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9.2 : Multiplier des expressions rationnelles

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Définition : Multiplier des expressions rationnelles

    Pour multiplier les expressions rationnelles, multipliez les expressions du numérateur et multipliez les expressions du dénominateur. Ensuite, si possible, simplifiez en factorisant à la fois le numérateur et le dénominateur et en supprimant les facteurs communs.

    Essayez d'utiliser le facteur par regroupement lorsque vous travaillez avec un polynôme\(4\) à terme.

    Remarque : Les dénominateurs communs ne sont pas nécessaires pour multiplier des expressions rationnelles !

    Multipliez les expressions rationnelles :

    1. \(\dfrac{10t}{6t − 12} ∗ \dfrac{20t − 40}{30t^3}\)
    2. \(\dfrac{7x + 14}{ 2x^2 − 8} ∗ \dfrac{x^2 + 3x − 10}{14x + 21}\)
    3. \(\dfrac{3x^3 − 24}{2x^2 − 14x + 20} ∗ \dfrac{4x^3 − 20x^2 + 3x − 15}{3x^2 + 6x + 12}\)

    Solution

    1. \(\begin{array} &&\dfrac{10t}{6t − 12} ∗ \dfrac{20t − 40}{30t^3} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{10t}{6t − 12} ∗ \dfrac{20(t − 2)}{30t^3} &\text{Factor all numerators and denominators} \\ &\dfrac{(2)(5)(t)(2)(2)(5)(t − 2)}{(2)(3)(t − 2)(2)(3)(5)(t)(t^2)} &\text{Factor numbers into prime factors and write with one division bar} \\ &\dfrac{\cancel{(2)}(5)\cancel{(t)}(2)(2)\cancel{(5)}\cancel{(t − 2)}}{\cancel{(2)}(3)\cancel{(t − 2)}(2)(3)\cancel{(5)}\cancel{(t)}(t^2)} &\text{Remove common factors} \\ &\dfrac{(5)(2)(2)}{(3)(2)(3)(t^2)} &\text{Simplify} \\ &\dfrac{20}{18t^2} &\text{Final answer (it is good practice to show final answer as factored as possible)} \end{array} \)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{7x + 14}{2x^2 − 8} ∗ \dfrac{x^2 + 3x − 10}{14x + 21} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{7(x + 2)}{2(x^2 − 4)} ∗ \dfrac{(x + 5)(x − 2)}{7(2x + 3)} &\text{Factor all numerators and denominators} \\ &\dfrac{7(x + 2)(x + 5)(x − 2)}{2(x + 2)(x − 2)(7)(2x + 3)} &\text{Further factor algebraic expressions and numbers into prime factors and write with one division bar} \\ &\dfrac{\cancel{7}\cancel{(x + 2)}(x + 5)(x − 2)}{2\cancel{(x + 2)}(x − 2)\cancel{(7)}(2x + 3)} &\text{Remove common factors} \\ &\dfrac{(x + 5)(x − 2)}{2(x − 2)(2x + 3)} &\text{Final answer} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{3x^3 − 24}{2x^2 − 14x + 20} ∗ \dfrac{4x^3 − 20x^2 + 3x − 15}{3x^2 + 6x + 12} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{3(x^3 − 8)}{2(x^2 − 7x + 10)} ∗ \dfrac{4x^2 (x − 5) + 3(x − 5)}{3(x^2 + 2x + 4)} &\text{Factor all numerators and denominators. Use factor by grouping for the \(4\)-term polynôme.} \ \ & \ dfrac {3 (x − 2) (x^2 + 2x + 4)} {2 (x − 5) (x − 2)} ∗ \ dfrac {(4x^2 + 3) (x − 5)} {3 (x + 2) (x + 2) (x + 2)} & \ text {Expressions algébriques factorielles supplémentaires} \ \ & \ dfrac {3 (x − 2) (x^2 + 2x + 4) (4x^2 + 3) (x − 5)} {2 (x − 5) (x − 2) (3) (x + 2) (x + 2) (x + 2)} & \ text {Autre facteur algébrique expressions et nombres en facteurs premiers et écrire avec une barre de division} \ \ & \ dfrac {\ cancel {3} \ cancel {(x − 2)} (x^2 + 2x + 4) (4x^2 + 3) \ cancel {(x − 5)}} {2 \ cancel {(x − 5)} \ cancel {(x − 2)} \ cancel {(3)} (x − 5)} \ cancel {(3)} (x − 5)} \ cancel {(3)} (x − 5)} \ cancel {(x − 2)} (x − 2)} (x − 2) + 2)} & \ text {Supprimer les facteurs communs} \ \ & \ dfrac {(x^2 + 2x + 4) (4x^2 + 3)} {2 (x + 2) (x + 2) (x + 2)} & amp ; \ text {Réponse finale} \ \ & \ dfrac {(x^2 + 2x + 4) (4x^2 + 3)} {2 (x + 2) ^2} & \ text {La réponse finale peut également être écrite sous cette forme} \ end {array} \)

    Multipliez les expressions rationnelles :

    1. \(\dfrac{x^2 + 4x + 3}{2x^2 − x − 10} ∗ \dfrac{2x^2 + 4x^3}{x^2 + 3x} ∗ \dfrac{x}{x^2 + 3x + 2}\)
    2. \(\dfrac{x^2 + 2x − 15}{x^2 − 4x − 45} ∗ \dfrac{x^2 − 5x − 36}{x^2 + x − 12}\)
    3. \(\dfrac{x^2 + 3x − 40}{x^2 + 2x − 35} ∗ \dfrac{x^2 + 3x − 18}{4x^2 − 5x − 32x + 40}\)