# 4.7: Domain na Aina ya Kazi

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

##### Ufafanuzi: Domain na Aina ya Kazi

Domain ya kazi ni maadili yote iwezekanavyo ya x ambayo inaweza kutumika kama pembejeo kwa kazi, ambayo itasababisha idadi halisi kama pato. Aina ya kazi ni seti ya maadili yote ya pato iwezekanavyo ya kazi.

##### Mfano Template:index

Pata kikoa na upeo wa kazi zifuatazo:

$$f(x) = 5x + 3$$

###### Suluhisho

Nambari yoyote halisi, hasi, chanya au sifuri inaweza kubadilishwa na x katika kazi iliyotolewa. Kwa hiyo, uwanja wa kazi$$f(x) = 5x + 3$$ ni namba zote halisi, au kama ilivyoandikwa katika notation ya muda, ni:$$D:(−\infty , \infty )$$. Kwa sababu kazi$$f(x) = 5x + 3$$ ni polynomial ya shahada ya 1, ni mstari wa moja kwa moja (bila mapumziko au mashimo).

Aina ya polynomial yoyote ya shahada 1 ni namba zote halisi au zimeandikwa katika notation ya muda, ni:$$R:(−\infty , \infty )$$.

##### Mfano Template:index

Pata kikoa na upeo wa kazi zifuatazo:

$$g(x) = 2\sqrt{ x − 4}$$

###### Suluhisho

Jihadharini na sehemu ya mizizi ya mraba ya kazi hii. Radicand (nini ndani ya mizizi ya mraba) lazima iwe isiyo ya hasi. Weka radicna kubwa kuliko au sawa na sifuri ili kupata kikoa:

\begin{aligned} x − 4 &\geq 0 && \text{Set the radicand greater than or equal to 0 }\\ x &\geq 4 &&\text{ Solve the inequality } \\ D&:[4, \infty ) &&\text{Write the solution in interval notation }\end{aligned}

Kwa hiyo, uwanja wa kazi$$g(x) = 2\sqrt{ x − 4}$$ ni namba zote halisi katika kipindi cha kutoka$$[4, \infty )$$, kilichoandikwa$$D:[4, \infty )$$.

Ili kupata aina mbalimbali ya$$g(x) = 2\sqrt{ x − 4}$$, hebu tuangalie tabia ya kazi kwa maadili tofauti ya x yaliyo katika uwanja.

Hebu$$x = 4$$, hivyo$$g(4) = 2\sqrt{ 4 − 4}$$, hivyo$$g(4) = 0$$.

Hebu$$x = 5$$, hivyo$$g(5) = 2\sqrt{ 5 − 4}$$, hivyo$$g(5) = 2$$.

Hebu$$x = 8$$, hivyo$$g(8) = 2\sqrt{ 8 − 4}$$, hivyo$$g(8) = 4$$.

Thamani yoyote isiyo ya hasi iliyochaguliwa kwa x itasababisha thamani isiyo hasi kwa$$g(x)$$. Maadili ya kazi kwa upeo (pato kutoka kwa kazi$$g(x)$$) ni namba zisizo hasi, zilizoandikwa kama$$R:[0, \infty )$$.

##### Mfano Template:index

Pata kikoa na upeo wa kazi zifuatazo:

$$h(x) = −2x^2 + 4x − 9$$

###### Suluhisho

Nambari yoyote halisi, hasi, chanya au sifuri inaweza kuchukua nafasi ya x katika kazi iliyotolewa.

Kwa hiyo, uwanja wa kazi$$h(x) = 2x^2 + 4x − 9$$ ni namba zote halisi, au kama ilivyoandikwa katika notation ya muda, ni:$$D:(−\infty , \infty )$$.

Kwa sababu kazi$$h(x) = 2x^2 + 4x − 9$$ ni quadratic ya shahada 2, wakati graphed, ni parabola (bila mapumziko yoyote au mashimo). Tambua mambo mawili kuhusu parabola hii:

1. Ni njia gani inafungua, juu au chini? na
2. Wapi vertex?

Ishara ya mgawo wa muda wa kuongoza wa kazi ya quadratic ($$2x^2$$) inaonyesha njia gani parabola inafungua. Mgawo ni 2, na kwa kuwa ni chanya, kazi ya quadratic inafungua juu.

