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7.3 : Lignes perpendiculaires

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    Définition : Lignes perpendiculaires

    Deux lignes distinctes\(l\) et\(q\) qui sont perpendiculaires\(l ⊥ q\), écrites, si leur intersection forme quatre angles droits ou angles avec mesure\(90^{\circ}\). Les pentes des lignes perpendiculaires\(l\) et\(q\) sont des inverses négatives. C'est-à-dire

    \[m_l = −\dfrac{1}{m_q} \nonumber \]

    et

    \[m_q = − \dfrac{1}{m_l} \nonumber \]

    Déterminez si les lignes données sont perpendiculaires. La ligne\(l\) qui passe par les points\((0, 1)\) et\((1, 3)\), et la ligne\(q\) qui passe par les points\((−1, 4)\) et\((5, 1)\).

    Solution

    Pour déterminer si les lignes sont perpendiculaires, déterminez d'abord leurs pentes à l'aide de la pente de la formule linéaire. La pente de la ligne\(l\)\(m_l\), qui passe par les points\((0, 1)\) et\((1, 3)\) est

    \(\begin{array}s m_l &= \dfrac{3 − 1}{1 − 0} \\ &= \dfrac{2}{1} \\ &= 2 \end{array}\)

    La pente de la ligne\(q\)\(m_q\), qui passe par les points\((−1, 4)\) et\((5, 1)\), est

    \(\begin{array}s m_q &= \dfrac{1 − 4}{5 − (-1)} \\ &= \dfrac{-3}{6} \\ &= \dfrac{-1}{2} \end{array}\)

    Maintenant, les lignes\(l\) 1 et\(q\) 3 sont perpendiculaires si et seulement si :

    \(m_l = −\dfrac{1}{m_q} \text{ and } m_q = −\dfrac{1}{m_l}\)

    \(m_l = 2\)et\(m_q = −\dfrac{1}{m_l} = −\dfrac{1}{2}\). Par conséquent, les pentes des lignes sont réciproques négatives, de sorte que l'on peut en conclure que les lignes\(l\) et\(q\) sont des lignes perpendiculaires.

    Détermine la pente d'une droite perpendiculaire à la ligne\(l\) passant par les points\((−3, 0)\) et\((3, 4)\).

    Solution

    Commencez par déterminer la pente de la ligne\(l\) qui passe par les points\((−3, 0)\) et\((3, 4)\) utilisez la pente de la formule de la droite. Ainsi,

    \(\begin{array} s m_l &= \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} \\ &= \dfrac{4 − 0}{3 − (−3)} \\ &= \dfrac{4}{6} \\ &= \dfrac{2}{3} \end{array}\)

    Toute ligne perpendiculaire à une ligne\(l\) doit avoir une pente inverse négative de sa pente. \(m_l = \dfrac{2}{3}\)Depuis lors, la pente de la ligne perpendiculaire à la ligne\(l\) doit être\(m = −\dfrac{3}{2}\)

    Déterminez si les lignes données sont perpendiculaires.

    1. La ligne\(l\) qui passe par les points\((0, 4)\)\((5, 3)\) et la ligne\(q\) qui passe par les points\((1, 5)\) et\((−1, −5)\).
    2. La ligne\(l\) qui passe par les points\((−2, −5)\)\((1, 7)\) et la ligne\(q\) qui passe par les points\((−4, 1)\) et\((−3, −3)\).

    Détermine la pente d'une droite perpendiculaire à :

    1. Ligne\(l\) qui passe par les points\((4, 2)\) et\((−1, −2)\).
    2. Ligne\(q\) qui passe par les points\((7, −8)\) et\((9, 1)\).