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7.5 : Formes de l'équation d'une droite

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    La section précédente expliquait les équations des lignes verticales et horizontales. Découvrez maintenant trois autres formes d'équations d'une droite, à savoir la forme Slope-Intercept, la forme point-pente et la forme standard.

    Forme d'intersection inclinée de l'équation d'une droite

    Définition : Forme Slope-Intercept

    La forme Slope-Intercept de l'équation d'une droite est de la forme suivante :

    \[y = mx + b \nonumber \]

    \(m\) est la pente de la ligne et\((0, b)\) est l'\(y\)−intercept.

    Notez que l'option\(y\) -intercept est le point où la ligne coupe l'\(y\)axe −, c'est-à-dire le moment où\(x = 0\).

    Écrivez une équation de la droite avec les pentes et les\(y\) -intercepts donnés.

    1. pente =\(5\) ;\(y\) −intercepter\((0, \dfrac{1}{2})\)
    2. pente =\(−\dfrac{5}{6}\) ;\(y\) − intercepter\((0, −\dfrac{3}{4})\)

    Solution

    1. \(m = 5\)et\(b = \dfrac{1}{2}\)

    L'équation d'une droite est de la forme\(y = mx + b\). Ainsi,

    \(\begin{array} &&y = mx + b &\text{Slope-intercept form} \\ &= 5x + \dfrac{1}{2} &\text{Substitute \(m = 5\)et\(b = \dfrac{1}{2}\)} \ end {array} \)

    Par conséquent,\(y = 5x + \dfrac{1}{2}\) est l'équation de la droite avec la pente et l'\(y\)intersection données.

    1. Donné\(m = −\dfrac{5}{6}\) et\(b = −\dfrac{3}{4}\)

    Ainsi,

    \(\begin{array} &&y = mx + b &\text{Slope-intercept form} \\ &= −\dfrac{5}{6}x −\dfrac{3}{4} &\text{Substitute values} \end{array}\)

    Par conséquent,\(y = −\dfrac{5}{6}x − \dfrac{3}{4}\) est l'équation de la droite avec la pente et l'\(y\)intersection données.

    Identifiez la pente et\(y\) −interceptez ensuite, utilisez-les pour représenter graphiquement chaque ligne.

    1. \(y = −2x + 4\)
    2. \(5y − 3x = 10\)

    Solution

    a. Notez que l'équation linéaire donnée se présente sous la forme pente-intersection. Donc,\(m = −2\) ou de manière équivalente,\(m = −\dfrac{2}{1}\) et\(b = 4\)

    \(m\)est donc la pente de la ligne\(m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} = −\dfrac{2}{1}\). Pour tracer la ligne, tracez au moins deux points. Commencez par l'\(2\)unité\(y\) −intercepter\((0, 4)\) et descendez, puis déplacez-vous vers l'\(1\)unité de droite pour tracer le deuxième point. Joignez maintenant les deux points avec une ligne droite, comme indiqué dans la figure ci-dessous.

    clipboard_e5fcc0c548a6809df50a713b48295362a.png

    b. Notez qu'il n'est pas clair comment identifier la pente et l'\(y\)intersection dans cette équation linéaire donnée, car elle ne se présente pas sous la forme pente-intersection. Donc, résolvez\(y\) pour avoir l'équation sous la forme pente-intersection comme suit,

    \(\begin{array} &&5y − 3x = −10 &\text{Given} \\ &5y = 3x − 10 &\text{Add \(3x\)des deux côtés de l'équation} \ \ &y = \ dfrac {3} {5} x − 2 & \ text {Divisez tous les termes par\(5\) pour isoler\(y\)} \ end {array} \)

    Maintenant,\(m = \dfrac{3}{5}\) et\(b = −2\). Commencez par tracer l'\(y\)intersection\((0, −2)\), puis déplacez les\(3\) unités vers le haut et les\(5\) unités vers la droite et tracez le deuxième point qui est\((5, 1)\). Maintenant, joignez les deux points, à savoir,\((0, −2)\) et\((5, 1)\) pour obtenir le graphique de la droite illustrée dans la figure ci-dessous.

    clipboard_eca3205bebd002556f4570dc0193cd9f6.png

    Ecrivez l'équation d'une droite avec la pente et l'\(y\)intersection données.

    1. pente :\(2\)\(y\) -intercepter :\((0, \dfrac{3}{4})\)
    2. pente :\(\dfrac{5}{7}\)\(y\) -intercepter :\((0, −6)\)
    3. pente :\(−\dfrac{1}{2}\)\(y\) -intercepter :\((0, −\dfrac{7}{11} )\)

    Identifiez la pente et l'\(y\)intersection, puis utilisez-les pour représenter graphiquement chaque ligne.

