16.7 : Ondes stationnaires et résonance

Objectifs d'apprentissage

• Décrire les ondes stationnaires et expliquer comment elles sont produites
• Décrire les modes d'une onde stationnaire sur une corde
• Donnez des exemples d'ondes stationnaires au-delà des vagues d'une corde

Tout au long de ce chapitre, nous avons étudié les vagues progressives, ou les vagues qui transportent de l'énergie d'un endroit à un autre. Dans certaines conditions, les vagues peuvent rebondir d'avant en arrière à travers une région particulière, devenant ainsi stationnaires. On les appelle des ondes stationnaires.

Un autre effet connexe est connu sous le nom de résonance. Dans Oscillations, nous avons défini la résonance comme un phénomène dans lequel une force motrice de faible amplitude peut produire un mouvement de grande amplitude. Pensez à un enfant sur une balançoire, qui peut être modélisée comme un pendule physique. Des poussées d'amplitude relativement faible effectuées par un parent peuvent produire des oscillations de grande amplitude. Parfois, cette résonance est bonne, par exemple lorsque vous produisez de la musique avec un instrument à cordes. À d'autres moments, les effets peuvent être dévastateurs, comme l'effondrement d'un bâtiment lors d'un tremblement de terre. Dans le cas des ondes stationnaires, les ondes stationnaires de relativement grande amplitude sont produites par la superposition d'ondes composantes de plus petite amplitude.

Ondes stationnaires

Parfois, les vagues ne semblent pas bouger ; elles vibrent simplement sur place. Vous pouvez voir des vagues immobiles à la surface d'un verre de lait dans un réfrigérateur, par exemple. Les vibrations du moteur du réfrigérateur créent des ondes sur le lait qui oscillent de haut en bas mais qui ne semblent pas se déplacer sur la surface. La figure\(\PageIndex{1}\) montre une expérience que vous pouvez essayer à la maison. Prenez un bol de lait et déposez-le sur un ventilateur ordinaire. Les vibrations du ventilateur produiront des ondes stationnaires circulaires dans le lait. Les ondes sont visibles sur la photo grâce à la réflexion d'une lampe. Ces ondes sont formées par la superposition de deux ondes progressives ou plus, comme illustré sur la figure\(\PageIndex{2}\) pour deux ondes identiques se déplaçant dans des directions opposées. Les vagues se déplacent les unes dans les autres et leurs perturbations s'ajoutent au fur et à mesure qu'elles passent. Si les deux ondes ont la même amplitude et la même longueur d'onde, elles alternent entre des interférences constructives et destructives. La résultante ressemble à une onde stationnaire et est donc appelée onde stationnaire.

Figure\(\PageIndex{1}\) : Des ondes stationnaires se forment à la surface d'un bol de lait posé sur un ventilateur. Les vibrations du ventilateur font osciller la surface du lait. Les ondes sont visibles grâce à la réflexion de la lumière émise par une lampe.

Figure\(\PageIndex{2}\) : Instantanés temporels de deux ondes sinusoïdales. L'onde rouge se déplace dans la direction −x et l'onde bleue se déplace dans la direction +x. L'onde qui en résulte est représentée en noir. Considérez l'onde résultante aux points x = 0 m, 3 m, 6 m, 9 m, 12 m, 15 m et remarquez que l'onde résultante est toujours égale à zéro à ces points, quel que soit le temps. Ces points sont appelés points fixes (nœuds). Entre les deux nœuds se trouve un antinode, un endroit où le milieu oscille avec une amplitude égale à la somme des amplitudes des ondes individuelles.

Considérez deux vagues identiques qui se déplacent dans des directions opposées. La première vague a une fonction d'onde y ₁ (x, t) = A sin (kx −\(\omega\) t) et la seconde vague a une fonction d'onde y ₂ (x, t) = A sin (kx +\(\omega\) t). Les ondes interfèrent et forment une onde résultante

\[\begin{split} y(x,t) & = y_{1} (x,t) + y_{2} (x,t), \\ & = A \sin (kx - \omega t) + A \sin (kx + \omega t) \ldotp \end{split}\]

