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9.3 : Ajouter et soustraire des expressions rationnelles

  • Page ID
    165884
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Définition : Ajouter ou soustraire des expressions rationnelles

    Pour ajouter ou soustraire des expressions rationnelles, considérez cela comme des fractions avec des variables. Un dénominateur commun (appelé LCD) est nécessaire pour l'addition et la soustraction.

    Trouvez le LCD/LCM

    Définition : LCD/LCM

    Pour trouver l'écran LCD, commencez par factoriser complètement tous les dénominateurs. Construisez l'écran LCD à partir des facteurs trouvés dans tous les dénominateurs. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu'il apparaît dans l'une ou l'autre expression. Si le même facteur apparaît plusieurs fois dans les deux expressions, multipliez le facteur le plus grand nombre de fois où il apparaît dans l'une ou l'autre des expressions. Il sera appelé LCM dans cette section (Least Common Multiple), car il n'y a aucune fraction dans ces problèmes.

    1. \((x^2 − 2x − 3)\)et\((x^2 + 2x − 15)\)
    2. \((x^2 − 9)\)et\((2x^2 − 5x − 3)\)
    3. \((x^2 + x − 2)\)et\((x^2 + 4x + 4)\)

    Solution

    1. \(\begin{array} &&(x^2 − 2x − 3) \text{ and } (x^2 + 2x − 15) &\text{Example problem} \\ &(x − 3)(x + 1) \text{ and } (x − 3)(x + 5) &\text{Factor} \\ &\text{The LCM is } (x − 3)(x + 1)(x + 5) &\text{Final answer. Every factor must be represented in the answer.} \\& &\text{Only one copy of \((x − 3)\)est nécessaire, car il représente le facteur trouvé dans chaque expression.} \ end {tableau} \)
    1. \(\begin{array} &&(x^2 − 9) \text{ and } (2x^2 − 5x − 3) &\text{Example problem} \\ &(x−3)(x+3) \text{ and } (2x^2−6x+1x−3) &\text{Factor; the first polynomial is a difference of squares, and use factor by grouping for the second polynomial.} \\ &(x−3)(x+3) \text{ and } (2x(x−3)+1(x− 3)) &\text{Factor by grouping.} \\ &(x − 3)(x + 3) \text{ and } (2x + 1)(x − 3) &\text{Completely factored.} \\ &\text{The LCM is } (x − 3)(x + 3)(2x + 1) &\text{Final answer. Every factor must be represented in the answer.} \\ & &\text{Only one copy of \((x − 3)\)est nécessaire, car il représente le facteur trouvé dans chaque expression.} \ end {tableau} \)
    1. \(\begin{array} &&(x^2 + x − 2) \text{ and } (x^2 + 4x + 4) &\text{Example problem} \\ &(x − 1)(x + 2) \text{ and } (x + 2)(x + 2) &\text{Factor.} \\ &\text{The LCM is } (x − 1)(x + 2)(x + 2) &\text{Final answer. Every factor must be represented in the answer.} \\ & &\text{Two copies of \((x + 2)\)sont nécessaires, car ils représentent le plus grand nombre de facteurs trouvés dans l'une ou l'autre expression.} \ \ & \ text {Le LCM est} (x − 1) (x + 2) ^2 & \ text {Réponse alternative.} \ end {tableau} \)

    Trouvez le LCM :

    1. \((3x^2 − 13x + 4)\)et\((x^2 − 16)\)
    2. \((2x^2 + x − 3)\)et\((x^2 − 2x + 1)\)
    3. \((x − 1)\)et\((x^2 − 4x − 5)\)
    4. \((6x^2 − 23x + 20)\)et\((4x^2 − 25)\)

    Soustraire des expressions rationnelles et les simplifier en une seule expression rationnelle

    Définition : Ajouter ou soustraire des expressions rationnelles à l'aide de l'écran LCD

    Les expressions rationnelles sont des fractions avec des variables (également appelées fractions algébriques). Pour ajouter ou soustraire des expressions rationnelles, trouvez d'abord le dénominateur commun (l'écran LCD), puis ajoutez ou soustrayez les numérateurs en conservant le même dénominateur (commun). Enfin, factorisez et simplifiez en supprimant les facteurs communs du numérateur et du dénominateur si possible.

