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5.4 : Règle de l'exposant zéro

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    Dans la section 5.3, l'exposant du nombre dans le numérateur était toujours supérieur à l'exposant du nombre dans le dénominateur.

    Dans la section 5.4, l'exposant du nombre dans le numérateur sera égal à l'exposant du nombre dans le dénominateur.

    Définition : La règle de l'exposant zéro

    Pour tout nombre réel\(a\), la règle de l'exposant zéro est la suivante

    \(a^0= 1\)

    Idée :

    À partir des sections précédentes :

    \[x^5 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \nonumber \]

    et

    \[\dfrac{x^5 }{x^5} =\dfrac{ x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }= \dfrac{\cancel{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }}{\cancel{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }}= 1 \nonumber \]

    Par conséquent,

    \[\dfrac{x ^5 }{x^5} = x^{5−5 }= x^0=1 \nonumber \]

    Exemple Template:index

    Utilisez la règle de l'exposant zéro pour simplifier les expressions.

    1. \(\dfrac{x^9 }{x^9}\)
    2. \(\dfrac{d^5 }{d^2 \cdot d^3}\)
    3. \(\dfrac{5(xy)^3 }{(xy)^3}\)
    4. \(-\dfrac{y^3 }{\sqrt{5}y^3}\)
    5. \(\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^2 \cdot (ab^2)^4 ˙(ab^2)}\)
    Solution
    Expression Règle des exposants nuls
    \(\dfrac{x^9 }{x^9}\) \(x^{9−9} = x^0 = 1\)
    \(\dfrac{d^5 }{d^2 \cdot d^3}\) \(\dfrac{d^5 }{d^{2+3 }}= \dfrac{d^5 }{d^5} = d^{5−5 }= d^{0} = 1\)
    \(\dfrac{5(xy)^3 }{(xy)^3}\)

    \(5 \cdot \dfrac{(xy)^3 }{(xy)^3 }= 5 \cdot (xy)^{3−3 }= 5 \cdot (xy)^0 = 5 \cdot 1 = 5 \)

    La constante 5 peut être prise en compte pour voir clairement les bases communes.
    \(-\dfrac{y^3 }{\sqrt{5}y^3}\)

    \(− \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot \dfrac{y^3 }{y^3 }= − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot y ^{3−3 }= − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot y^0 = − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot 1 = − \dfrac{1}{ \sqrt{5}}\)

    La constante\(−\left( \dfrac{1 }{\sqrt{5}}\right )\) peut être prise en compte pour voir clairement les bases communes.
    \(\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^2 \cdot (ab^2)^4 ˙(ab^2)}\)

    \(\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^{2+4+1}}= \dfrac{(ab^2 )^7}{ (ab^2)^7} = (ab^2 )^{7−7 }= (ab^2 )^0 = 1\)

    Tout d'abord, simplifiez le dénominateur en utilisant la règle du produit des exposants. Utilisez ensuite la règle du quotient des exposants pour simplifier l'expression restante.

    Remarque :\(0^0\) n'est pas égal à 1. Il s'agit d'un cas particulier qui est abordé dans les cours avancés. Pour l'instant, considérez\(0^0\) que c'est indéfini.

    Étapes utiles pour simplifier les expressions à l'aide d'exposants

    1. Identifiez les bases communes.
    2. Si nécessaire, combinez des bases communes en utilisant la règle du produit des exposants.
    3. Si l'expression contient des bases communes au numérateur et au dénominateur, utilisez la règle du quotient des exposants selon les besoins.
    Exercice Template:index

    Utilisez toutes les règles des exposants abordées jusqu'à présent dans ce chapitre pour simplifier ce qui suit.

    1. \(\dfrac{z ^4 }{z^ 4}\)
    2. \(\dfrac{d^2 \cdot d^8}{ d^7 \cdot d^3}\)
    3. \(\dfrac{5(x + y)^3 }{2(x + y)^3}\)
    4. \(−\dfrac{\sqrt{9}{y^3 }}{y^3}\)
    5. \(\dfrac{(a^3b^2 )^9}{ (a^3b^2)^3 \cdot (a^3b^2)^4 ˙(a^3b^2)^2}\)
    6. \(\dfrac{(xyz)^{19} }{(xyz)^{19}}\)