16.E : Ondes (exercices)

Questions conceptuelles

16.1 Ondes itinérantes

1. Donnez un exemple d'onde transversale et un exemple d'onde longitudinale, en prenant soin de noter les directions relatives de la perturbation et de la propagation des ondes dans chacune d'elles.
2. Une onde transversale sinusoïdale a une longueur d'onde de 2,80 m. Il faut 0,10 s pour qu'une partie de la corde située à la position x passe d'une position maximale de y = 0,03 m à la position d'équilibre y = 0. Quelles sont la période, la fréquence et la vitesse de la vague ?
3. Quelle est la différence entre la vitesse de propagation et la fréquence d'une onde mécanique ? L'un ou les deux affectent-ils la longueur Si c'est le cas, comment ?
4. Prenons l'exemple d'un ressort étiré, comme un ressort souple. Le ressort étiré peut supporter des ondes longitudinales et des ondes transversales. Comment produire des ondes transversales sur le ressort ? Comment produire des ondes longitudinales sur le ressort ?
5. Imaginez une vague produite sur un ressort étiré en maintenant une extrémité et en la secouant de haut en bas. La longueur d'onde dépend-elle de la distance à laquelle vous déplacez votre main de haut en bas ?
6. Une onde sinusoïdale transversale est produite sur un ressort étiré, ayant une période T. Chaque section du ressort se déplace perpendiculairement à la direction de propagation de l'onde, selon un mouvement harmonique simple d'amplitude A. Chaque section oscille-t-elle à la même période que l'onde ou à une période différente ? Si l'amplitude de l'onde transversale était doublée mais que la période reste la même, votre réponse serait-elle la même ?
7. Une onde électromagnétique, telle que la lumière, ne nécessite pas de milieu. Pouvez-vous trouver un exemple à l'appui de cette affirmation ?

16.2 Mathématiques des ondes

8. Si vous deviez secouer l'extrémité d'un ressort tendu de haut en bas 10 fois par seconde, quelles seraient la fréquence et la période de l'onde sinusoïdale produite sur le ressort ?
9. Si vous secouez l'extrémité d'un ressort étiré de haut en bas avec une fréquence f, vous pouvez produire une onde sinusoïdale transversale se propageant le long du ressort. Le nombre de vagues dépend-il de la fréquence à laquelle vous secouez le ressort ?
10. La vitesse verticale d'un segment d'une corde horizontale tendue à travers laquelle se propage une onde sinusoïdale transversale dépend-elle de la vitesse d'onde de l'onde transversale ?
11. Dans cette section, nous avons examiné les vagues qui se déplacent à une vitesse constante. Est-ce que le médium accélère ?
12. Si vous déposez un caillou dans un étang, vous remarquerez peut-être que plusieurs ondulations concentriques se produisent, et pas une seule ondulation. Pourquoi pensez-vous que c'est le cas ?

16.3 Vitesse d'onde sur une corde tendue

13. Si la tension d'une corde était multipliée par quatre, de quel facteur la vitesse d'une vague sur la corde augmenterait-elle ?
14. Une onde sonore se déplace-t-elle plus rapidement en eau de mer ou en eau douce, si l'eau de mer et l'eau douce sont à la même température et si l'onde sonore se déplace près de la surface ? $$ \ rho_ {w} \ environ 1000 \ ; kg/m^ {3}, \ rho_ {s} \ environ 1030 \ ; kg/m^ {3}, B_ {w} = 2,15 \ fois 10^ {9} \ ; Pa, B_ {s} = 2,34 \ fois 10^ {9} \ ; Pa$$
15. Les guitares ont des cordes de densité de masse linéaire différente. Si la corde de densité la plus faible et la corde de densité la plus élevée sont soumises à la même tension, quelle corde supporterait les vagues ayant la vitesse de vague la plus élevée ?
16. Vous trouverez ci-dessous trois ondes qui ont été envoyées le long d'une chaîne à des moments différents. La tension dans la corde reste constante. (a) Classez les ondes de la plus petite à la plus grande longueur d'onde. (b) Classez les ondes de la fréquence la plus basse à la fréquence la plus élevée.

17. Les lignes électriques reliées par deux poteaux électriques sont parfois entendues bourdonner lorsqu'elles sont entraînées en oscillation par le vent. La vitesse des vagues sur les lignes à haute tension dépend de la tension. Qu'est-ce qui explique la tension dans les lignes à haute tension ?
18. Deux cordes, l'une avec une faible densité de masse et l'autre avec une densité linéaire élevée, sont épissées ensemble. L'extrémité la plus dense est attachée à un poteau de laboratoire et un étudiant tient l'extrémité libre de la ficelle à faible densité de masse. L'élève fait tourner la corde et envoie une impulsion vers le bas des cordes. Si la tension est la même dans les deux cordes, l'impulsion se déplace-t-elle à la même vitesse d'onde dans les deux cordes ? Si ce n'est pas le cas, où se déplace-t-il le plus rapidement, dans la chaîne à faible densité ou dans la chaîne à haute densité ?

16.4 Énergie et puissance d'une vague

19. Prenons l'exemple d'une corde sous tension avec une densité de masse linéaire constante. Onde sinusoïdale dont la fréquence angulaire et l'amplitude sont produites par une force motrice externe. Si la fréquence de la force motrice est réduite à la moitié de la fréquence initiale, comment la puissance moyenne temporelle de l'onde est-elle affectée ? Si l'amplitude de la force motrice est diminuée de moitié, comment la puissance moyenne dans le temps est-elle affectée ? Expliquez votre réponse.
20. Les vagues d'eau circulaires diminuent en amplitude à mesure qu'elles s'éloignent de l'endroit où une roche est larguée. Expliquez pourquoi.
21. Dans une onde transversale sur une corde, le mouvement de la corde est perpendiculaire au mouvement de la vague. Si tel est le cas, comment est-il possible de déplacer de l'énergie sur toute la longueur de la corde ?
22. L'énergie du soleil réchauffe la partie de la Terre qui fait face au soleil pendant les heures de jour. Pourquoi les pôles Nord et Sud sont-ils froids alors que l'équateur est assez chaud ?
23. L'intensité d'une onde sphérique diminue à mesure que l'onde s'éloigne de la source. Si l'intensité de l'onde à la source est I ₀, à quelle distance de la source l'intensité diminuera-t-elle d'un facteur neuf ?

16.5 Interférence des ondes

24. Une onde sinusoïdale incidente est envoyée le long d'une corde fixée au mur avec une vitesse d'onde de v. L'onde est réfléchie par l'extrémité de la chaîne. Décrivez l'onde réfléchie.
25. Une corde d'une longueur de 2,00 m avec une masse volumique linéaire\(\mu\) = 0,006 kg/m est fixée à l'extrémité d'une corde de 2 m de long avec une densité de masse linéaire\(\mu\) = 0,012 kg/m. L'extrémité libre de la corde de densité supérieure est fixée au mur et un élève tient l'extrémité libre de la corde de faible densité, maintenir la tension constante dans les deux cordes. L'élève envoie une impulsion dans la corde. Décrivez ce qui se passe à l'interface entre les deux chaînes.
26. Un ressort long et serré est tenu par deux étudiants, un étudiant tenant chaque extrémité. Chaque élève fait un saut à l'extrémité en envoyant une longueur d'onde sinusoïdale le long du ressort dans des directions opposées. Lorsque les vagues se rencontrent au milieu, à quoi ressemble la vague ?
27. La plupart des sujets abordés dans ce chapitre sont utiles au-delà des sujets des ondes mécaniques. Il est difficile de concevoir une onde mécanique avec des angles vifs, mais vous pourriez rencontrer une telle forme d'onde dans votre cours d'électronique numérique, comme indiqué ci-dessous. Il peut s'agir d'un signal provenant d'un dispositif connu sous le nom de convertisseur analogique-numérique, dans lequel un signal de tension continue est converti en un signal discret ou en un enregistrement numérique du son. Quel est le résultat de la superposition des deux signaux ?

