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6.2 : Résolution d'équations de valeurs absolues

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    165841
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Pour résoudre des équations de valeurs absolues, considérez d'abord les deux propriétés de valeur absolue suivantes :

    Définition : Propriétés de valeur absolue

    Propriété 1 : Pour\(b > 0\),\(|a| = b\) si et seulement si\(a = b\) ou\(a = −b\)

    Propriété 2 : Pour tous les nombres réels\(a\) et\(b\),\(|a| = |b|\) si et seulement si\(a = b\) ou\(a = −b\)

    • Avant d'appliquer la propriété 1, isolez l'expression de valeur absolue de chaque côté de l'équation.
    • Vérifiez les solutions en les replaçant dans l'équation d'origine.
    • Les solutions sont présentées sous la forme d'un ensemble de solutions du formulaire\(\{p, q\}\), où\(p\) et\(q\) sont des nombres réels.
    • L'ensemble de solutions d'une équation de valeur absolue est représenté sous forme de points sur une ligne numérique.

    Résolvez chaque équation et tracez l'ensemble de solutions.

    1. \(|x| = 7\)
    2. \(|5x – 3| = 2\)
    3. \(|20 – x| = −80\)

    Solution

    1. Pour résoudre ce problème\(|x| = 7\), appliquez la propriété 1 avec\(a = x\) et\(b = 7\).

    Par conséquent, les solutions sont\(x = −7\) et\(x = 7\), et l'ensemble de solutions est\(\{-7,7\}\). Le graphique de l'ensemble de solutions est illustré dans la figure ci-dessous.

    clipboard_e4e661622afb19f733118b1049d678a57.png

    1. La méthode de résolution d'équations utilisée dans la partie a peut être étendue à l'équation donnée dans cette partie avec\(a = 5x – 3\) et\(b = 2\).

    Ainsi, l'équation de la valeur absolue\(|5x – 3| = 2\) est équivalente à :

    \(\begin{array} &&5x − 3 = 2 &\text{ or } &5x − 3 = −2 &\text{Property 1} \\ &5x = 5 &\text{ or } &5x = 1 &\text{Add \(3\)aux deux côtés des équations} \ \ &x = 1 & \ text {ou} &x = \ dfrac {1} {5} & \ text {Diviser par\(5\) les deux côtés des équations} \ end {array} \)

    Maintenant, vérifiez si\(x = 1\) et\(x = \dfrac{1}{5}\) sont des solutions à l'équation de valeur absolue donnée.

    \(\begin{array} &&\text{For } x = 1 &\text{For } x = \dfrac{1}{5} &\\ &|5x − 3| = 2 &|5x − 3| = 2 &\text{Given} \\ &|5(1) − 3| \stackrel{?}{=} 2 &|5 \left( \dfrac{1}{5} \right) − 3| \stackrel{?}{=} 2 &\text{Substitute the \(x\)-valeurs} \ \ &|5 − 3| \ stackrel {?} {=} 2 &|1 − 3| \ stackrel {?} {=} 2 & \ text {Simplifier} \ \ &|2| \ stackrel {?} {=} 2 &|− 2| \ stackrel {?} {=} 2 & \ text {Appliquer la définition de la valeur absolue} \ \ &2 = 2 \ ; \ checkmark &2 = 2 \ ; \ checkmark \ end {array} \)

    Puisque les équations ci-dessus sont vraies, alors,\(x = 1\) et\(x = \dfrac{1}{5}\) sont des solutions à l'équation de valeur absolue donnée. L'ensemble de solutions est\(\left\{\dfrac{1}{5} , 1\right\}\). Le graphique de l'ensemble de solutions est illustré dans la figure ci-dessous.

    clipboard_e78f4a9bbcf248134874230631b7dada3.png

    1. Comme une valeur absolue ne peut jamais être négative, aucun nombre\(x\) réel ne peut être\(|20 – x| = −80\) vrai. L'équation n'a pas de solution et l'ensemble de solutions est\(∅\).

    Résolvez et graphiez l'ensemble de solutions.

    1. \(\left| \dfrac{4}{3} x + 3 \right| + 8 = 18\)
    2. \(4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| − 5 = −5\)
    3. \(|4x – 3| = |x + 6|\)

    Solution

    1. Notez que l'expression de valeur absolue n'est pas isolée, ce qui signifie que les propriétés ne peuvent pas être appliquées. Tout d'abord, isolez\(\left| \dfrac{4}{3}x + 3 \right|\) sur le côté gauche de l'équation, puis appliquez la propriété 1.