Cela peut être simplifié en utilisant l'identité trigonométrique

\[\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta,\]

où\(\alpha\) = kx et\(\beta\) =\(\omega\) t, nous donnant

\[y(x,t) = A[\sin (kx) \cos (\omega t) - \cos (kx) \sin (\omega t) + \sin (kx) \cos (\omega t) - \cos (kx) \sin (\omega t)],\]

ce qui simplifie

\[y(x,t) = 2A \sin (kx) \cos (\omega t) \ldotp \label{16.14}\]

Notez que l'onde résultante est une onde sinusoïdale qui est une fonction uniquement de la position, multipliée par une fonction cosinusoïdale qui est une fonction uniquement du temps. Les graphes de y (x, t) en fonction de x pour différents temps sont présentés sur la figure\(\PageIndex{6}\). L'onde rouge se déplace dans la direction X négative, l'onde bleue se déplace dans la direction X positive et l'onde noire est la somme des deux ondes. Au fur et à mesure que les ondes rouges et bleues se traversent, elles entrent et sortent d'interférences constructives et destructrices.

Initialement, au temps t = 0, les deux ondes sont en phase et le résultat est une onde dont l'amplitude est deux fois supérieure à celle des ondes individuelles. Les ondes sont également en phase au temps t =\(\frac{T}{2}\). En fait, les ondes sont en phase à n'importe quel multiple entier d'une demi-période :

t = n\(\frac{T}{2}\) où n = 0, 1, 2, 3... (en phase).

À d'autres moments, les deux ondes sont déphasées de 180° (\(\pi\)radians) et l'onde résultante est égale à zéro. Cela se produit à

t =\(\frac{1}{4}\) T,\(\frac{3}{4}\) T,\(\frac{5}{4}\) T,...,\(\frac{n}{4}\) T où n = 1, 3, 5... (hors phase).

Notez que certaines positions X de l'onde résultante sont toujours nulles, quelle que soit la relation de phase. Ces positions sont appelées nœuds. Où se situent les nœuds ? Considérez la solution à la somme des deux vagues

\[y(x,t) = 2A \sin (kx) \cos (\omega t) \ldotp\]

La détermination des positions où la fonction sinusoïdale est égale à zéro fournit les positions des nœuds.

\[\begin{split} \sin (kx) & = 0 \\ kx & = 0, \pi, 2 \pi, 3 \pi, \ldots \\ \frac{2 \pi}{\lambda} x & = 0, \pi, 2 \pi, 3 \pi, \ldots \\ x & = 0, \frac{\lambda}{2}, \lambda, \frac{3 \lambda}{2}, \ldots = n \frac{\lambda}{2} \quad n = 0, 1, 2, 3, \ldots \end{split}\]

Il existe également des positions où y oscille entre y = ±A. Ce sont les antinœuds. Nous pouvons les trouver en considérant quelles valeurs de x donnent sin (kx) = ±1.

\[\begin{split} \sin (kx) & = \pm 1 \\ kx & = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \ldots \\ \frac{2 \pi}{\lambda} x & = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \ldots \\ x & = \frac{\lambda}{4}, \frac{3 \lambda}{4}, \frac{5 \lambda}{4}, \ldots = n \frac{\lambda}{4} \quad n = 1, 3, 5, \ldots \end{split}\]

Il en résulte une onde stationnaire, comme le montre la figure\(\PageIndex{3}\), qui montre des instantanés de la vague résultante de deux vagues identiques se déplaçant dans des directions opposées. L'onde résultante semble être une onde sinusoïdale avec des nœuds situés à des multiples entiers de demi-longueurs d'onde. Les antinœuds oscillent entre y = ±2A en raison du terme cosinus, cos (\(\omega\)t), qui oscille entre ±1.

L'onde résultante semble immobile, sans mouvement apparent dans la direction x, bien qu'elle soit composée d'une fonction d'onde se déplaçant dans le positif, tandis que la deuxième onde se déplace dans la direction X négative. La figure\(\PageIndex{3}\) montre différents instantanés de la vague résultante. Les nœuds sont marqués de points rouges tandis que les antinœuds sont marqués de points bleus.

Figure\(\PageIndex{3}\) : Lorsque deux ondes identiques se déplacent dans des directions opposées, l'onde résultante est une onde stationnaire. Les nœuds apparaissent à des multiples entiers de demi-longueurs d'onde. Les antinœuds apparaissent à des multiples impairs de quarts de longueur d'onde, où ils oscillent entre y = ±A. Les nœuds sont marqués de points rouges et les antinœuds sont marqués de points bleus.

