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4.5 : Fonctions à valeur absolue

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    165737
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Pour représenter graphiquement des fonctions à valeur absolue, choisissez de petites valeurs de\(x\) et calculez la valeur de\(f(x)\) à partir de la fonction donnée afin de créer des paires ordonnées. Trois paires ordonnées constituent la quantité minimale requise pour représenter graphiquement une fonction de valeur absolue. Attention, car une paire ordonnée doit représenter le sommet, le point où les côtés gauche et droit de la fonction se rencontrent. Pour représenter graphiquement correctement la forme de la fonction de valeur absolue, le sommet doit être trouvé.

    \(f(x) = a\vert x − h\vert+ k\)Forme générale d'une fonction à valeur absolue, avec sommet\((h,k)\)

    • \(a\)détermine à la fois la largeur et l'orientation (vers le haut ou vers le bas) de la fonction.
    • \(h\)est le décalage horizontal par rapport à l'origine.
    • \(k\)est le décalage vertical par rapport à l'origine.

    Commencez par identifier la paire ordonnée du sommet, puis trouvez une paire ordonnée à gauche de l'origine et à droite de l'origine. Choisissez une valeur x à une unité à gauche de la valeur x de l'origine, calculez,\(f(x)\) puis choisissez une valeur x à une unité à droite de la valeur x de l'origine et calculez\(f(x)\). Le graphique ressemblera à un\(V\), orienté vers le haut ou vers le bas, selon le signe de\(a\).

    Créez un tableau de solutions et représentez graphiquement la fonction de valeur absolue suivante :

    \(f(x) = \vert x − 4\vert\)

    Solution

    Comparaison de cette fonction à la forme générale des fonctions à valeur absolue (illustrée ci-dessus),\(a = 1\),\(h = 4\),\(k = 0\). Le sommet est\((h, k)\) ou\((4, 0)\).

    Pour trouver deux autres paires ordonnées, choisissez\(x = 3\) puis\(x = 5\) calculez les valeurs de\(f(x)\).

    clipboard_e4c9bfc2e550aa369ba89481f9ab5d4fb.png
    Figure Template:index
    Tableau des solutions pour\(f(x) = \vert x − 4\vert\)
    \(x\) \(f(x)\)
    \ (x \) « >3 \ (f (x) \) « >\(f(3) = \vert 3 − 4\vert = \vert − 1\vert = 1\)
    \ (x \) « >4 \ (f (x) \) « >\(f(4) = \vert 4 − 4\vert = \vert 0\vert = 0\)
    \ (x \) « >5 \ (f (x) \) « >\(f(5) = \vert 5 − 4\vert = \vert 1\vert = 1\)

    Créez un tableau de solutions et représentez graphiquement la fonction de valeur absolue suivante :

    \(g(x) = \vert x + 2\vert − 5\)

    Solution

    Comparaison de cette fonction à la forme générale des fonctions à valeur absolue (illustrée ci-dessus),\(a = 1\),\(h = −2\),\(k = −5\). Le sommet est (h, k) \) ou\((−2, −5)\).

    Pour trouver deux autres paires ordonnées, choisissez\(x = −3\) puis\(x = −1\) calculez les valeurs de\(g(x)\)

    clipboard_e4ca56e46ab74be7e1b0eaaea223f1a1d.png
    Figure Template:Index
    Tableau des solutions pour\(g(x) = \vert x + 2\vert − 5\)
    \(x\) \(g(x)\)
    -3 \(g(−3) = \vert − 3 + 2\vert − 5 = \vert − 1\vert − 5 = 1 − 5 = −4\)
    -2 \(g(−2) = \vert − 2 + 2\vert − 5 = \vert 0\vert − 5 = 0 − 5 = −5\)
    -1 \(g(−1) = \vert − 1 + 2\vert − 5 = \vert 1\vert − 5 = 1 − 5 = −4\)

    Créez un tableau de solutions et représentez graphiquement la fonction de valeur absolue suivante :

    \(h(x) = 3\vert x − 5\vert + 1\)

    Solution

    Comparaison de cette fonction à la forme générale des fonctions à valeur absolue (illustrée ci-dessus),\(a = 3\),\(h = 5\),\(k = 1\). Le sommet est\((h, k)\) ou\((5, 1)\).

    Pour trouver deux autres paires ordonnées, choisissez\(x = 4\) puis\(x = 6\) calculez les valeurs de\(h(x)\).

    clipboard_ee43f5a639ef847eb9b27a95bb4052b84.png
    Figure Template:Index
    Tableau des solutions pour\(h(x) = 3\vert x − 5\vert + 1\)
    \(x\) \(h(x)\)
    4 \(g(−3) = \vert − 3 + 2\vert − 5 = \vert − 1\vert − 5 = 1 − 5 = −4\)
    5 \(g(−2) = \vert − 2 + 2\vert − 5 = \vert 0\vert − 5 = 0 − 5 = −5\)
    6 \(g(−1) = \vert − 1 + 2\vert − 5 = \vert 1\vert − 5 = 1 − 5 = −4\)

    Créez un tableau de solutions et représentez graphiquement la fonction de valeur absolue suivante :

    \(h(x) = \dfrac{1}{2} \vert x − 2\vert + 3\)

    Solution

    Comparaison de cette fonction à la forme générale des fonctions à valeur absolue (illustrée ci-dessus),\(a = \dfrac{1}{2} \),\(h = 2\),\(k = 3\). Le sommet est\((h, k)\) ou\((2, 3)\).

    Pour trouver deux autres paires ordonnées, choisissez\(x = 1\) puis\(x = 3\) calculez les valeurs de\(h(x)\).

    clipboard_ecc69da60d6771932018e42e8e7a5cdda.png
    Figure Template:Index
    Tableau des solutions pour\(h(x) = \dfrac{1}{2} \vert x − 2\vert + 3\)
    \(x\) \(h(x)\)
    1 \(h(1) = \dfrac{1}{2} \vert 1 − 2\vert + 3 = \dfrac{1}{2} \vert − 1\vert + 3 = \dfrac{1}{2} (1) + 3 = 3\dfrac{1}{2}\)
    2 \(h(2) = \dfrac{1}{2} \vert 2 − 2\vert + 3 = \dfrac{1}{2} \vert 0\vert + 3 = 0 + 3 = 3\)
    3 \(h(3) = \dfrac{1}{2} \vert 3 − 2\vert + 3 = \dfrac{1}{2} \vert 1\vert + 3 = \dfrac{1}{2} (1) + 3 = 3\dfrac{1}{2}\)

    Créez un tableau de solutions et représentez graphiquement les fonctions de valeur absolue suivantes :

    1. \(f(x) = \vert x + 6\vert\)
    2. \(g(x) = \dfrac{1}{3} \vert x − 3\vert + 5\)
    3. \(h(x) = 4\vert x + 2\vert + 2\)
    4. \(f(x) = \vert x − 1\vert − 5\)