    \(\begin{array} &&\left| \dfrac{4}{3} x + 3 \right| + 8 = 18 &\text{Given equation} \\ & \left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10 &\text{Subtract \(8\)des deux côtés de l'équation} \ end {array} \)

    La valeur absolue étant maintenant isolée, résolvez\(\left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10\) à l'aide de la propriété 1, avec\(a = \dfrac{4}{3} x + 3\) et\(b = 10\) comme suit,

    \(\begin{array} && &\left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10 & & \\ &\dfrac{4}{3} + 3 = 10 &\text{ or } & \dfrac{4}{3} + 3 = -10 &\text{Property 1} \\ &\dfrac{4}{3} x = 7 &\text{ or } &\dfrac{4}{3}x = −13 &\text{Subtract \(3\)des deux côtés} \ \ &x = \ dfrac {21} {4} & \ text {ou} &x = − \ dfrac {39} {4} & \ text {Multipliez les deux côtés par\(\dfrac{3}{4}\)} \ end {array} \)

    Vérifiez les solutions\(x = −\dfrac{39}{4}\) et\(x = \dfrac{21}{4}\) en les substituant dans l'équation de valeur absolue d'origine. L'ensemble de solutions est\(\left\{ −\dfrac{39}{4}, \dfrac{21}{4} \right\}\) et le graphique de l'ensemble de solutions est illustré dans la figure ci-dessous.

    clipboard_e42b1bbc90f71c52e8a95664a185e2c67.png

    1. Comme dans la partie a, isolez l'expression de la valeur absolue. Donc, isolez d'abord\(\left| \dfrac{1}{3} x − 6 \right|\) sur le côté gauche de l'équation et appliquez la propriété 1.

    \(\begin{array} &&4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| − 5 = −5 &\text{Given equation} \\ &4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| = 0 &\text{Add \(5\)aux deux côtés de l'équation} \ \ & \ left| \ dfrac {1} {3} x − 6 \ right| = 0 & \ text {Diviser par\(4\) les deux côtés de l'équation} \ end {array} \)

    La valeur absolue est isolée. Comme\(0\) c'est le seul nombre dont la valeur absolue est\(0\), l'expression\(\dfrac{1}{3}x − 6\) doit être égale à\(0\). Donc,

    \(\begin{array} &&\dfrac{1}{3}x − 6 = 0 & \\ &\dfrac{1}{3}x − 6 &\text{Add \(6\)aux deux côtés de l'équation} \ \ &x = 18 & \ text {Multipliez les deux côtés par\(3\)} \ end {array} \)

    La solution est\(18\) et l'ensemble de solutions l'est\(\{18\}\). Vérifiez qu'elle est conforme à l'équation d'origine. Le graphique de l'ensemble de solutions est illustré dans la figure ci-dessous.

    clipboard_e2acd5153df84bfef5569962926db627b.png

    1. \(|4x − 7| = |x + 14|\)Notez que pour résoudre\(|4x − 7| = |x + 14|\), utilisez la propriété 2 avec\(a = 4x − 7\) et\(b = x + 14\).

    \(\begin{array} && &|4x − 7| = |x + 14| & &\text{Given} \\ &4x−7 = x+14 &\text{ or } &4x − 7 = −(x + 14) &\text{Property 2} \\ &4x−7 = x+14 &\text{ or } &4x − 7 = −x − 14 &\text{Distribute \(−1\)pour simplifier la bonne équation} \ \ &4x = x + 21 & \ text {ou} &4x = −x − 7 & \ text {Ajoutez\(7\) des deux côtés de chaque égalité} \ \ &3x = 21 & \ text {ou} &5x = −7 & \ text {Simplifier} \ \ &x = 7 & \ text {ou} &x = − \ dfrac {7} {5} & x = − \ dfrac {5} \ & texte {Divisez chaque équation par le\(x\) -coefficient} \ end {array} \)

    Vérifiez les solutions\(x = −\dfrac{7}{5}\) et\(x = 7\) en les substituant dans l'équation de valeur absolue d'origine. L'ensemble de solutions est\(\left\{ −\dfrac{7}{5}, 7\right\}\). Le graphique de la solution est illustré dans la figure ci-dessous.

    clipboard_eb0f0ab26e578678046e463bf1d8ac854.png

    Résolvez chaque équation, vérifiez la solution et représentez graphiquement l'ensemble de solutions.

    1. \(|x| = 19\)
    2. \(|x − 4| = 10\)
    3. \(|2x − 5| = 12\)
    4. \(\left|\dfrac{x}{11} \right| = 2.5\)
    5. \(|x − 3.8| = −2.7\)
    6. \(|3x − 4.5| = 9.3\)
    7. \(\dfrac{8}{3} |x − 6| = 14\)
    8. \(|x + 15| − 19 = 7\)
    9. \(|11x + 3| + 28 = 16\)
    10. \( \left| \dfrac{8}{7} x + 9 \right| − 2 = 8\)
    11. \( −3|2x − 7| + 13 = 13\)
    12. \( 8 − 5|10x + 6| = 5\)
    13. \( |5x − 14| = |3x − 9|\)
    14. \( |15x| = |x − 21|\)
    15. \( |4x − 7| = |5(2x + 3)|\)
    16. \( \dfrac{7}{8} = \dfrac{3x}{2} + \dfrac{2x}{5}\)