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4.7 : Domaine et plage d'une fonction

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    Définition : Domaine et plage d'une fonction

    Le domaine d'une fonction est constitué de toutes les valeurs possibles de x qui peuvent être utilisées en entrée de la fonction, ce qui donnera un nombre réel en sortie. La plage d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles d'une fonction.

    Trouvez le domaine et la plage de la fonction suivante :

    \(f(x) = 5x + 3 \)

    Solution

    Tout nombre réel, négatif, positif ou nul, peut être remplacé par x dans la fonction donnée. Par conséquent, le domaine de la fonction\(f(x) = 5x + 3 \) est composé de tous les nombres réels, ou, comme écrit en notation par intervalles, est :\(D:(−\infty , \infty )\). Comme la fonction\(f(x) = 5x + 3\) est un polynôme de degré 1, il s'agit d'une ligne droite (sans ruptures ni trous).

    La plage de tout polynôme de degré 1 est composée uniquement de nombres réels ou écrite en notation par intervalles, est :\(R:(−\infty , \infty )\).

    Trouvez le domaine et la plage de la fonction suivante :

    \(g(x) = 2\sqrt{ x − 4}\)

    Solution

    Faites attention à la racine carrée de cette fonction. Le radical (ce qui se trouve à l'intérieur de la racine carrée) ne doit pas être négatif. Définissez le radical et supérieur ou égal à zéro pour trouver le domaine :

    \(\begin{aligned} x − 4 &\geq 0 && \text{Set the radicand greater than or equal to 0 }\\ x &\geq 4 &&\text{ Solve the inequality } \\ D&:[4, \infty ) &&\text{Write the solution in interval notation }\end{aligned}\)

    Par conséquent, le domaine de la fonction\(g(x) = 2\sqrt{ x − 4}\) est composé de tous les nombres réels compris dans l'intervalle de\([4, \infty )\), qui est écrit\(D:[4, \infty )\).

    Pour trouver la plage de\(g(x) = 2\sqrt{ x − 4}\), observons le comportement de la fonction pour les différentes valeurs de x présentes dans le domaine.

    Laisse\(x = 4\)\(g(4) = 2\sqrt{ 4 − 4}\), donc\(g(4) = 0\).

    Laisse\(x = 5\)\(g(5) = 2\sqrt{ 5 − 4}\), donc\(g(5) = 2\).

    Laisse\(x = 8\)\(g(8) = 2\sqrt{ 8 − 4}\), donc\(g(8) = 4\).

    Toute valeur non négative choisie pour x se traduira par une valeur non négative pour\(g(x)\). Les valeurs de fonction pour la plage (la sortie de la fonction\(g(x)\)) sont des nombres non négatifs, écrits sous la forme\(R:[0, \infty )\).

    Trouvez le domaine et la plage de la fonction suivante :

    \(h(x) = −2x^2 + 4x − 9\)

    Solution

    Tout nombre réel, négatif, positif ou nul peut remplacer x dans la fonction donnée.

    Par conséquent, le domaine de la fonction\(h(x) = 2x^2 + 4x − 9\) est composé de tous les nombres réels, ou, comme écrit en notation par intervalles, est :\(D:(−\infty , \infty )\).

    Comme la fonction\(h(x) = 2x^2 + 4x − 9\) est une quadratique de degré 2, lorsqu'elle est représentée graphiquement, elle est une parabole (sans ruptures ni trous). Identifiez deux choses à propos de cette parabole :

    1. Dans quel sens s'ouvre-t-il, vers le haut ou vers le bas ? et
    2. Où se trouve le sommet ?

    Le signe du coefficient du terme principal de la fonction quadratique (\(2x^2\)) indique dans quelle direction s'ouvre la parabole. Le coefficient est de 2, et comme il est positif, la fonction quadratique s'ouvre vers le haut.

    Maintenant, trouvez le sommet. La valeur y de la paire ordonnée de sommets indiquera où commence la plage.

    Le sommet est\(\left(−\dfrac{b}{2a} , f\left( −\dfrac{b}{2a} \right)\right)\), avec\(a = 2\) et\(b = 4\).

    Le sommet est\(\left(− \dfrac{4 }{2∗2} , f \left(− \dfrac{4 }{2∗2}\right)\right)\)

    Le sommet est\((− 1, f(− 1))\), qui est\((− 1, 2 ∗ (−1)^2 − 9))\) ou\((− 1, −11)\)

    La plage commencera à −11 et continuera d'augmenter, puisque la parabole s'ouvre vers le haut. \(R:[-11, \infty)\)

    Trouvez le domaine et la plage de la fonction suivante :

    \(j(x) = \vert z − 6 \vert − 3\)

    Solution

    Cette fonction contient une valeur absolue. N'importe quelle valeur peut être choisie\(z\), de sorte que le domaine de la fonction soit composé uniquement de nombres réels, ou, comme écrit en notation par intervalles, est :\(D:(−\infty , \infty )\)

    Pour trouver la plage, examinez l'intérieur des symboles de valeur absolue. Cette quantité\(\vert z−6 \vert\) sera toujours égale à 0 ou à un nombre positif, pour toutes les valeurs de z. Commencez par déterminer ce qui rend l'expression z−6 égale à zéro, c'est-à-dire le nombre 6.