Les ondes produites par les instruments de musique à cordes sont un exemple courant d'ondes stationnaires. Lorsque la ficelle est pincée, les impulsions se déplacent le long de la ficelle dans des directions opposées. Les extrémités des cordes sont fixées en place, de sorte que des nœuds apparaissent aux extrémités des cordes, c'est-à-dire les conditions limites du système, régulant les fréquences de résonance dans les cordes. La résonance produite sur un instrument à cordes peut être modélisée dans un laboratoire de physique à l'aide de l'appareil illustré à la figure\(\PageIndex{4}\).

Figure\(\PageIndex{4}\) : Configuration d'un laboratoire permettant de créer des ondes stationnaires sur une corde. La chaîne possède un nœud à chaque extrémité et une densité linéaire constante. La longueur entre les conditions limites fixées est L. La masse suspendue fournit la tension dans la corde, et la vitesse des vagues sur la corde est proportionnelle à la racine carrée de la tension divisée par la densité de masse linéaire.

La configuration du laboratoire montre une corde attachée à un vibromasseur à cordes, qui fait osciller la corde à une fréquence f réglable. L'autre extrémité de la corde passe au-dessus d'une poulie sans friction et est attachée à une masse suspendue. L'amplitude de la tension dans la corde est égale au poids de la masse suspendue. La chaîne a une densité linéaire constante (masse par longueur)\(\mu\) et la vitesse à laquelle une onde se déplace le long de la chaîne est égale à\(v = \sqrt{\frac{F_{T}}{\mu}} = \sqrt{\frac{mg}{\mu}}\) l'équation 16.7. Les conditions limites symétriques (un nœud à chaque extrémité) dictent les fréquences possibles qui peuvent exciter les ondes stationnaires. En partant d'une fréquence nulle et en augmentant lentement la fréquence, le premier mode n = 1 apparaît comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{5}\). Le premier mode, également appelé mode fondamental ou première harmonique, indique que la moitié d'une longueur d'onde s'est formée, de sorte que la longueur d'onde est égale à deux fois la longueur entre les nœuds\(\lambda_{1}\) = 2L. La fréquence fondamentale, ou première fréquence harmonique, qui commande ce mode est

\[f_{1} = \frac{v}{\lambda_{1}} = \frac{v}{2L},\]

où la vitesse de l'onde est v =\(\sqrt{\frac{F_{T}}{\mu}}\). Le maintien de la tension constante et l'augmentation de la fréquence mènent à la deuxième harmonique ou au mode n = 2. Ce mode est une longueur d'onde complète\(\lambda_{2}\) = L et la fréquence est le double de la fréquence fondamentale :

\[f_{2} = \frac{v}{\lambda_{2}} = \frac{v}{L} = 2f_{1} \ldotp\]

Figure\(\PageIndex{5}\) : Ondes stationnaires créées sur une chaîne de longueur\(L\). Un nœud apparaît à chaque extrémité de la chaîne. Les nœuds sont des conditions limites qui limitent les fréquences possibles qui excitent les ondes stationnaires. (Notez que les amplitudes des oscillations ont été maintenues constantes à des fins de visualisation. Les modèles d'ondes stationnaires possibles sur la corde sont connus sous le nom de modes normaux. La réalisation de cette expérience en laboratoire entraînerait une diminution de l'amplitude à mesure que la fréquence augmente.)

Les deux modes suivants, ou les troisième et quatrième harmoniques, ont des longueurs d'onde\(\lambda_{3} = \frac{2}{3}\) L et\(\lambda_{4} = \frac{2}{4}\) L, déterminées par des fréquences de f ₃\(\frac{3v}{2L}\) = = 3f ₁ et f ₄ =\(\frac{4v}{2L}\) = 4f ₁. Toutes les fréquences supérieures à la fréquence f1 sont appelées harmoniques. Les équations pour la longueur d'onde et la fréquence peuvent être résumées comme suit :

\[\lambda_{n} = \frac{2}{n} L \quad n = 1, 2, 3, 4, 5 \ldots \label{16.15}\]

\[f_{n} = n \frac{v}{2L} = nf_{1} \quad n = 1, 2, 3, 4, 5 \ldots \label{16.16}\]

Les modèles d'ondes stationnaires possibles pour une corde, dont les quatre premiers sont illustrés sur la figure\(\PageIndex{5}\), sont connus sous le nom de modes normaux, avec des fréquences appelées fréquences normales. En résumé, la première fréquence à produire un mode normal est appelée fréquence fondamentale (ou première harmonique). Toutes les fréquences supérieures à la fréquence fondamentale sont des harmoniques. La deuxième fréquence du mode normal n = 2 de la corde est la première harmonique (ou deuxième harmonique). La fréquence du mode normal n = 3 est la deuxième harmonique (ou troisième harmonique) et ainsi de suite.

