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5.5 : La règle des exposants négatifs

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    Dans la section 5.3, l'exposant du nombre dans le numérateur était supérieur à l'exposant du nombre dans le dénominateur. Dans la section 5.4, l'exposant du nombre dans le numérateur était égal à l'exposant du nombre dans le dénominateur. Dans la section 5.5, l'exposant du nombre dans le dénominateur peut être supérieur à l'exposant du nombre dans le numérateur.

    Définition : La règle des exposants négatifs

    Pour tout nombre réel non nul a et tout entier n, la règle des exposants négatifs est la suivante

    \(a^{−n}= \dfrac{1 }{a^n} or \dfrac{1 }{a^{−n}} = a^n\)

    C'est une mauvaise forme en mathématiques de laisser des exposants négatifs dans la réponse. Toutes les réponses seront toujours simplifiées pour afficher des exposants positifs.

    Comment est-ce que cela fonctionne ?

    Rappel :

    \[\begin{align*} 2^3 &= 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \\[4pt] 2^2 &= 2 \cdot 2 = 4 \\[4pt] 2^1 &= 2 = 2 \\[4pt] 2^0 &= 1 \end{align*} \nonumber \]

    Que se passe-t-il avec les exposants négatifs ?

    \[\begin{align*} 2^{−1 } &= \dfrac{1 }{2^1 }= \dfrac{1 }{2} \\[4pt] 2^{−2 } &= \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{ 4} \end{align*} \nonumber \]

    Rappel : À partir de la dernière section,

    \[\begin{align*} x^3 = \textcolor{blue}{x \cdot x \cdot x} \\[4pt] x^5 &= \textcolor{red}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x} \end{align*} \nonumber \]

    Leur quotient :

    \(\dfrac{x^3 }{x^5} = \dfrac{x \cdot x \cdot x }{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }= \dfrac{\textcolor{blue}{\cancel{x \cdot x\cdot x }}}{\textcolor{red}{\cancel{x \cdot x\cdot x \cdot x \cdot x }}}=\dfrac{ 1 }{\textcolor{red}{x \cdot x }}= \dfrac{1 }{x^2}\)

    Appliquez la règle du quotient pour obtenir un résultat équivalent.

    \(\dfrac{x^3 }{x^5} = x^{3−5 }= x^{−2}\)

    En utilisant la règle des exposants négatifs.

    \(x^{−2 }= \dfrac{1 }{x^2}\).

    Consultez les exemples suivants pour vous aider à comprendre le processus de simplification à l'aide de la règle du quotient des exposants et de la règle des exposants négatifs.

    Conseil : soyez patient, prenez votre temps et soyez prudent lorsque vous simplifiez !

    Exemple Template:index

    Simplifiez l'expression suivante en une base unique avec uniquement des exposants positifs.

    \(\dfrac{t^5}{ t^11}\)

    Solution

    \(t^{5−11 }= t^{−6 }= \dfrac{1 }{t^6}\)

    Exemple Template:index

    Simplifiez l'expression suivante en une base unique avec uniquement des exposants positifs.

    \(\dfrac{x^{3} \cdot x^{11} }{x \cdot x^{15}}\)

    Solution

    \(\dfrac{x^{ 3+11 }}{x^{1+15 }}= \dfrac{x^14 }{x^16 }= x^{14−16 }= x^{−2 }= \dfrac{1}{x^2}\)

    Exemple Template:index

    Simplifiez l'expression suivante en une base unique avec uniquement des exposants positifs.

    \(\dfrac{2y^3 }{7y^7}\)

    Solution

    \(\dfrac{2 }{7} \cdot \dfrac{y^3 }{y^7 }= \dfrac{2 }{7} \cdot y^{3−7 }= \dfrac{2 }{7 }\cdot y^{−4} = \dfrac{2 }{7 }\cdot \dfrac{1 }{y^4 }= \dfrac{2 }{7y^4}\)

    Exemple Template:index

    Simplifiez l'expression suivante en une base unique avec uniquement des exposants positifs.

    \(-\dfrac{\sqrt{3}z^6}{ z^7}\)

    Solution

    \(− \sqrt{3} \cdot \dfrac{z^6 }{z^7} = − \sqrt{3} \cdot z^{6−7 }= − \sqrt{3} \cdot z^{−1} = − \sqrt{3} \cdot \dfrac{1 }{z} = − \dfrac{\sqrt{3}}{z}\)

    Dans les exemples 3 et 4, éliminez la constante pour voir clairement les bases communes.

    Exemple Template:index

    Simplifiez l'expression suivante en une base unique avec uniquement des exposants positifs.

    \(\dfrac{1}{ a^{−9}}\)

    Solution

    \(a^9\)

    Exemple Template:index

    Simplifiez l'expression suivante en une base unique avec uniquement des exposants positifs.

    \(\dfrac{x^3 }{x^{−5}}\)

    Solution

    \(x^{3−(−5) }= x^{3+5 }= x^{8}\)

    Exemple Template:index

    Simplifiez l'expression suivante en une base unique avec uniquement des exposants positifs.

    \(\dfrac{c^{−7 }}{c^{−3}}\)

    Solution

    \(c^{(−7)−(−3) }= c^{−7+3 }= c ^{−4} = \dfrac{1 }{c^4}\)

    Dans les exemples 6 et 7, la règle du quotient des exposants a été utilisée avant de remplacer les exposants par des exposants positifs. Les mêmes résultats sont obtenus en élargissant et en transformant les exposants en exposants positifs d'abord, puis en appliquant la règle du quotient des exposants.

    Exercice Template:index

    Simplifiez les expressions suivantes en une base unique avec uniquement des exposants positifs.

    1. \(\dfrac{p^4}{ p^{13}}\)
    2. \(-\dfrac{k^2 \cdot k^3 }{k^7 \cdot k^8}\)
    3. \(\dfrac{5(x + y)^3 }{2(x + y)^{13}}\)
    4. −\(\dfrac{\sqrt{8}y^3}{ y^{−3}}\)
    5. \(\dfrac{a^{−7}}{ a^2 \cdot a^{−5}}\)
    6. \(\dfrac{x^{−7}}{ x^5}\)