28. Une corde d'une densité de masse linéaire constante est maintenue tendue par deux montants, chacun tenant une extrémité. La tension dans la corde est constante. Les élèves envoient chacun des vagues le long de la corde en remuant la corde. a) Est-il possible que les vagues aient des vitesses de vagues différentes ? (b) Est-il possible que les ondes aient des fréquences différentes ? (c) Est-il possible que les ondes aient des longueurs d'onde différentes ?

16.6 Ondes stationnaires et résonance

29. Un constructeur de camions constate qu'une entretoise du moteur tombe en panne prématurément. Un ingénieur du son détermine que le mât résonne à la fréquence du moteur et soupçonne que cela pourrait être à l'origine du problème. Quelles sont les deux caractéristiques possibles de l'entretoise qui peuvent être modifiées pour corriger le problème ?
30. Pourquoi les toits des gymnases et des églises semblent-ils plus défaillants que les maisons familiales lorsqu'un tremblement de terre se produit ?
31. Les verres à vin peuvent être mis en résonance en humidifiant votre doigt et en le frottant autour du bord du verre. Pourquoi ?
32. Les unités de climatisation sont parfois placées sur le toit des maisons de la ville. De temps en temps, les climatiseurs provoquent un bourdonnement indésirable dans les étages supérieurs des maisons. Pourquoi cela se produit-il ? Que peut-on faire pour réduire le bourdonnement ?
33. Prenons l'exemple d'une onde stationnaire modélisée comme y (x, t) = 4,00 cm sin (3 m ⁻¹ x) cos (4 s ⁻¹ t). Y a-t-il un nœud ou un antinode à x = 0,00 m ? Qu'en est-il d'une onde stationnaire modélisée comme y (x, t) = 4,00 cm sin (3 m ⁻¹ x +\(\frac{\pi}{2}\)) cos (4 s ⁻¹ t) ? Y a-t-il un nœud ou un antinœud à la position x = 0,00 m ?

Des problèmes

16.1 Ondes itinérantes

34. Les tempêtes dans le Pacifique Sud peuvent créer des vagues qui se propagent jusqu'à la côte californienne, à 12 000 km. Combien de temps leur faut-il pour parcourir cette distance s'ils se déplacent à 15,0 m/s ?
35. Les vagues d'une piscine se propagent à 0,75 m/s. Vous éclaboussez l'eau à une extrémité de la piscine et vous observez la vague se diriger vers l'extrémité opposée, se réfléchir et revenir en 30 secondes. À quelle distance se trouve l'autre extrémité de la piscine ?
36. Les rafales de vent créent des ondulations sur l'océan d'une longueur d'onde de 5,00 cm et se propagent à 2,00 m/s. Quelle est leur fréquence ?
37. Combien de fois par minute un bateau va-t-il de haut en bas sur des vagues océaniques d'une longueur d'onde de 40,0 m et d'une vitesse de propagation de 5,00 m/s ?
38. Les éclaireurs d'un camp secouent le pont de corde qu'ils viennent de traverser et observent que les crêtes des vagues se situent à 8 m l'une de l'autre. S'ils secouent le pont deux fois par seconde, quelle est la vitesse de propagation des vagues ?
39. Quelle est la longueur d'onde des vagues que vous créez dans une piscine si vous vous éclaboussez la main à une fréquence de 2,00 Hz et que les ondes se propagent à une vitesse de 0,800 m/s ?
40. Quelle est la longueur d'onde d'un tremblement de terre qui vous secoue avec une fréquence de 10,0 Hz et qui atteint une autre ville à 84,0 km en 12 secondes ?
41. Les ondes radio émises dans l'espace vide à la vitesse de la lumière (v = c = 3,00 x 10 ⁸ m/s) par la sonde Voyager ont une longueur d'onde de 0,120 m. Quelle est leur fréquence ?
42. Votre oreille est capable de différencier les sons qui arrivent à chaque oreille à seulement 0,34 ms d'intervalle, ce qui est utile pour déterminer d'où proviennent les sons de basse fréquence. a) Supposons qu'une source sonore à basse fréquence soit placée à la droite d'une personne dont les oreilles sont espacées d'environ 18 cm et que la vitesse du son généré est de 340 m/s. Quelle est la durée de l'intervalle entre le moment où le son arrive à l'oreille droite et le moment où le son arrive à l'oreille gauche ? (b) Supposons que la même personne faisait de la plongée sous-marine et qu'une source sonore à basse fréquence se trouvait à la droite du plongeur. Quel est l'intervalle entre le moment où le son arrive à l'oreille droite et le moment où le son arrive à l'oreille gauche, si la vitesse du son dans l'eau est de 1500 m/s ? (c) Qu'est-ce qui est significatif dans l'intervalle de temps entre les deux situations ?
43. a) Les sismographes mesurent l'heure d'arrivée des séismes avec une précision de 0,100 s. Pour déterminer la distance jusqu'à l'épicentre du séisme, les géologues comparent les temps d'arrivée des ondes S et P, qui se déplacent à des vitesses différentes. Si les ondes S et P se déplacent à 4,00 et 7,20 km/s, respectivement, dans la région considérée, avec quelle précision peut-on déterminer la distance jusqu'à la source du tremblement de terre ? b) Les ondes sismiques produites par les détonations souterraines de bombes nucléaires peuvent être utilisées pour localiser le site d'essai et détecter les violations des interdictions d'essais. Déterminez si votre réponse à (a) implique une limite sérieuse à une telle détection. (Notez également que l'incertitude est plus grande s'il existe une incertitude dans les vitesses de propagation des ondes S et P.)
44. Une éclaireuse fait une randonnée de 10 km pour obtenir un badge de mérite. Pendant la randonnée, elle aperçoit une falaise à une certaine distance. Elle souhaite estimer le temps nécessaire pour marcher jusqu'à la falaise. Elle sait que la vitesse du son est d'environ 343 mètres par seconde. Elle crie et constate que l'écho revient au bout d'environ 2 secondes. Si elle peut parcourir 1 km en 10 minutes, combien de temps lui faudrait-il pour atteindre la falaise ?
45. Il est demandé à un ingénieur en assurance qualité d'une entreprise de poêles à frire de qualifier une nouvelle gamme de poêles à revêtement antiadhésif. Le revêtement doit avoir une épaisseur de 1,00 mm. L'une des méthodes pour tester l'épaisseur consiste pour l'ingénieur à prélever un pourcentage des casseroles fabriquées, à enlever le revêtement et à mesurer l'épaisseur à l'aide d'un micromètre. Cette méthode est une méthode d'essai destructif. Au lieu de cela, l'ingénieur décide que chaque poêle sera testée selon une méthode non destructive. Un transducteur à ultrasons est utilisé pour produire des ondes sonores d'une fréquence de f = 25 kHz. Les ondes sonores sont envoyées à travers le revêtement et sont réfléchies par l'interface entre le revêtement et le plateau métallique, et l'heure est enregistrée. La longueur d'onde des ondes ultrasonores dans le revêtement est de 0,076 m. Quel doit être le temps enregistré si le revêtement a la bonne épaisseur (1,00 mm) ?