    Ajoutez ou soustrayez et simplifiez :

    1. \(\dfrac{2x}{2x − 1} - \dfrac{2x}{2x + 5}\)
    2. \(\dfrac{4}{x^2 − 9} - \dfrac{5}{x^2 − 6x + 9}\)
    3. \(\dfrac{x}{1 + x} + \dfrac{2x + 3}{x^2 − 1}\)

    Solution

    1. \(\begin{array} &&\dfrac{2x}{2x − 1} - \dfrac{2x}{2x + 5} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{2x}{2x − 1} - \dfrac{2x}{2x + 5} &\text{Find the LCD, which is \((2x − 1)(2x + 5)\)} \ \ & \ dfrac {2x (2x + 5)} {(2x − 1) (2x + 5)} - \ dfrac {2x (2x − 1)} {(2x − 1) (2x − 1) (2x + 5)} & \ text {Multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque expression rationnelle par les termes manquants sur l'écran LCD.} \ \ & \ dfrac {2x (2x + 5) − 2x (2x + 5) − 2x (2x − 1)]} {(2x − 1) (2x + 5)} & \ text {Placez la soustraction dans le numérateur sur un seul dénominateur commun.} \ \ & \ dfrac {4x^2 + 10x − [4x^2 − 2x]} {(2x − 1) (2x − 1) (2x + 5)} & \ text {Distribuez, combinez des termes similaires et simplifiez le numérateur.} \ \ & \ dfrac {4x^2 + 10x − 4x^2 + 2x} {(2x − 1) (2x + 5)} & \ text {Prenez soin de répartir la soustraction entre les deux termes.} \ \ & \ dfrac { 12x} {(2x − 1) (2x + 5)} & \ text {Réponse finale.} \ end {tableau} \)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{4}{x^2 − 9} - \dfrac{5}{x^2 − 6x + 9} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{4}{(x + 3)(x − 3)} - \dfrac{5}{(x − 3)(x − 3)} &\text{Factor the denominators.} \\ &\dfrac{4}{(x + 3)(x − 3)} - \dfrac{5}{(x − 3)(x − 3)} &\text{Find the LCD, which is \((x − 3)(x − 3)(x + 3)\)} \ \ & \ dfrac {4 (x − 3)} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} - \ dfrac {5 (x + 3)} {(x − 3) (x − 3) (x + 3)} & \ text {Multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque expression rationnelle par les termes manquants sur l'écran LCD.} \ \ & \ dfrac {4} {(x − 3) − 5 (x + 3)} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} & \ text {Placez la soustraction dans le numérateur sur un seul dénominateur commun.} \ \ & \ dfrac {4x − 12 − [5x + 15]} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} & \ text {Distribuez, combinez des termes similaires et simplifiez le numérateur.} \ \ & \ dfrac {4x − 12 − 5x − 15} {(x + 3) (x − 3) (x − 3) x − 3)} & \ text {Prenez soin de répartir la soustraction entre les deux termes.} \ \ & \ dfrac {−x − 27} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} & \ text {Réponse finale.} \ \ & \ dfrac {− (x + 27)} {(x + 3) (x − 3) (x − 3) (x − 3)} & \ text {Réponse alternative} \ end {tableau} \)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{x}{1 + x} + \dfrac{2x + 3}{x^2 − 1} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{2x + 3}{(x − 1)(x + 1)} &\text{Factor the denominators.} \\ &\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{2x + 3}{(x − 1)(x + 1)} &\text{Find the LCD, which is \((x − 1)(x + 1)\)} \ \ & \ dfrac {x (x − 1)} {(x + 1) (x − 1)} + \ dfrac {(2x + 3)} {(x − 1) (x + 1)} & \ text {Multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque expression rationnelle par les termes manquants sur l'écran LCD.} \ \ & & & & \ text {Remarquez que la deuxième expression rationnelle possède déjà l'écran LCD comme écran LCD son dénominateur.} \ \ [0,125 in] & \ dfrac {x (x − 1) + (2x + 3)} {(x + 1) (x − 1)} & \ text {Place la soustraction dans le numérateur au-dessus d'un dénominateur commun.} \ \ & \ dfrac {x^2 − x + 2x + 3} {(x + 1) (x − 1) (x − 1)} & \ text {Distribuez, combinez des termes similaires et simplifiez le numérateur.} \ \ & \ dfrac {x^2 + x + 3} {(x + 1) (x − 1)} & \ text { Veillez à répartir la soustraction entre les deux termes.} \ \ & \ dfrac {x^2 + x + 3} {(x + 1) (x − 1)} & \ text {Réponse finale.} \ end {tableau} \)

    Ajoutez ou soustrayez et simplifiez :

    1. \(\dfrac{x}{x^2 + 1} + \dfrac{24x^3}{x3 + 2}\)
    2. \(\dfrac{x}{1 − x} + \dfrac{2x + 3}{x^2 − 1}\)
    3. \(\dfrac{5}{x + 3} + \dfrac{x^2 − 4x − 21}{x^2 − 9}\)
    4. \(\dfrac{39x + 36}{x^2 − 3x − 10} - \dfrac{23x − 16}{x^2 − 7x + 10}\)