Sasa tafuta vertex. Thamani ya y ya jozi iliyoamriwa ya vertex itaonyesha ambapo upeo huanza.

Vertex ni$$\left(−\dfrac{b}{2a} , f\left( −\dfrac{b}{2a} \right)\right)$$, pamoja$$a = 2$$ na$$b = 4$$.

Kipeo ni$$\left(− \dfrac{4 }{2∗2} , f \left(− \dfrac{4 }{2∗2}\right)\right)$$

Vertex ni$$(− 1, f(− 1))$$, ambayo ni$$(− 1, 2 ∗ (−1)^2 − 9))$$ au$$(− 1, −11)$$

Aina hiyo itaanza saa -11, na kuendelea kuongezeka, kwani parabola inafungua juu. $$R:[-11, \infty)$$

##### Mfano Template:index

Pata kikoa na upeo wa kazi zifuatazo:

$$j(x) = \vert z − 6 \vert − 3$$

Suluhisho

Kazi hii ina thamani kamili. Thamani yoyote inaweza kuchaguliwa kwa$$z$$, hivyo uwanja wa kazi ni namba zote halisi, au kama ilivyoandikwa katika nukuu ya muda, ni:$$D:(−\infty , \infty )$$

Ili kupata upeo, angalia ndani ya alama za thamani kamili. Wingi huu, daima$$\vert z−6 \vert$$ kuwa ama 0 au idadi chanya, kwa maadili yoyote ya z Kwanza, kupata nini hufanya usemi z-6 sawa na sifuri, ambayo ni namba 6.

\begin{aligned} j(x) &= \vert z − 6 \vert − 3 &&\text{ Original function } \\ j(x) &= \vert 6 − 6 \vert − 3 && \text{Replace z with 6 } \\j(x) &= \vert 0 \vert − 3 && \text{Simplify } \\ j(x) &= −3 && j(x) \text{ is } −3 \end{aligned}

Kwa hiyo, kazi mbalimbali$$j(x) = \vert z − 6 \vert − 3$$ ni -3 au zaidi, au kama ilivyoandikwa katika notation ya muda, ni:$$R:[-3, \infty)$$

Aina fulani za kazi ni vigumu zaidi kufanya kazi na. Hapa ni baadhi ya mifano ya kazi ambapo uwanja unaweza kupatikana lakini upeo utakuwa vigumu sana kupata, na nje ya upeo wa kozi hii:

##### Mfano Template:index

Pata uwanja wa kazi zifuatazo:

$$f(x) = \dfrac{x − 4 }{x^2 − 2x − 15 }$$

###### Suluhisho

Kwa kazi yoyote ya busara (quotient ya polynomials), kuwa na ufahamu wa mgawanyiko na 0. Weka polynomial denominator sawa na 0 na kutatua.

\begin{aligned} x^2 − 2x − 15 &= 0 &&\text{Set the denominator function equal to } 0 \\ (x − 5)(x + 3) &= 0 &&\text{Factor the quadratic equation } \\ x − 5 &= 0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero } \\ x &= 5 &&\text{Solve the first binomial factor } \\ x + 3 &= 0 &&\text{Set the second binomial factor equal to zero } \\ x &= −3 &&\text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}

Kuna ufumbuzi mbili kwa equation quadratic, 5 na -3.

Maadili haya yanapaswa kuachwa kutoka kwenye kikoa, kwa sababu ikiwa$$x$$ ni 5 au -3, denominator itakuwa sawa na sifuri.

Idara na sifuri haijulikani. Kikoa cha kazi$$f(x) = x − 4 x^2 − 2x − 15$$ ni$$(−\infty , −3) \cup (−3, −5) \cup (−5, \infty )$$.

