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2.4 : Exemples appliqués

  • Page ID
    165727
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Dans cette section, appliquez la formule de distance\(d = \sqrt{(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1) ^2}\) pour déterminer la longueur des segments de ligne.

    Remarque : Trois points\(A\)\(B\), et\(C\) sont colinéaires, c'est-à-dire que les trois points se situent sur la même ligne, si la somme des longueurs de deux segments de ligne reliant les points est égale à la longueur du segment de ligne restant. C'est-à-dire,\(AB + BC = AC\)\(AB + BC = AC\) ou,\(AB + AC = BC\) ou\(AC + BC = AB\).

    Déterminez si les trois points donnés sont colinéaires.

    \(A(10, −4)\quad B(8, −2) \quad C(2, 4)\)

    Solution

    Recherchez d'abord des segments\(AB\)\(BC\), et\(AC\). Pour ce faire, trouvez la distance entre les points\(A\)\(B\) et\(B\)\(C\),\(A\) et\(C\).

    \(\begin{aligned} \text{Segment AB }&=\text{ The distance between point A and Point B } \\ &= \sqrt{(8 − 10)^2 + [−2 − (−4)]^2} \\ &= \sqrt{(−2)^2 + (2)^2} \\&= \sqrt{ 8}\\&= 2\sqrt{2} \end{aligned}\)

    \(\begin{aligned} \text{Segment BC }&=\text{ The distance between point B and Point C } \\ &= \sqrt{(2 − 8)^2 + [4 − (−2)]^2 }\\ &= \sqrt{(−6)^2 + (6)^2} \\&= \sqrt{ 72 }\\&= 6\sqrt{ 2}\end{aligned}\)

    \(\begin{aligned} \text{Segment AC }&=\text{ The distance between point A and Point C }\\&= \sqrt{(2 − 10)^2 + [4 − (−4)]^2} \\&= \sqrt{(−8)^2 + (8)^2 }\\&= \sqrt{ 128 }\\&= 8\sqrt{ 2}\end{aligned}\)

    Ainsi,

    \(\begin{aligned} AB + BC &= 2\sqrt{ 2} + 6\sqrt{ 2 }\\&= 8\sqrt{ 2 } \\&= AC \end{aligned}\)

    Depuis Ainsi,\(AB + BC = AC\) trois points sont colinéaires.

    1. Déterminez si les points suivants sont colinéaires.
      1. \(A(4,-1)\quad B(5,-2) \quad C(1,2)\)
      2. \(A(2,-2)\quad B(3,1)\quad C(2,1)\)