    \(\begin{aligned} j(x) &= \vert z − 6 \vert − 3 &&\text{ Original function } \\ j(x) &= \vert 6 − 6 \vert − 3 && \text{Replace z with 6 } \\j(x) &= \vert 0 \vert − 3 && \text{Simplify } \\ j(x) &= −3 && j(x) \text{ is } −3 \end{aligned}\)

    Par conséquent, la plage de la fonction\(j(x) = \vert z − 6 \vert − 3\) est égale ou supérieure à −3, ou, telle qu'elle est écrite en notation par intervalles, est la suivante :\(R:[-3, \infty)\)

    Certains types de fonctions sont plus difficiles à utiliser. Voici quelques exemples de fonctions pour lesquelles le domaine peut être trouvé mais où la plage serait trop difficile à trouver, et qui sortent du cadre de ce cours :

    Trouvez le domaine des fonctions suivantes :

    \(f(x) = \dfrac{x − 4 }{x^2 − 2x − 15 }\)

    Solution

    Pour n'importe quelle fonction rationnelle (un quotient de polynômes), soyez conscient de la division par 0. Définissez le polynôme du dénominateur égal à 0 et résolvez.

    \(\begin{aligned} x^2 − 2x − 15 &= 0 &&\text{Set the denominator function equal to } 0 \\ (x − 5)(x + 3) &= 0 &&\text{Factor the quadratic equation } \\ x − 5 &= 0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero } \\ x &= 5 &&\text{Solve the first binomial factor } \\ x + 3 &= 0 &&\text{Set the second binomial factor equal to zero } \\ x &= −3 &&\text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}\)

    Il existe deux solutions à l'équation quadratique, 5 et −3.

    Ces valeurs doivent être exclues du domaine, car si elles\(x\) sont égales à 5 ou -3, le dénominateur sera égal à zéro.

    La division par zéro n'est pas définie. Le domaine de la fonction\(f(x) = x − 4 x^2 − 2x − 15\) est\((−\infty , −3) \cup (−3, −5) \cup (−5, \infty )\).

    Trouvez le domaine de la fonction suivante :

    \(g(x) = \dfrac{x }{x^2 − 9}\)

    Solution

    Encore une fois, il s'agit d'une fonction rationnelle, et le souci est d'éviter la division par 0. Définissez la fonction du dénominateur sur 0 et résolvez.

    \(\begin{aligned} x^{2}-9&=0 && \text { Set the denominator function equal to } 0 \\ (x-3)(x+3)&=0 &&\text{Factor the quadratic equation} \\ x-3&=0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero} \\ x&=3 &&\text{Solve the first binomial factor}\\ x+3&=0 && \text{Set the second binomial factor equal to zero} \\ x&=-3 && \text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}\)

    Il existe deux solutions à l'équation quadratique, 3 et −3. Ces valeurs doivent être exclues du domaine, car si la valeur\(x\) est 3 ou −3, le dénominateur sera égal à zéro. La division par zéro n'est pas définie. Le domaine de la fonction\(g(x) =\dfrac{ x}{ x^2 − 9 }\) est\((−\infty , −3) \cup (−3, 3) \cup (3, \infty )\).

    Trouvez le domaine de la fonction suivante :

    \(g(t) = \sqrt{6 + t − t^2}\)

    Solution

    Le radical de cette fonction de racine carrée ne doit pas être négatif. Définissez le radical et une valeur supérieure ou égale à 0 et résolvez.

    \(\begin{aligned} 6 + t − t^2 &\geq 0 &&\text{Set the radicand equal to }0 \\ −t^2 + t + 6 &\geq 0 &&\text{Rewrite the function with the leading term first } \\ (−t + 3)(t + 2) &= 0 && \text{Factor the quadratic equation } \\−t + 3 &= 0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero } \\ t &= 3 && \text{Solve the first binomial factor } \\ t + 2 &= 0 &&\text{Set the second binomial factor equal to zero } \\ t &= −2 &&\text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}\)

    Deux valeurs feront en sorte que le radical de cette racine carrée fonctionne à zéro, 3 et −2.

    Comme le radicand ne doit pas être négatif, testez les régions situées entre les solutions trouvées.

    Si\(x < −2\), par exemple, −4\(g(−4) = \sqrt{6 + (−4) − (−4)^2}\) est négatif, ce qui n'est pas autorisé pour le radicand.

    Si\(x\) est compris entre −2 et 3, par exemple 0,\(g(0) = \sqrt{6 + (0) − (0)^2}\) est positif. Cette région comprise entre -2 et 3 sera dans le domaine de la fonction.

    Il y a encore une région à vérifier, où\(x > 3\). Laissez\(x = 4\). \(g(4) = \sqrt{ 6 + (4) − (4)^2}\)est négatif, ce qui n'est pas autorisé pour le radicand. Le domaine de la fonction\(g(t) = \sqrt{6 + t − t^2}\) est\([−2, 3]\)

    Trouvez le domaine et l'étendue des fonctions suivantes :

    1. \(f(x) = x ^2 − 8x + 12\)
    2. \(g(x) = \sqrt{x + 10}\)
    3. \(h(x) = \vert − 2x + 1\vert\)

    Trouvez le domaine des fonctions suivantes :

    1. \(f(x) = \dfrac{6x + 7 }{5x + 2}\)
    2. \(f(x) = \dfrac{2x }{2x^2 + 3x − 20}\)
    3. \(f(x) =\dfrac{ 4x + 11 }{x^2 + 6x + 9}\)
    4. \(f(x) = \dfrac{3x }{x^2 − 5x − 14}\)
    5. \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{ 6x^2 − x − 2}\)
    6. \(f(x) = \dfrac{−6 }{25x^2 − 4}\)