##### Mfano Template:index

Pata uwanja wa kazi ifuatayo:

$$g(x) = \dfrac{x }{x^2 − 9}$$

###### Suluhisho

Mara nyingine tena hii ni kazi ya busara, na wasiwasi ni kuepuka mgawanyiko na 0. Weka kazi ya denominator sawa na 0 na kutatua.

\begin{aligned} x^{2}-9&=0 && \text { Set the denominator function equal to } 0 \\ (x-3)(x+3)&=0 &&\text{Factor the quadratic equation} \\ x-3&=0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero} \\ x&=3 &&\text{Solve the first binomial factor}\\ x+3&=0 && \text{Set the second binomial factor equal to zero} \\ x&=-3 && \text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}

Kuna ufumbuzi mbili kwa equation quadratic, 3 na -3. Maadili haya yanapaswa kuachwa kutoka kwenye kikoa, kwa sababu ikiwa$$x$$ ni 3 au 1-3, denominator itakuwa sawa na sifuri. Idara na sifuri haijulikani. Kikoa cha kazi$$g(x) =\dfrac{ x}{ x^2 − 9 }$$ ni$$(−\infty , −3) \cup (−3, 3) \cup (3, \infty )$$.

##### Mfano Template:index

Pata uwanja wa kazi ifuatayo:

$$g(t) = \sqrt{6 + t − t^2}$$

###### Suluhisho

Radicand ya kazi hii ya mizizi ya mraba lazima iwe yasiyo ya hasi. Weka radicna kubwa kuliko au sawa na 0 na kutatua.

\begin{aligned} 6 + t − t^2 &\geq 0 &&\text{Set the radicand equal to }0 \\ −t^2 + t + 6 &\geq 0 &&\text{Rewrite the function with the leading term first } \\ (−t + 3)(t + 2) &= 0 && \text{Factor the quadratic equation } \\−t + 3 &= 0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero } \\ t &= 3 && \text{Solve the first binomial factor } \\ t + 2 &= 0 &&\text{Set the second binomial factor equal to zero } \\ t &= −2 &&\text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}

Kuna maadili mawili ambayo yatafanya radicand ya kazi hii ya mizizi ya mraba sifuri, 3 na -2.

Kwa kuwa radicand lazima iwe yasiyo ya hasi, jaribu mikoa kati ya ufumbuzi uliopatikana.

Ikiwa$$x < −2$$, kwa mfano, -4,$$g(−4) = \sqrt{6 + (−4) − (−4)^2}$$ ni hasi, ambayo hairuhusiwi kwa radicand.

Ikiwa$$x$$ ni kati ya -1 na 3, kwa mfano, 0,$$g(0) = \sqrt{6 + (0) − (0)^2}$$ ni chanya. Eneo hili kati ya -1 na 3 litakuwa katika uwanja wa kazi.

Kuna kanda moja zaidi ya kuangalia, wapi$$x > 3$$. Hebu$$x = 4$$. $$g(4) = \sqrt{ 6 + (4) − (4)^2}$$ni hasi, ambayo hairuhusiwi kwa radicand. Kikoa cha kazi$$g(t) = \sqrt{6 + t − t^2}$$ ni$$[−2, 3]$$

##### Zoezi Template:index

Pata uwanja na aina mbalimbali za kazi zifuatazo:

1. $$f(x) = x ^2 − 8x + 12$$
2. $$g(x) = \sqrt{x + 10}$$
3. $$h(x) = \vert − 2x + 1\vert$$
##### Zoezi Template:index

Pata uwanja wa kazi zifuatazo:

1. $$f(x) = \dfrac{6x + 7 }{5x + 2}$$
2. $$f(x) = \dfrac{2x }{2x^2 + 3x − 20}$$
3. $$f(x) =\dfrac{ 4x + 11 }{x^2 + 6x + 9}$$
4. $$f(x) = \dfrac{3x }{x^2 − 5x − 14}$$
5. $$f(x) = \dfrac{2x + 1}{ 6x^2 − x − 2}$$
6. $$f(x) = \dfrac{−6 }{25x^2 − 4}$$