Les solutions présentées sous les formes Équation \ ref {16.15} et Équation \ ref {16.16} concernent une chaîne avec la condition limite d'un nœud à chaque extrémité. Lorsque la condition limite de chaque côté est la même, on dit que le système possède des conditions limites symétriques. L'équation \ ref {16.15} et l'équation \ ref {16.16} conviennent à toutes les conditions limites symétriques, c'est-à-dire aux nœuds aux deux extrémités ou aux antinœuds aux deux extrémités.

Exemple\(\PageIndex{1}\): Standing Waves on a String

Considérez une corde de L = 2,00 m attachée à un vibromasseur à cordes à fréquence réglable, comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{6}\). Les ondes produites par le vibrateur descendent le long de la corde et sont réfléchies par la condition limite fixe au niveau de la poulie. La corde, dont la masse volumique linéaire est de\(\mu\) = 0,006 kg/m, est passée sur une poulie sans friction d'une masse négligeable, et la tension est fournie par une masse suspendue de 2 kg. (a) Quelle est la vitesse des vagues sur la corde ? (b) Dessinez un croquis des trois premiers modes normaux des ondes stationnaires qui peuvent être produits sur la corde et étiquetez chacun avec la longueur d'onde. (c) Énumérez les fréquences sur lesquelles le vibromasseur à cordes doit être réglé afin de produire les trois premiers modes normaux des ondes stationnaires.

Figure\(\PageIndex{6}\) : Corde attachée à un vibromasseur à cordes à fréquence réglable.

Stratégie

1. La vitesse de l'onde peut être déterminée en utilisant v =\(\sqrt{\frac{F_{T}}{\mu}}\). La tension est fournie par le poids de la masse suspendue.
2. Les ondes stationnaires dépendront des conditions limites. Il doit y avoir un nœud à chaque extrémité. Le premier mode sera une demi-vague. La seconde peut être trouvée en ajoutant une demi-longueur d'onde. Il s'agit de la longueur la plus courte qui se traduira par un nœud aux limites. Par exemple, l'ajout d'un quart de longueur d'onde se traduira par un antinode à la limite et ne constitue pas un mode qui satisferait aux conditions limites. Ceci est illustré dans la figure\(\PageIndex{7}\).
3. Puisque la vitesse de l'onde est la longueur d'onde multipliée par la fréquence, la fréquence est la vitesse de l'onde divisée par la longueur d'onde.

Figure\(\PageIndex{7}\) - (a) La figure représente le deuxième mode de la chaîne qui satisfait aux conditions limites d'un nœud à chaque extrémité de la chaîne. (b) Cette figure ne peut pas être un mode normal sur la chaîne car elle ne satisfait pas aux conditions limites. Il y a un nœud à une extrémité, mais un antinœud à l'autre.

Solution

1. Commencez par la vitesse d'une onde sur une corde. La tension est égale au poids de la masse suspendue. La densité de masse linéaire et la masse de la masse suspendue sont données : $$v = \ sqrt {\ frac {F_ {T}} {\ mu}} = \ sqrt {\ frac {mg} {\ mu}} = \ sqrt {\ frac {(2 \ ; kg) (9,8 \ ; m/s)} {0,006 \ ; kg/m}} = 57,15 \ ; m/s \ ldotp$$
2. Le premier mode normal qui possède un nœud à chaque extrémité est une demi-longueur d'onde. Les deux modes suivants sont trouvés en ajoutant la moitié d'une longueur d'onde.