    1. \(y = 5x − 3\)
    2. \(2y = −6x + 1\)

    Forme de pente ponctuelle de l'équation d'une droite

    Définition : Forme à pente ponctuelle

    La forme de pente ponctuelle de l'équation d'une droite est la suivante :

    \[y − y_1 = m(x − x_1) \nonumber \]

    Où se\(m\) trouve la pente de la ligne et où\((x_1, y_1)\) se trouve n'importe quel point de la ligne droite.

    Détermine l'équation de chaque droite passant par le point et la pente donnés.

    1. Pente\(3\) et pointe\((−1, 8)\)
    2. Pente\(−\dfrac{5}{2}\) et pointe\((\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{3})\)

    Solution

    1. Pour trouver l'équation de la droite passant par le point\((−1, 8)\) avec pente\(m = 3\), utilisez la forme de pente ponctuelle comme suit :

    \(\begin{array} &&y − y_1 = m(x − x_1) &\text{Point-Slope form} \\ &y − 8 = 3[x − (−1)] &\text{Substitute \(m = 3\)\(x_1 = −1\), et\(y_1 = 8\)} \ \ &y − 8 = 3 (x + 1) & \ text {Simplifier} \ \ &y − 8 = 3x + 3 & \ text {Multipliez les deux termes à droite de l'équation par\(3\)} \ \ &y = 3x + 11 & \ text {Ajoutez\(8\) des deux côtés de l'égalité pour isoler\(y\)} \ end {array} \)

    Donc,\(y = 3x + 11\) est l'équation de la droite avec la pente et le point donnés. La ligne se présente sous la forme d'une pente d'interception.

    1. Comme dans la partie a, utilisez le formulaire de pente ponctuelle comme suit :

    \(\begin{array} &&y − y_1 = m(x − x_1) &\text{Point-Slope form} \\ & y−(−\dfrac{1}{3}) = −\dfrac{5}{2} (x −\dfrac{4}{3}) &\text{Substitute \(m = −\dfrac{5}{2},\;\; x_1 = \dfrac{4}{3}\), et\(y_1 = −\dfrac{1}{3}\)} \ \ &y + \ dfrac {1} {3} = − \ dfrac {5} {2} x + \ dfrac {20} {6} & \ text {Distribuer et simplifier} \ \ &y = − \ dfrac {5} {2} x + \ dfrac {20} {6} − \ dfrac {1} {3} & \ text {Soustraire\(\dfrac{1}{3}\) des deux côtés} \ \ &y = − \ dfrac {5} {2} x + 3 & \ text {Pour combiner les deux fractions, notez que l'écran LCD\(= 6\).} \ \ & & \ text {Multipliez le numérateur et le dénominateur de\(\dfrac{1}{3}\) par\(2\) et simplifiez :} \ \ & & \ text {\(\dfrac{20}{6} − \dfrac{1(2)}{3(2)} = \dfrac{20}{6} − \dfrac{2}{6} = \dfrac{18}{6} = 3\)} \ end {array} \)

    C'\(y = −\dfrac{5}{2}x + 3\)est donc l'équation de la droite passant par le point donné et la pente donnée.

    Trouvez une équation de la droite en fonction des points\((2, 4)\) et\((−3, 9)\).

    Notez que plus tôt dans ce chapitre, il a expliqué comment trouver l'équation d'une droite en fonction d'une pente et\(y\) d'une intersection. Ce chapitre explique également comment trouver l'équation d'une droite en fonction de n'importe quel point de la ligne et d'une pente. Ainsi, dans les deux méthodes, la pente est donnée.

    Solution

    Pour trouver l'équation d'une droite à partir de deux points quelconques sur la ligne, déterminez d'abord la pente à l'aide de la pente de la formule linéaire. Ensuite, appliquez la forme de pente ponctuelle avec l'un des points donnés. Tout d'abord, utilisez les deux points pour déterminer la pente de la ligne. Laissez\((x_1, y_1) = (2, 4)\) et\((x_2, y_2) = (−3, 9)\). Ensuite,

    \(\begin{array} &&m = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} &\text{Slope of the line formula} \\ &= \dfrac{9 − 4}{−3 − 2} &\text{Substitute values} \\ &= \dfrac{5}{−5} &\text{Simplify} \\ &= −1 & \end{array}\)

    Maintenant que la pente a été trouvée, trouvez ensuite l'équation de la droite en utilisant l'un des points donnés. Donc, pensez\(m = −1\) à utiliser le point\((2, 4)\).

    \(\begin{array} &&y − y_1 = m(x − x_1) &\text{Point-slope form} \\ &y − 4 = −1(x − 2) &\text{Substitute \(m = −1\)\(x_1 = 2\),\(y_1 = 4\)} \ \ &y − 4 = −x + 2 & \ text {Répartir\(-1\) selon les deux termes de droite} \ \ &y = −x + 6 & \ text {Ajoutez\(4\) des deux côtés de l'équation pour isoler\(y\)} \ end {array} \)

    Par conséquent,\(y = −x + 6\) est l'équation de la droite passant par le point donné et a la forme pente-intersection.

    Détermine l'équation de chaque droite passant par le point donné et dont la pente est donnée.