16.2 Mathématiques des ondes

46. Une impulsion peut être décrite comme une perturbation à onde unique qui se déplace dans un milieu. Prenons l'exemple d'une impulsion définie au temps t = 0,00 s par l'équation y (x) =\(\frac{6.00\; m^{3}}{x^{2} + 2.00\; m^{2}}\) centrée autour de x = 0,00 m. L'impulsion se déplace à une vitesse de v = 3,00 m/s dans la direction x positive. (a) Quelle est l'amplitude du pouls ? (b) Quelle est l'équation du pouls en fonction de la position et du temps ? (c) Où est centrée l'impulsion au temps t = 5,00 s ?
47. Une onde transversale sur une chaîne est modélisée avec la fonction d'onde y (x, t) = (0,20 cm) sin (2,00 m ⁻¹ x − 3,00 s ⁻¹ t +\(\frac{\pi}{16}\)). Quelle est la hauteur de la corde par rapport à la position d'équilibre à une position x = 4,00 m et à un temps t = 10,00 s ?
48. Considérez la fonction d'onde y (x, t) = (3,00 cm) sin (0,4 m ⁻¹ x + 2,00 s ⁻¹ t +\(\frac{\pi}{10}\)). Quels sont la période, la longueur d'onde, la vitesse et le déphasage initial de l'onde modélisés par la fonction d'onde ?
49. Une impulsion est définie comme y (x, t) =\(e ^{−2.77 \left(\dfrac{2.00(x − 2.00\; m/s(t))}{5.00\; m}\right)^{2}}\). Utilisez un tableur ou un autre programme informatique pour tracer le pouls comme la hauteur du milieu y en fonction de la position x. Tracez le pouls aux instants t = 0,00 s et t = 3,00 s sur le même graphique. Où est centrée l'impulsion au temps t = 3,00 s ? Utilisez votre feuille de calcul pour vérifier votre réponse.
50. Une onde est modélisée au temps t = 0,00 s avec une fonction d'onde qui dépend de la position. L'équation est y (x) = (0,30 m) sin (6,28 m ⁻¹ x). L'onde parcourt une distance de 4,00 mètres en 0,50 s dans la direction X positive. Ecrivez une équation pour l'onde en fonction de la position et du temps.
51. Une onde est modélisée avec la fonction y (x, t) = (0,25 m) cos (0,30 m ⁻¹ x − 0,90 s ⁻¹ t +\(\frac{\pi}{3}\)). Détermine (a) l'amplitude, (b) le nombre d'ondes, (c) la fréquence angulaire, (d) la vitesse de l'onde, (e) le déphasage initial, (f) la longueur d'onde et (g) la période de l'onde.
52. Une vague océanique de surface a une amplitude de 0,60 m et la distance entre le creux et le creux est de 8,00 m. Elle se déplace à une vitesse constante de 1,50 m/s et se propage dans la direction positive des x. À t = 0, le déplacement d'eau à x = 0 est nul et vy est positif. (a) En supposant que l'onde peut être modélisée comme une onde sinusoïdale, écrivez une fonction d'onde pour modéliser l'onde. (b) Utilisez une feuille de calcul pour tracer la fonction d'onde aux moments t = 0,00 s et t = 2,00 s sur le même graphique. Vérifiez que la vague se déplace de 3,00 m au cours de ces 2 secondes.
53. Une onde est modélisée par la fonction d'onde y (x, t) = (0,30 m) sin\(\Big[ \frac{2 \pi}{4.50\; m} (x − 18.00\; m/s\; t) \Big]\). Quelles sont l'amplitude, la longueur d'onde, la vitesse, la période et la fréquence de l'onde ?
54. Une onde transversale sur une corde est décrite à l'aide de la fonction d'onde y (x, t) = (0,50 cm) sin (1,57 m ⁻¹ x − 6,28 s ⁻¹ t). (a) Quelle est la vitesse de l'onde ? (b) Quelle est l'amplitude de la vitesse maximale de la corde perpendiculairement à la direction du mouvement ?
55. Un nageur dans l'océan constate un jour que les vagues de surface de l'océan sont périodiques et ressemblent à une onde sinusoïdale. Le nageur estime que la distance verticale entre la crête et le creux de chaque vague est d'environ 0,45 m et que la distance entre chaque crête est d'environ 1,8 m. Le nageur compte que 12 vagues passent toutes les deux minutes. Déterminez la fonction d'onde harmonique simple qui décrirait ces ondes.
56. Considérons une onde décrite par la fonction d'onde y (x, t) = 0,3 m sin (2,00 m ⁻¹ x − 628,00 s ⁻¹ t). a) Combien de crêtes passent devant un observateur à un endroit fixe en deux minutes ? (b) Quelle est la distance parcourue par la vague au cours de cette période ?
57. Considérons deux ondes définies par les fonctions d'onde y ₁ (x, t) = 0,50 m sin\(\left(\dfrac{2 \pi}{3.00\; m}x + \dfrac{2 \pi}{4.00\; s}t \right)\) et y ₂ (x, t) = 0,50 m sin\(\left(\dfrac{2 \pi}{6.00\; m}x − \dfrac{2 \pi}{4.00\; s}t \right)\). Quelles sont les similitudes et les différences entre les deux vagues ?
58. Considérons deux ondes définies par les fonctions d'onde y ₁ (x, t) = 0,20 m sin\(\left(\dfrac{2 \pi}{6.00\; m}x − \dfrac{2 \pi}{4.00\; s}t \right)\) et y ₂ (x, t) = 0,20 m cos\(\left(\dfrac{2 \pi}{6.00\; m}x − \dfrac{2 \pi}{4.00\; s}t \right)\). Quelles sont les similitudes et les différences entre les deux vagues ?
59. La vitesse d'une onde transversale sur une corde est de 300,00 m/s, sa longueur d'onde est de 0,50 m et son amplitude est de 20,00 cm. Combien de temps faut-il à une particule de la chaîne pour se déplacer sur une distance de 5 km ?

