    Responda

    \(x\)-interceptar:\((8,0)\),
    \(y\) -interceptar:\((0,2)\)

    Representar graficamente uma linha usando as interceptações

    Para representar graficamente uma equação linear traçando pontos, você precisa encontrar três pontos cujas coordenadas são soluções para a equação. Você pode usar as interceptações x e y como dois dos seus três pontos. Encontre as interceptações e, em seguida, encontre um terceiro ponto para garantir a precisão. Certifique-se de que os pontos estejam alinhados e, em seguida, desenhe a linha. Esse método geralmente é a maneira mais rápida de representar graficamente uma linha.

    Exemplo\(\PageIndex{9}\): How to Graph a Line Using the Intercepts

    Faça\(–x+2y=6\) um gráfico usando as interceptações.

    Solução:

    A etapa 1 é encontrar as interceptações x e y da linha. Para encontrar o intercepto x, deixe y mais 0 e resolva x. A equação menos x mais 2 y mais 6 se torna menos x mais 2 vezes 0 mais 6. Isso simplifica para menos x mais 6. Isso é equivalente a x mais menos 6. O intercepto x é (menos 6, 0). Para encontrar o intercepto y, deixe x mais 0 e resolva y. A equação menos x mais 2 y mais 6 se torna menos 0 mais 2 y mais 6. Isso simplifica para menos 2 y mais 6. Isso é equivalente a y mais 3. O intercepto y é (0, 3).A etapa 2 é encontrar outra solução para a equação. Usaremos x mais 2. A equação menos x mais 2 y mais 6 se torna menos 2 mais 2 y mais 6. Isso simplifica para 2 y mais 8. Isso é equivalente a y mais 4. O terceiro ponto é (2, 4).O passo 3 é traçar os três pontos. A figura mostra uma tabela com 4 linhas e 3 colunas. A primeira linha é uma linha de cabeçalho com os cabeçalhos x, y e (x, y). A segunda linha contém menos 6, 0 e (menos 6, 0). A terceira linha contém 0, 3 e (0, 3). A quarta linha contém 2, 4 e (2, 4). A figura também tem um gráfico dos três pontos no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 6 a 6. Os três pontos (menos 6, 0), (0, 3) e (2, 4) são plotados e rotulados.O passo 4 é desenhar a linha. A figura mostra um gráfico de uma linha reta no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 6 a 6. A linha reta passa pelos pontos (menos 6, 0), (0, 3) e (2, 4).

    Experimente! \(\PageIndex{17}\)

    Gráfico usando as interceptações:\(x–2y=4\).

    Responda

    A figura mostra um gráfico de uma linha reta no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. A linha reta passa pelos pontos (menos 4, menos 4), (menos 2, menos 3), (0, menos 2), (2, menos 1), (4, 0), (6, 1) e (8, 2).

    Experimente! \(\PageIndex{18}\)

    Gráfico usando as interceptações:\(–x+3y=6\).

    Responda

    A figura mostra um gráfico de uma linha reta no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. A linha reta passa pelos pontos (menos 9, menos 1), (menos 6, 0), (menos 3, 1), (0, 2), (3, 3), (6, 4) e (9, 5).

    As etapas para representar graficamente uma equação linear usando os interceptos estão resumidas aqui.

    FAÇA UM GRÁFICO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR USANDO OS INTERCEPT
    1. Encontre as\(y\) interceptações\(x\) - e -da linha.
      • Deixe y = 0y = 0 e resolva para\(x\).
      • Deixe x=0x=0 e resolva para\(y\).
    2. Encontre uma terceira solução para a equação.
    3. Faça um gráfico dos três pontos e verifique se eles estão alinhados.
    4. Desenhe a linha.
    Exemplo\(\PageIndex{10}\)

    Faça\(4x−3y=12\) um gráfico usando as interceptações.

    Solução:

    Encontre as interceptações e um terceiro ponto.