    1. La pente\(−\dfrac{5}{2}\) et la pointe\((3, 0)\).
    2. La pente\(\dfrac{1}{2}\) et la pointe\((−2, −3)\).

    Trouvez une équation de la droite en fonction des points suivants.

    1. \((−9, −3)\)et\((6, −2)\)
    2. \((4, 1)\)et\((−2, 2)\)

    Forme standard de l'équation d'une droite (alias Forme générale d'une équation linéaire)

    Définition : Formulaire standard

    La forme standard d'une ligne non verticale est dans le formulaire

    \[Ax + By = C \nonumber \]

    \(A\) est un entier positif\(B\) et\(C\) sont des nombres entiers avec\(B \neq 0\).

    Représentez graphiquement chaque ligne des équations suivantes :

    1. \(4x − 3y = 6\)
    2. \(\dfrac{1}{2} − y + 1 = 0\)

    Notez que l'\(x\)-intercept est le point où la ligne croise l'\(x\)axe. C'est-à-dire quand\(y = 0\). Ainsi, le\(x\) -intercept est un point de la forme\((a, 0)\), où se\(a\) trouve n'importe quel nombre réel.

    Solution

    1. L'équation\(4x − 3y = 6\) se présente sous forme standard. Pour représenter graphiquement la droite de l'équation donnée, il peut être possible d'utiliser plusieurs méthodes. Par exemple, résolvez\(y\) pour obtenir l'équation sous forme d'intersection de pente, puis tracez la ligne. Il est également possible de trouver deux points, puis de tracer la ligne. Les deux points les plus faciles à trouver rapidement sont les\(y\) interceptions\(x\) et. Cette méthode est donc recommandée.

    Pour trouver le\(x\) -intercept,\(y = 0\) définissez-le dans l'équation donnée et résolvez-le\(x\) comme suit,

    \(\begin{array} &&4x − 3y = 6 &\text{Given} \\ &4x − 3(0) = 6 &\text{Substitute \(y = 0\)} \ \ &4x = 6 & \ text {Simplify} \ \ &x = \ dfrac {6} {4} & \ text {Divisez par\(4\) les deux côtés de l'équation} \ \ &x = \ dfrac {3} {2} & \ text {Simplify} \ end {array} \)

    Par conséquent, le\(x\) -intercept est le point\((\dfrac{3}{2}, 0)\)

    Maintenant, pour trouver le\(y\) -intercept, définissez\(x = 0\) comme suit,

    \(\begin{array} &&4x − 3y = 6 &\text{Given} \\ &4(0) − 3y = 6 &\text{Substitute \(x = 0\)} \ \ &−3y = 6 & \ text {Simplify} \ \ &y = 6 −3 & \ text {Divisez par\(−3\) les deux côtés de l'équation} \ \ &y = −2 & \ text {Simplify} \ end {array} \)

    Maintenant, tracez les points\((\dfrac{3}{2}, 0)\)\((0, −2)\) et tracez la ligne droite qui les traverse, comme indiqué dans la figure ci-dessous.

    clipboard_ede795f89eb03e5b448b62ec8dc0b7663.png

    L'équation n'\(\dfrac{1}{2} x − y + 1 = 0\)est pas sous forme standard. Donc,\(1\) soustrayez des deux côtés de l'équation pour obtenir\(\dfrac{1}{2}x − y = −1\) ce qui est maintenant sous forme standard.

    Encore une fois, comme dans la partie b, trouvez les\(x\) et\(y\) -intercepts. Tout d'abord, trouvez l'\(x\)option -intercept en la définissant\(y = 0\) et en la\(x\) résolvant comme suit.

    \( \begin{array} &&\dfrac{1}{2}x − y = −1 &\text{Standard form of the given equation} \\ &\dfrac{1}{2}x − (0) = −1 &\text{Substitute \(y = 0\)} \ \ & \ dfrac {1} {2} x = −1 & \ text {Simplifier} \ \ &x = −2 & \ text {Multipliez par\(2\) les deux côtés de l'équation.} \ end {tableau} \)

    Ainsi, le\(x\) -intercept est le point\((−2, 0)\).

    Maintenant,\(x = 0\) paramétrez pour trouver le\(y\) -intercept, comme suit,

    \( \begin{array} &&\dfrac{1}{2}x − y = −1 &\text{Standard form of the given equation} \\ &\dfrac{1}{2}(0) − y = −1 &\text{Substitute \(x = 0\)} \ \ &−y = −1 & \ text {Simplifier} \ \ &y = 1 & \ text {Multipliez par\(-1\).} \ end {tableau} \)

    Par conséquent, le\(y\) -intercept est\((0, 1)\).

    \(x\)Tracez\(y\) les points d'intersection\((−2, 0)\) et\((0, 1)\), puis tracez la ligne droite qui les traverse, comme indiqué dans la figure ci-dessous.

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    Il n'y a pas de devoirs pour cette section.