16.3 Vitesse d'onde sur une corde tendue

60. Les ondes transversales sont envoyées le long d'une corde de 5 m de long à une vitesse de 30 m/s. La corde est soumise à une tension de 10,00 N. Quelle est la masse de la corde ?
61. Un fil de cuivre a une densité\(\rho\) = 8920 kg/m ³, un rayon de 1,20 mm et une longueur L. Le fil est maintenu sous une tension de 10,00 N. Des ondes transversales sont envoyées le long du fil. (a) Quelle est la masse volumique linéaire du fil ? (b) Quelle est la vitesse des ondes à travers le fil ?
62. Une corde à piano a une masse volumique linéaire de\(\mu\) = 4,95 x 10 ^-3 kg/m. Sous quelle tension la corde doit-elle être maintenue pour produire des vagues d'une vitesse de 500,00 m/s ?
63. Une corde d'une densité de masse linéaire de\(\mu\) = 0,0060 kg/m est attachée au plafond. Une masse de 20 kg est attachée à l'extrémité libre de la ficelle. La corde est pincée, envoyant une impulsion vers le bas de la corde. Estimez la vitesse de l'impulsion lorsqu'elle descend dans la corde.
64. Un câble a une masse volumique linéaire de\(\mu\) = 0,0075 kg/m et une longueur de trois mètres. Le cordon est pincé et il faut 0,20 s pour que le pouls atteigne le bout de la ficelle. Quelle est la tension de la corde ?
65. Une corde mesure 3,00 m de long et pèse 5 g. La corde est maintenue tendue par une tension de 500,00 N appliquée à la corde. Une impulsion est envoyée vers le bas de la chaîne. Combien de temps faut-il au pouls pour parcourir les 3,00 m de la corde ?
66. Une onde sonore traverse une colonne d'azote au STP. En supposant une densité de\(\rho\) = 1,25 kg/m ³ et un module apparent de\(\beta\) = 1,42 x 10 ⁵ Pa, quelle est la vitesse approximative de l'onde sonore ?
67. Quelle est la vitesse approximative du son se propageant dans l'air à une température de T = 28 °C ?
68. Les ondes transversales traversent une corde où la tension est égale à 7,00 N à une vitesse de 20,00 m/s. Quelle tension serait requise pour une vitesse de vague de 25,00 m/s ?
69. Deux cordes sont attachées entre deux pôles séparés par une distance de 2,00 m, comme indiqué ci-dessous, les deux sous la même tension de 600,00 N. La chaîne 1 a une densité linéaire de\(\mu_{1}\) = 0,0025 kg/m et la chaîne 2 a une densité de masse linéaire de\(\mu_{2}\) = 0,0035 kg/m. Les impulsions d'ondes transversales sont générées simultanément aux extrémités opposées des cordes. Combien de temps s'écoule avant que les pulsations ne se transmettent ?

70. Deux cordes sont attachées entre deux pôles séparés par une distance de 2,00 mètres, comme indiqué dans la figure précédente, les deux cordes ont une densité linéaire de\(\mu_{1}\) = 0,0025 kg/m, la tension dans la chaîne 1 est de 600,00 N et la tension dans la chaîne 2 est de 700,00 N. Des impulsions d'ondes transversales sont générées simultanément à extrémités opposées des cordes. Combien de temps s'écoule avant que les pulsations ne se transmettent ?
71. La note E ₄ est jouée au piano et a une fréquence de f = 393,88. Si la densité de masse linéaire de cette corde du piano est\(\mu\) = 0,012 kg/m et que la corde est sous une tension de 1000,00 N, quelle est la vitesse de l'onde sur la corde et la longueur d'onde de l'onde ?
72. Deux ondes transversales se déplacent à travers une corde tendue. La vitesse de chaque vague est v = 30,00 m/s. Un graphique de la position verticale en fonction de la position horizontale est présenté ci-dessous pour la durée t = 0,00 s. (a) Quelle est la longueur d'onde de chaque onde ? (b) Quelle est la fréquence de chaque onde ? (c) Quelle est la vitesse verticale maximale de chaque corde ?

73. Une onde sinusoïdale se déplace le long d'une corde horizontale tendue avec une densité de masse linéaire de µ = 0,060 kg/m. La vitesse verticale maximale de l'onde est vy max = 0,30 cm/s. L'onde est modélisée avec l'équation d'onde y (x, t) = A sin (6,00 m ⁻¹ x − 24,00 s ⁻¹ t). a) Quelle est l'amplitude de l'onde ? (b) Quelle est la tension dans la corde ?
74. La vitesse d'une onde transversale sur une corde est v = 60,00 m/s et la tension dans la corde est F _T = 100,00 N. Quelle doit être la tension pour augmenter la vitesse de l'onde à v = 120,00 m/s ?

16.4 Énergie et puissance d'une vague

75. Une corde d'une longueur de 5 m et d'une masse de 90 g est maintenue sous une tension de 100 N. Une onde parcourt la corde, modélisée comme y (x, t) = 0,01 m\(\sin\) (15,7 m ⁻¹ x − 1170,12 s ⁻¹). Quelle est la puissance sur une longueur d'onde ?
76. Des ultrasons d'une intensité de 1,50 x 10 ^{2 W/m 2} sont produits par la tête rectangulaire d'un appareil d'imagerie médicale mesurant 3,00 cm sur 5,00 cm. Quelle est sa puissance de sortie ?
77. Le haut-parleur basse fréquence d'un ensemble stéréo a une surface de A = 0,05 m ² et produit 1 W de puissance acoustique. a) Quelle est l'intensité du haut-parleur ? (b) Si le haut-parleur projette le son de manière uniforme dans toutes les directions, à quelle distance du haut-parleur se situe l'intensité de 0,1 W/m ² ?
78. Pour augmenter l'intensité d'une onde d'un facteur 50, de quel facteur faut-il augmenter l'amplitude ?
79. Un appareil appelé compteur d'insolation est utilisé pour mesurer l'intensité de la lumière solaire. Il a une surface de 100 cm ² et enregistre 6,50 W. Quelle est l'intensité en W/m ² ?
80. L'énergie du Soleil arrive au sommet de l'atmosphère terrestre avec une intensité de 1400 W/m ². Combien de temps faut-il pour que 1,80 x 10 ⁹ J arrive sur une surface de 1,00 m ² ?
81. Supposons que vous ayez un appareil qui extrait l'énergie des brise-océans en proportion directe de leur intensité. Si l'appareil produit 10,0 kW par jour où les disjoncteurs ont une hauteur de 1,20 m, quelle quantité produira-t-il lorsqu'ils ont une hauteur de 0,0 m ?
82. Un réseau photovoltaïque (cellules solaires) est efficace à 10 % pour collecter l'énergie solaire et la convertir en électricité. Si l'intensité moyenne de la lumière solaire par jour est de 70,00 W/m ², de quelle zone votre réseau doit-il disposer pour collecter de l'énergie à raison de 100 W ? (b) Quel est le coût maximum du réseau s'il doit être rentabilisé en deux ans de fonctionnement, soit 10 heures par jour en moyenne ? Supposons qu'il gagne de l'argent au taux de 9,00 cents par kilowattheure.
83. Un microphone recevant un son pur alimente un oscilloscope, produisant une onde sur son écran. Si l'intensité sonore est initialement de 2,00 x 10 ^-5 W/m ², mais qu'elle est augmentée jusqu'à ce que l'amplitude augmente de 30,0 %, quelle est la nouvelle intensité ?
84. Une corde d'une masse de 0,30 kg a une longueur de 4,00 m. Si la tension dans la corde est de 50,00 N et qu'une onde sinusoïdale d'une amplitude de 2,00 cm est induite sur la corde, quelle doit être la fréquence pour une puissance moyenne de 100,00 W ?
85. La figure précédente montre la puissance en fonction du temps pour un point d'une chaîne (\(\mu\)= 0,05 kg/m) dans lequel une onde progressive sinusoïdale est induite. L'onde est modélisée avec l'équation d'onde y (x, t) = A sin (20,93 m ⁻¹ x −\(\omega\) t). Quelles sont la fréquence et l'amplitude de l'onde ?
86. Une corde est sous tension F _T1. L'énergie est transmise par une onde sur la corde à une cadence P ₁ par une onde de fréquence f ₁. Quel est le rapport entre le nouveau taux de transmission d'énergie P ₂ et P ₁ si la tension est doublée ?
87. Un diapason de 250 Hz est actionné et l'intensité à la source est I1 à une distance d'un mètre de la source. a) Quelle est l'intensité à une distance de 4 m de la source ? (b) À quelle distance du diapason se trouve l'intensité d'un dixième de l'intensité de la source ? 88. Un haut-parleur est évalué à une tension de P = 120,00 V et un courant de I = 10,00 A. La consommation électrique est de P = IV. Pour tester le haut-parleur, un signal d'onde sinusoïdale est appliqué au haut-parleur. En supposant que l'onde sonore se déplace comme une onde sphérique et que toute l'énergie appliquée au haut-parleur est convertie en énergie sonore, à quelle distance du haut-parleur se trouve l'intensité égale à 3,82 W/m ² ?
88. L'énergie d'une ondulation sur un étang est proportionnelle à l'amplitude au carré. Si l'amplitude de l'ondulation est de 0,1 cm à une distance de 6,00 mètres de la source, quelle était l'amplitude à une distance de 2,00 mètres de la source ?