    Para encontrar o intercepto x, deixe y mais 0 e resolva x. A equação 4 x menos 3 y mais 12 se torna 4 x menos 3 vezes 0 mais 12. Isso simplifica para menos 4 x mais 12. Isso equivale a x mais 3. Para encontrar o intercepto y, deixe x mais 0 e resolva y. A equação 4 x menos 3 y mais 12 se torna 4 vezes 0 menos 3 y mais 12. Isso simplifica para menos 3 y mais 12. Isso é equivalente a y mais menos 4. Para encontrar o terceiro ponto, deixe y mais 4 e resolva x. A equação 4 x menos 3 y mais 12 se torna 4 x menos 3 vezes 4 mais 12. Isso simplifica para menos 4 x mais 24. Isso equivale a x mais 6.

    Listamos os pontos na tabela e mostramos o gráfico.

    \(4x−3y=12\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    3 0 \((3,0)\)
    0 \(−4\) \((0,−4)\)
    6 4 \((6,4)\)

    A figura mostra um gráfico da equação 4 x menos 3 y mais 12 no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. A linha reta passa pelos pontos (0, menos 4), (3, 0) e (6, 4).

    Experimente! \(\PageIndex{19}\)

    Gráfico usando as interceptações:\(5x−2y=10\).

    Responda

    A figura mostra um gráfico de uma linha reta no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. A linha reta passa pelos pontos (0, menos 5), (2, 0) e (4, 5).

    Experimente! \(\PageIndex{20}\)

    Gráfico usando as interceptações:\(3x−4y=12\).

    Responda

    A figura mostra um gráfico de uma linha reta no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. A linha reta passa pelos pontos (menos 4, menos 6), (0, menos 3), (4, 0) e (8, 3).

    Quando a linha passa pela origem, o\(x\) -intercept e o\(y\) -intercept são o mesmo ponto.

    Exemplo\(\PageIndex{11}\)

    Faça\(y=5x\) um gráfico usando as interceptações.

    Solução:

    Para encontrar o intercepto x, deixe y mais 0 e resolva x. A equação y mais 5 x se torna 0 mais 5 x. Isso simplifica para 0 mais x. O intercepto x é (0, 0). Para encontrar o intercepto y, deixe x mais 0 e resolva y. A equação y mais 5 x se torna y mais 5 vezes 0. Isso simplifica para y mais 0. O intercepto y também é (0, 0).

    Essa linha tem apenas uma interceptação. Esse é o ponto\((0,0)\).

    Para garantir a precisão, precisamos traçar três pontos. Como os\(y\) interceptos\(x\) - e -são o mesmo ponto, precisamos de mais dois pontos para representar graficamente a linha.

    Para encontrar um segundo ponto, deixe x mais 1 e resolva y. A equação y mais 5 x se torna y mais 5 vezes 1. Isso simplifica para y mais 5. Para encontrar um terceiro ponto, deixe x mais menos 1 e resolva y. A equação y mais 5 x se torna y mais 5 vezes menos 1. Isso simplifica para y mais menos 5

    Os três pontos resultantes estão resumidos na tabela.

    \(y=5x\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 0 \((0,0)\)
    1 5 \((1,5)\)
    \(−1\) \(−5\) \((−1,−5)\)

    Faça um gráfico dos três pontos, verifique se eles estão alinhados e desenhe a linha.

    A figura mostra um gráfico da equação y mais 5 x no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. A linha reta passa pelos pontos (menos 1, menos 5), (0, 0) e (1, 5).

    Experimente! \(\PageIndex{21}\)

    Gráfico usando as interceptações:\(y=4x\).

    Responda

    A figura mostra um gráfico de uma linha reta no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. A linha reta passa pelos pontos (menos 1, menos 4), (0, 0) e (1, 4).

    Experimente! \(\PageIndex{22}\)

    Faça um gráfico das interceptações:\(y=−x\).

    Responda

    A figura mostra um gráfico de uma linha reta no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. A linha reta passa pelos pontos (menos 1, 1), (0, 0) e (1, menos 1).