16.5 Interférence des ondes

90. Imaginons deux ondes sinusoïdales se déplaçant le long d'une chaîne, modélisées comme y ₁ (x, t) = 0,3 m sin (4 m ^{−1 x + 3 s −1} t) et y ₂ (x, t) = 0,6 m sin (8 m ⁻¹ x − 6 s ⁻¹ t). Quelle est la hauteur de l'onde résultante formée par l'interférence des deux ondes à la position x = 0,5 m au temps t = 0,2 s ?
91. Considérons deux ondes sinusoïdales se déplaçant le long d'une chaîne, modélisées comme y ₁ (x, t) = 0,3 m sin (4 m ⁻¹ x + 3 s ⁻¹ t +\(\frac{\pi}{3}\)) et y ₂ (x, t) = 0,6 m sin (8 m ⁻¹ x − 6 s ⁻¹ t). Quelle est la hauteur de l'onde résultante formée par l'interférence des deux ondes à la position x = 1,0 m au temps t = 3,0 s ?
92. Considérons deux ondes sinusoïdales se déplaçant le long d'une chaîne, modélisées comme y ₁ (x, t) = 0,3 m sin (4 m ⁻¹ x − 3 s ⁻¹ t) et y ₂ (x, t) = 0,3 m sin (4 m ⁻¹ x + 3 s ⁻¹ t). Quelle est la fonction d'onde de l'onde résultante ? [Conseil : utilisez l'identité trig sin (u ± v) = sin u cos v ± cos u sin v]
93. Deux ondes sinusoïdales se déplacent dans un milieu dans la même direction, toutes deux ayant des amplitudes de 3,00 cm, une longueur d'onde de 5,20 m et une période de 6,52 s, mais l'une d'elles présente un décalage de phase d'un angle\(\phi\). Quel est le décalage de phase si l'onde résultante a une amplitude de 5,00 cm ? [Astuce : utilisez le trig identity sin u + sin v = 2 sin\(\left(\dfrac{u + v}{2}\right)\) cos\(\left(\dfrac{u − v}{2}\right)\)]
94. Deux ondes sinusoïdales se déplacent à travers un milieu dans la direction X positive, toutes deux ayant des amplitudes de 6,00 cm, une longueur d'onde de 4,3 m et une période de 6,00 s, mais l'une d'elles présente un déphasage d'un angle\(\phi\) = 0,50 rad. Quelle est la hauteur de l'onde résultante à un temps t = 3,15 s et à une position x = 0,45 m ?
95. Deux ondes sinusoïdales se déplacent à travers un milieu dans la direction x positive, toutes deux ayant des amplitudes de 7,00 cm, un nombre d'ondes de k = 3,00 m−1, une fréquence angulaire de\(\omega\) = 2,50 s ⁻¹ et une période de 6,00 s, mais l'une d'elles présente un déphasage d'un angle\(\phi\) =\(\frac{\pi}{12}\) rad. Quelle est la hauteur de l'onde résultante à un temps t = 2,00 s et à une position x = 0,53 m ?
96. Considérons deux ondes y ₁ (x, t) et y ₂ (x, t) identiques à l'exception d'un déphasage se propageant dans le même milieu. a) Quel est le déphasage, en radians, si l'amplitude de l'onde résultante est 1,75 fois l'amplitude des ondes individuelles ? (b) Qu'est-ce que le décalage de phase en degrés ? (c) Quel est le déphasage en pourcentage de la longueur d'onde individuelle ?
97. Deux ondes sinusoïdales, identiques à l'exception d'un décalage de phase, se déplacent dans la même direction. L'équation d'onde de l'onde résultante est y _R (x, t) = 0,70 m sin (3,00 m ⁻¹ x − 6,28 s ⁻¹ t +\(\frac{\pi}{16}\) rad). Quels sont la fréquence angulaire, le nombre d'ondes, l'amplitude et le déphasage des ondes individuelles ?
98. Deux ondes sinusoïdales, identiques à l'exception d'un décalage de phase, se déplacent dans la même direction. L'équation d'onde de l'onde résultante est y _R (x, t) = 0,35 cm sin (6,28 m ⁻¹ x − 1,57 s ⁻¹ t +\(\frac{\pi}{4}\)). Quels sont la période, la longueur d'onde, l'amplitude et le décalage de phase des ondes individuelles ?
99. Considérons deux fonctions d'onde, y ₁ (x, t) = 4,00 m sin (\(\pi\)m ⁻¹ x −\(\pi\) s ⁻¹ t) et y ₂ (x, t) = 4,00 m sin (\(\pi\)m ⁻¹ x −\(\pi\) s ⁻¹ t +\(\frac{\pi}{3}\)). (a) À l'aide d'une feuille de calcul, tracez les deux fonctions d'onde et l'onde qui résulte de la superposition des deux fonctions d'onde en fonction de la position (0,00 ≤ x ≤ 6,00 m) pendant le temps t = 0,00 s. (b) Quelles sont la longueur d'onde et l'amplitude des deux ondes d'origine ? (c) Quelles sont la longueur d'onde et l'amplitude de l'onde résultante ?
100. Considérons deux fonctions d'onde, y ₂ (x, t) = 2,00 m sin (\(\frac{\pi}{2}\)m ⁻¹ x −\(\frac{\pi}{3}\) s ⁻¹ t) et y ₂ (x, t) = 2,00 m sin (\(\frac{\pi}{2}\)m ⁻¹ x −\(\frac{\pi}{3}\) s ⁻¹ t +\(\frac{\pi}{6}\)). (a) Vérifiez que y _R = 2A cos\(\left(\dfrac{\phi}{2}\right)\) sin (kx −\(\omega\) t +\(\frac{\phi}{2}\)) est la solution pour l'onde qui résulte de la superposition des deux ondes. Créez une colonne pour x, y ₁, y ₂, y ₁ + y ₂ et y _R = 2A cos\(\left(\dfrac{\phi}{2}\right)\) sin (kx −\(\omega\) t +\(\frac{\phi}{2}\)). Tracez quatre vagues en fonction de la position où la plage de x est comprise entre 0 et 12 m.
101. Considérons deux fonctions d'onde qui ne diffèrent que par un décalage de phase, y ₁ (x, t) = A cos (kx −\(\omega\) t) et y ₂ (x, t) = A cos (kx −\(\omega\) t +\(\phi\)). Utilisez les identités trigonométriques cos u + cos v = 2 cos\(\left(\dfrac{u − v}{2}\right)\) cos\(\left(\dfrac{u + v}{2}\right)\) et cos (−\(\theta\)) = cos (\(\theta\)) pour trouver une équation d'onde pour l'onde résultant de la superposition des deux ondes. La fonction d'onde qui en résulte vous surprend-elle ?

16.6 Ondes stationnaires et résonance

102. Une vague se déplaçant sur un Slinky® étiré jusqu'à 4 m met 2,4 s pour parcourir la longueur du Slinky et vice versa. a) Quelle est la vitesse de la vague ? (b) En utilisant le même Slinky étiré sur la même longueur, une onde stationnaire est créée composée de trois antinœuds et de quatre nœuds. À quelle fréquence le Slinky doit-il osciller ?
103. Une corde de 2 m de long est tendue entre deux supports avec une tension qui produit une vitesse d'onde égale à v _w = 50,00 m/s. Quelles sont la longueur d'onde et la fréquence des trois premiers modes qui résonnent sur la corde ?
104. Considérez la configuration expérimentale ci-dessous. La longueur de la corde entre le vibreur à cordes et la poulie est L = 1,00 m. La densité linéaire de la corde est de\(\mu\) = 0,006 kg/m. Le vibreur à cordes peut osciller à n'importe quelle fréquence. La masse suspendue est de 2,00 kg. (a) Quelles sont la longueur d'onde et la fréquence du mode n = 6 ? (b) La corde fait osciller l'air autour de la corde. Quelle est la longueur d'onde du son si la vitesse du son est v _s = 343,00 m/s ?

105. Un câble d'une densité linéaire\(\mu\) = 0,2 kg/m est suspendu à des poteaux téléphoniques. La tension du câble est de 500,00 N. La distance entre les pôles est de 20 mètres. Le vent souffle sur la ligne, provoquant la résonance du câble. Un diagramme d'ondes stationnaires est produit avec 4,5 longueurs d'onde entre les deux pôles. La vitesse du son à la température actuelle T = 20 °C est de 343,00 m/s. Quelles sont la fréquence et la longueur d'onde du bourdonnement ?
106. Considérons une tige de longueur L, montée au centre sur un support. Un nœud doit exister là où la tige est montée sur un support, comme indiqué ci-dessous. Dessinez les deux premiers modes normaux de la tige lorsqu'elle est entraînée en résonance. Marquez la longueur d'onde et la fréquence requises pour faire entrer la tige en résonance.

107. Considérons deux fonctions d'onde y (x, t) = 0,30 cm sin (3 m ⁻¹ x − 4 s ⁻¹ t) et y (x, t) = 0,30 cm sin (3 m ⁻¹ x + 4 s ⁻¹ t). Ecrivez une fonction d'onde pour l'onde stationnaire résultante.
108. Un fil de 2,40 m a une masse de 7,50 g et est soumis à une tension de 160 N. Le fil est maintenu de manière rigide aux deux extrémités et mis en oscillation. (a) Quelle est la vitesse des vagues sur le fil ? La corde est mise en résonance par une fréquence qui produit une onde stationnaire d'une longueur d'onde égale à 1,20 m. (b) Quelle est la fréquence utilisée pour entraîner la corde en résonance ?
109. Une corde d'une densité de masse linéaire de 0,0062 kg/m et d'une longueur de 3,00 m est placée dans le mode de résonance n = 100. La tension dans la corde est de 20,00 N. Quelles sont la longueur d'onde et la fréquence de l'onde ?
110. Une corde d'une densité de masse linéaire de 0,0075 kg/m et d'une longueur de 6,00 m est mise en mode de résonance n = 4 en pilotant à une fréquence de 100,00 Hz. Quelle est la tension dans la corde ?
111. Deux ondes sinusoïdales de longueurs d'onde et d'amplitudes identiques se déplacent dans des directions opposées le long d'une chaîne produisant une onde stationnaire. La densité de masse linéaire de la corde est\(\mu\) = 0,075 kg/m et la tension dans la corde est F _T = 5,00 N. L'intervalle de temps entre les cas d'interférence destructrice totale est\(\Delta\) t = 0,13 s. Quelle est la longueur d'onde des ondes ?
112. Une ficelle, fixée aux deux extrémités, mesure 5,00 m de long et pèse 0,15 kg. La tension de la corde est de 90 N. La corde vibre pour produire une onde stationnaire à la fréquence fondamentale de la corde. (a) Quelle est la vitesse des vagues sur la corde ? (b) Quelle est la longueur d'onde de l'onde stationnaire produite ? (c) Quelle est la période de la vague stationnaire ?
113. Une chaîne est fixée aux deux extrémités. La masse de la corde est de 0,0090 kg et sa longueur est de 3,00 m. La corde est soumise à une tension de 200,00 N. La corde est entraînée par une source de fréquence variable pour produire des ondes stationnaires sur la corde. Déterminez les longueurs d'onde et la fréquence des quatre premiers modes d'ondes stationnaires.
114. Les fréquences de deux modes successifs d'ondes stationnaires sur une corde sont 258,36 Hz et 301,42 Hz. Quelle est la prochaine fréquence au-dessus de 100,00 Hz qui produirait une onde stationnaire ?
115. Une corde est fixée à ses deux extrémités à des supports distants de 3,50 m et a une masse volumique linéaire de\(\mu\) = 0,005 kg/m. La corde est soumise à une tension de 90,00 N. Une onde stationnaire est produite sur la corde avec six nœuds et cinq antinœuds. Quelles sont la vitesse, la longueur d'onde, la fréquence et la période de l'onde stationnaire ?
116. Les ondes sinusoïdales sont envoyées le long d'une chaîne de 1,5 m de long fixée aux deux extrémités. Les vagues se réfléchissent dans la direction opposée. L'amplitude de l'onde est de 4,00 cm. La vitesse de propagation des ondes est de 175 m/s. Le mode de résonance n = 6 de la corde est produit. Écrivez une équation pour l'onde stationnaire résultante.

Problèmes supplémentaires

117. Les appareils à ultrasons utilisés dans la profession médicale utilisent des ondes sonores d'une fréquence supérieure à la portée de l'ouïe humaine. Si la fréquence du son produit par l'appareil à ultrasons est f = 30 kHz, quelle est la longueur d'onde des ultrasons dans l'os, si la vitesse du son dans l'os est v = 3000 m/s ?
118. Le graphique ci-dessous montre une fonction d'onde qui modélise une onde à des temps t = 0,00 s et t = 2,00 s. La ligne pointillée est la fonction d'onde au temps t = 0,00 s et la ligne continue est la fonction au temps t = 2,00 s. Estimez l'amplitude, la longueur d'onde, la vitesse et la période de l'onde.