    Conceitos-chave

    • Pontos nos eixos
      • Pontos com uma\(y\) coordenada -igual a\(0\) estão no\(x\) eixo -e têm coordenadas\((a,0)\).
      • Pontos com uma\(x\) coordenada -igual a\(0\) estão no\(y\) eixo -e têm coordenadas\((0,b)\).
    • Quadrante
      Quadrante I Quadrante II Quadrante III Quadrante IV
      \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\)
      \((+,+)\) \((-,+)\) \((-,-)\) \((+,-)\)

      Esta figura mostra o plano de coordenadas x y com os quatro quadrantes identificados. No canto superior direito do plano está o quadrante I rotulado (mais, mais). No canto superior esquerdo do plano está o quadrante II rotulado (menos, mais). Na parte inferior esquerda do plano está o quadrante III rotulado (menos, menos). No canto inferior direito do plano está o quadrante IV rotulado (mais, menos).

    • Gráfico de uma equação linear: O gráfico de uma equação linear\(Ax+By=C\) é uma linha reta.
      Cada ponto na linha é uma solução da equação.
      Cada solução dessa equação é um ponto nessa linha.
    • Como representar graficamente uma equação linear traçando pontos.
      1. Encontre três pontos cujas coordenadas são soluções para a equação. Organize-os em uma mesa.
      2. Faça um gráfico dos pontos em um sistema de coordenadas retangular. Verifique se os pontos estão alinhados. Se não o fizerem, verifique cuidadosamente seu trabalho.
      3. Desenhe a linha através dos três pontos. Estenda a linha para preencher a grade e coloque setas nas duas extremidades da linha.
    • \(x\)-intercepto e\(y\) -intercepto de uma linha
      • O\(x\) intercepto -é o\((a,0)\) ponto em que a linha cruza o\(x\) eixo -.
      • O\(y\) intercepto -é o\((0,b)\) ponto em que a linha cruza o\(y\) eixo -.

    A tabela tem 3 linhas e 2 colunas. A primeira linha é uma linha de cabeçalho com os cabeçalhos x e y. A segunda linha contém a e 0. O intercepto x ocorre quando y é zero. A terceira linha contém 0 e b. O intercepto y ocorre quando x é zero.

    • Encontre as\(y\) interceptações\(x\) - e -da equação de uma reta
      • Use a equação da linha. Para encontrar:
        a\(x\) interceptação da linha, deixe\(y=0\) e resolva\(x.\)
        a\(y\) interceptação -da linha, deixe\(x=0\) e resolva para\(y.\)
    • Como representar graficamente uma equação linear usando os interceptos.
      1. Encontre as\(y\) interceptações\(x\) - e -da linha.
        Deixe\(y=0\) e resolva para\(x.\)
        Deixe\(x=0\) e resolva para\(y.\)
      2. Encontre uma terceira solução para a equação.
      3. Faça um gráfico dos três pontos e verifique se eles estão alinhados.
      4. Desenhe a linha.

    Glossário

    linha horizontal
    Uma linha horizontal é o gráfico de uma equação da forma\(y=b.\) A linha passa pelo\(y\) eixo -em\((0,b).\)
    interceptações de uma linha
    Os pontos em que uma linha cruza o\(x\) eixo\(y\) -e o eixo -são chamados de interceptações da linha.
    equação linear
    Uma equação da forma em\(Ax+By=C,\) que ambas\(B\) são\(A\) e não são zero é chamada de equação linear em duas variáveis.
    par encomendado
    Um par ordenado\((x,y),\) fornece as coordenadas de um ponto em um sistema de coordenadas retangulares. O primeiro número é a\(x\) coordenada -. O segundo número é a\(y\) coordenada -.
    origem
    O ponto\((0,0)\) é chamado de origem. É o ponto em que o\(x\) eixo -e o\(y\) eixo -se cruzam.
    solução de uma equação linear em duas variáveis
    Um par ordenado\((x,y)\) é uma solução da equação linear\(Ax+By=C,\) se a equação for uma afirmação verdadeira quando os\(y\) valores\(x\) - e -do par ordenado forem substituídos na equação.
    forma padrão de uma equação linear
    Uma equação linear está na forma padrão quando é escrita\(Ax+By=C.\)
    linha vertical
    Uma linha vertical é o gráfico de uma equação da forma\(x=a.\) A linha passa pelo\(x\) eixo -em\((a,0).\)