119. La vitesse de la lumière dans l'air est d'environ v = 3,00 x 10 ⁸ m/s et la vitesse de la lumière dans le verre est d'environ v = 2,00 x 10 ⁸ m/s. Un laser rouge d'une longueur d'onde\(\lambda\) = 633,00 nm projette la lumière incidente sur le verre et une partie de la lumière rouge est transmise au verre. La fréquence de la lumière est la même pour l'air et le verre. a) Quelle est la fréquence de la lumière ? (b) Quelle est la longueur d'onde de la lumière dans le verre ?
120. Une station de radio diffuse des ondes radio à une fréquence de 101,7 MHz. Les ondes radio se déplacent dans l'air à peu près à la vitesse de la lumière dans le vide. Quelle est la longueur d'onde des ondes radio ?
121. Un bronzeur se tient jusqu'à la taille dans l'océan et observe que six crêtes de vagues de surface périodiques passent chaque minute. Les crêtes sont distantes de 16,00 mètres. Quelles sont la longueur d'onde, la fréquence, la période et la vitesse des ondes ?
122. Un diapason vibre et produit un son à une fréquence de 512 Hz. La vitesse du son dans l'air est v = 343,00 m/s si l'air est à une température de 20,00 °C. Quelle est la longueur d'onde du son ?
123. Un bateau à moteur traverse un lac à une vitesse de v _b = 15,00 m/s. Le bateau rebondit de haut en bas toutes les 0,50 s dans la même direction qu'une vague. Il rebondit de haut en bas toutes les 0,30 s alors qu'il se déplace dans une direction opposée à la direction des vagues. Quelles sont la vitesse et la longueur d'onde de l'onde ?
124. Utilisez l'équation d'onde linéaire pour montrer que la vitesse d'une onde modélisée avec la fonction d'onde y (x, t) = 0,20 m sin (3,00 m ⁻¹ x + 6,00 s ⁻¹ t) est v = 2,00 m/s. Quelles sont la longueur d'onde et la vitesse de l'onde ?
125. Étant donné les fonctions d'onde y ₁ (x, t) = A sin (kx −\(\omega\) t) et y ₂ (x, t) = A sin (kx −\(\omega\) t +\(\phi\)) avec\(\phi \neq \frac{\pi}{2}\), montrent que y ₁ (x, t) + y ₂ (x, t) est une solution à l'équation linéaire des ondes avec une vitesse d'onde de v =\(\frac{\omega}{k}\).
126. Une onde transversale sur une chaîne est modélisée avec la fonction d'onde y (x, t) = 0,10 m sin (0,15 m ⁻¹ x + 1,50 s ⁻¹ t + 0,20). (a) Déterminez la vitesse de l'onde. (b) Trouvez la position dans la direction y, la vitesse perpendiculaire au mouvement de l'onde et l'accélération perpendiculaire au mouvement de l'onde, d'un petit segment de la corde centré sur x = 0,40 m au temps t = 5,00 s.
127. Une onde sinusoïdale se déplace le long d'une corde horizontale tendue avec une densité de masse linéaire de\(\mu\) = 0,060 kg/m. L'amplitude de l'accélération verticale maximale de l'onde est ay max = 0,90 cm/s ² et l'amplitude de l'onde est de 0,40 m. La corde est soumise à une tension de F _T = 600,00 N. L'onde se déplace dans la direction X négative. Écrivez une équation pour modéliser l'onde.
128. Une onde transversale sur une corde (\(\mu\)= 0,0030 kg/m) est décrite par l'équation y (x, t) = 0,30 m sin\(\left(\dfrac{2 \pi}{4.00\; m}(x − 16.00\; m/s\; t)\right)\). Quelle est la tension sous laquelle la corde est maintenue tendue ?
129. Une onde transversale sur une chaîne horizontale (\(\mu\)= 0,0060 kg/m) est décrite par l'équation y (x, t) = 0,30 m sin\(\left(\dfrac{2 \pi}{4.00\; m(x − v_{w}t)}\right)\). La corde est soumise à une tension de 300,00 N. Quels sont la vitesse, le nombre d'ondes et la fréquence angulaire de la vague ?
130. Un étudiant tient un télémètre sonique peu coûteux et utilise le télémètre pour déterminer la distance par rapport au mur. Le télémètre sonique émet une onde sonore. L'onde sonore se réfléchit sur le mur et retourne vers le télémètre. L'aller-retour dure 0,012 s. Le télémètre a été étalonné pour être utilisé à la température ambiante T = 20 °C, mais la température de la pièce est en fait T = 23 °C. En supposant que le mécanisme de chronométrage est parfait, quel pourcentage d'erreur l'étudiant peut-il s'attendre à cause de l'étalonnage ?
131. Une onde sur une corde est entraînée par un vibrateur à cordes qui oscille à une fréquence de 100,00 Hz et à une amplitude de 1,00 cm. Le vibreur à cordes fonctionne à une tension de 12,00 V et à un courant de 0,20 A. La puissance consommée par le vibreur à cordes est P = IV. Supposons que le vibromasseur à cordes est efficace à 90 % pour convertir l'énergie électrique en énergie associée aux vibrations de la corde. La corde mesure 3,00 m de long et est soumise à une tension de 60,00 N. Quelle est la densité de masse linéaire de la corde ?
132. Une onde progressive sur une chaîne est modélisée par l'équation d'onde y (x, t) = 3,00 cm sin (8,00 m ⁻¹ x + 100,00 s ⁻¹ t). La corde est soumise à une tension de 50,00 N et a une masse volumique linéaire de\(\mu\) = 0,008 kg/m. Quelle est la puissance moyenne transférée par la vague sur la corde ?
133. Une onde transversale sur une corde a une longueur d'onde de 5,0 m, une période de 0,02 s et une amplitude de 1,5 cm. La puissance moyenne transférée par la vague est de 5,00 W. Quelle est la tension dans la corde ?
134. a) Quelle est l'intensité d'un faisceau laser utilisé pour brûler des tissus cancéreux qui, lorsqu'il est absorbé à 90,0 %, envoie 500 J d'énergie dans un point circulaire de 2 mm de diamètre en 4 secondes ? (b) Expliquez comment cette intensité se compare à l'intensité moyenne de la lumière solaire (environ) et les implications que cela aurait si le faisceau laser pénétrait dans votre œil. Notez que votre réponse dépend de la durée de l'exposition.
135. Considérons deux fonctions d'ondes périodiques, y ₁ (x, t) = A sin (kx −\(\omega\) t) et y ₂ (x, t) = A sin (kx −\(\omega\) t +\(\phi\)). (a) Pour quelles valeurs l'\(\phi\)onde résultant d'une superposition des fonctions d'onde aura-t-elle une amplitude de 2A ? (b) Pour quelles valeurs l'\(\phi\)onde résultant d'une superposition des fonctions d'onde aura-t-elle une amplitude nulle ?
136. Considérons deux fonctions d'ondes périodiques, y ₁ (x, t) = A sin (kx −\(\omega\) t) et y ₂ (x, t) = A cos (kx −\(\omega\) t +\(\phi\)). (a) Pour quelles valeurs l'\(\phi\)onde résultant d'une superposition des fonctions d'onde aura-t-elle une amplitude de 2A ? (b) Pour quelles valeurs l'\(\phi\)onde résultant d'une superposition des fonctions d'onde aura-t-elle une amplitude nulle ?
137. Un bac de 10,00 mètres sur 0,10 mètre sur 0,10 mètre est partiellement rempli d'eau. Des vagues d'eau de surface de faible amplitude sont produites des deux extrémités du creux par des pales oscillant selon un mouvement harmonique simple. La hauteur des vagues d'eau est modélisée à l'aide de deux équations sinusoïdales, y ₁ (x, t) = 0,3 m sin (4 m ⁻¹ x − 3 s ⁻¹ t) et y ₂ (x, t) = 0,3 m cos (4 m ⁻¹ x + 3 s ⁻¹ t −\(\frac{\pi}{2}\)). Quelle est la fonction ondulatoire de l'onde résultante une fois que les ondes se sont rencontrées et avant qu'elles n'atteignent le bout du creux (par exemple, supposons qu'il n'y ait que deux vagues dans le creux et ne tiennent pas compte des réflexions) ? Utilisez une feuille de calcul pour vérifier vos résultats. [Conseil : utilisez les identités trig sin (u ± v) = sin u cos v ± cos u sin v et cos (u ± v) = cos u cos v sin u sin v]
138. Un sismographe enregistre les ondes S et P d'un tremblement de terre à 20,00 s d'intervalle. S'ils ont parcouru le même trajet à des vitesses d'onde constantes de v _S = 4,00 km/s et v _P = 7,50 km/s, à quelle distance se trouve l'épicentre du tremblement de terre ?
139. Considérez ce qui est indiqué ci-dessous. Une masse de 20,00 kg repose sur une rampe sans friction inclinée à 45°. Une ficelle d'une masse volumique linéaire\(\mu\) = 0,025 kg/m est attachée à la masse de 20,00 kg. La corde passe sur une poulie sans friction de masse négligeable et est attachée à une masse suspendue (m). Le système est en équilibre statique. Une vague est induite sur la corde et remonte la rampe. a) Quelle est la masse de la masse suspendue (m) ? (b) À quelle vitesse la vague remonte-t-elle dans la corde ?

140. Considérons la superposition de trois fonctions d'onde y (x, t) = 3,00 cm sin (2 m ⁻¹ x − 3 s ⁻¹ t), y (x, t) = 3,00 cm sin (6 m ⁻¹ x + 3 s ⁻¹ t) et y (x, t) = 3,00 cm sin (2 m ⁻¹ x − 4 s ⁻¹ t). Quelle est la hauteur de la vague résultante à la position x = 3,00 m au temps t = 10,0 s ?
141. Une corde a une masse de 150 g et une longueur de 3,4 m. Une extrémité de la ficelle est fixée à un support de laboratoire et l'autre est fixée à un ressort avec une constante de ressort de k _s = 100 N/m. L'extrémité libre du ressort est fixée à un autre poteau de laboratoire. La tension de la corde est maintenue par le ressort. Les poteaux du laboratoire sont séparés par une distance qui étire le ressort de 2,00 cm. La corde est pincée et une impulsion se déplace le long de la corde. Quelle est la vitesse de propagation de l'impulsion ?
142. Une onde stationnaire est produite sur une corde sous une tension de 70,0 N par deux ondes transversales sinusoïdales identiques mais se déplaçant dans des directions opposées. La chaîne est fixée à x = 0,00 m et x = 10,00 m. Les nœuds apparaissent à x = 0,00 m, 2,00 m, 4,00 m, 6,00 m, 8,00 m et 10,00 m. L'amplitude de l'onde stationnaire est de 3,00 cm. Il faut 0,10 s aux antinœuds pour effectuer une oscillation complète. (a) Quelles sont les fonctions d'onde des deux ondes sinusoïdales qui produisent l'onde stationnaire ? (b) Quelles sont la vitesse et l'accélération maximales de la corde, perpendiculairement à la direction du mouvement des ondes transversales, aux antinœuds ?
143. Une corde d'une longueur de 4 m est maintenue sous tension constante. La corde a une densité de masse linéaire de\(\mu\) = 0,006 kg/m. Les deux fréquences de résonance de la corde sont 400 Hz et 480 Hz. Il n'y a aucune fréquence de résonance entre les deux fréquences. (a) Quelles sont les longueurs d'onde des deux modes de résonance ? (b) Quelle est la tension dans la corde ?

Problèmes liés au défi

144. Un fil de cuivre a un rayon de 200\(\mu\) m et une longueur de 5 m. Le fil est placé sous une tension de 3 000 N et s'étire légèrement. Le fil est pincé et une impulsion circule le long du fil. Quelle est la vitesse de propagation de l'impulsion ? (Supposons que la température ne change pas : (\(\rho\)= 8,96 g/cm ³, Y = 1,1 x 10 ¹¹ N/m).
145. Une impulsion se déplaçant le long de l'axe x peut être modélisée comme la fonction d'onde y (x, t) = 4,00\(e^{− \left(\dfrac{x + (2.00\; m/s)t}{1.00\; m}\right)^{2}}\) m. (a) Quelles sont la direction et la vitesse de propagation de l'impulsion ? (b) Quelle est la distance parcourue par la vague en 3,00 s ? (c) Tracez le pouls à l'aide d'une feuille de calcul aux temps t = 0,00 s et t = 3,00 s pour vérifier votre réponse dans la partie (b).
146. Une corde d'une densité de masse linéaire\(\mu\) = 0,0085 kg/m est fixée aux deux extrémités. Une masse de 5,0 kg est suspendue à la ficelle, comme indiqué ci-dessous. Si une impulsion est envoyée le long de la section A, quelle est la vitesse de l'onde dans la section A et la vitesse de l'onde dans la section B ?

147. Considérons deux fonctions d'onde y ₁ (x, t) = A sin (kx −\(\omega\) t) et y ₂ (x, t) = A sin (kx +\(\omega\) t +\(\phi\)). Quelle est la fonction d'onde résultant de l'interférence des deux ondes ? [Indice : sin (\(\alpha \pm \beta\)) = sin\(\alpha\) cos\(\beta\) ± cos\(\alpha\) sin\(\beta\) et\(\phi = \frac{\phi}{2} + \frac{\phi}{2}\)).
148. La fonction d'onde qui modélise une onde stationnaire est donnée comme suit : yR (x, t) = 6,00 cm sin (3,00 m ⁻¹ x + 1,20 rad) cos (6,00 s ⁻¹ t + 1,20 rad). Quelles sont les fonctions à deux ondes qui interfèrent pour former cette fonction d'onde ? Tracez les deux fonctions d'onde et la somme de la somme des deux fonctions d'onde à t = 1,00 s pour vérifier votre réponse.
149. Considérons deux fonctions d'onde y ₁ (x, t) = A sin (kx −\(\omega\) t) et y ₂ (x, t) = A sin (kx +\(\omega\) t +\(\phi\)). La forme d'onde résultante lorsque vous ajoutez les deux fonctions est y _R = 2A sin (kx +\(\frac{\phi}{2}\)) cos (\ omega t + \ frac {\ phi} {2} \)). Prenons le cas où A = 0,03 m ^-1, k = 1,26 m ^{-1,\(\omega = \pi\) s -1} et\(\phi = \frac{\pi}{10}\). (a) Où se situent les trois premiers nœuds de la fonction d'onde stationnaire commençant à zéro et se déplaçant dans la direction x positive ? (b) À l'aide d'une feuille de calcul, tracez les deux fonctions d'onde et la fonction résultante au temps t = 1,00 s pour vérifier votre réponse.