3. Les fréquences des trois premiers modes sont déterminées en utilisant f =\(\frac{v_{w}}{\lambda}\). $$ \ begin {split} f_ {1} & = \ frac {v_ {w}} {\ lambda_ {1}} = \ frac {57,15 \ ; m/s} {4,00 \ ; m} = 14,29 \ ; Hz \ \ f_ {2} & = \ frac {v_ {w}} {\ lambda_ {2}} = \ frac {57,15 \ ; m/s} {2,00 \ ; m} = 28,58 \ ; Hz \ \ f_ {3} & = \ frac {v_ {w}} {\ lambda_ {3}} = \ frac {57,15 \ ; m/s} {1,333 \ ; m} = 42,87 \ ; Hz \ end {split} $$

L'importance

Les trois modes debout de cet exemple ont été produits en maintenant la tension dans la corde et en ajustant la fréquence d'entraînement. Maintenir la tension constante dans la corde se traduit par une vitesse constante. Les mêmes modes auraient pu être produits en maintenant la fréquence constante et en ajustant la vitesse de l'onde dans la corde (en modifiant la masse suspendue).

Simulation

Consultez cette simulation pour jouer avec un système 1D ou 2D d'oscillateurs masse-ressort couplés. Variez le nombre de masses, définissez les conditions initiales et observez l'évolution du système. Consultez le spectre des modes normaux pour détecter les mouvements arbitraires. Voir les modes longitudinaux ou transversaux dans le système 1D.

Exercice\(\PageIndex{1}\)

Les équations pour les longueurs d'onde et les fréquences des modes d'une onde produite sur une chaîne :

\[\begin{split} \lambda_{n} & = \frac{2}{n} L \quad n = 1, 2, 3, 4, 5 \ldots and \\ f_{n} & = n \frac{v}{2L} = nf_{1} \quad n = 1, 2, 3, 4, 5 \ldots \end{split}\]

ont été dérivées en considérant une onde sur une chaîne où les conditions limites d'un nœud étaient symétriques à chaque extrémité. Ces modes résultaient de deux ondes sinusoïdales aux caractéristiques identiques, sauf qu'elles se déplaçaient dans des directions opposées, confinées à une région L avec des nœuds requis aux deux extrémités. Les mêmes équations fonctionneront-elles s'il y avait des conditions limites symétriques avec des antinœuds à chaque extrémité ? À quoi ressembleraient les modes normaux pour un support libre d'osciller à chaque extrémité ? Ne vous inquiétez pas pour l'instant si vous ne pouvez pas imaginer un tel milieu, considérez simplement deux fonctions d'ondes sinusoïdales dans une région de longueur L, avec des antinœuds à chaque extrémité.

Les conditions limites libres présentées dans le dernier Check Your Understanding peuvent sembler difficiles à visualiser. Comment peut-il y avoir un système libre d'osciller à chaque extrémité ? La figure\(\PageIndex{8}\) montre deux configurations possibles de tiges métalliques (en rouge) fixées à deux supports (en bleu). Dans la partie (a), la tige est supportée aux extrémités et les conditions limites sont fixes aux deux extrémités. À la fréquence appropriée, la tige peut être mise en résonance avec une longueur d'onde égale à la longueur de la tige, avec des nœuds à chaque extrémité. Dans la partie (b), la tige est supportée à des positions situées à un quart de sa longueur à partir de chaque extrémité de la tige, et des conditions limites libres existent aux deux extrémités. Avec la fréquence appropriée, cette tige peut également être mise en résonance avec une longueur d'onde égale à la longueur de la tige, mais il y a des antinœuds à chaque extrémité. Si vous ne parvenez pas à visualiser la longueur d'onde sur cette figure, n'oubliez pas que la longueur d'onde peut être mesurée entre deux points identiques les plus proches et considérez la figure\(\PageIndex{9}\).

Figure\(\PageIndex{8}\) : (a) Une tige métallique de longueur L (rouge) soutenue par deux supports (bleus) à chaque extrémité. Lorsqu'elle est entraînée à la fréquence appropriée, la tige peut résonner avec une longueur d'onde égale à la longueur de la tige avec un nœud à chaque extrémité. (b) La même tige métallique de longueur L (rouge) soutenue par deux supports (bleu) à une position située au quart de la longueur de la tige à partir de chaque extrémité. Lorsqu'elle est entraînée à la fréquence appropriée, la tige peut résonner à une longueur d'onde égale à la longueur de la tige avec un antinœud à chaque extrémité.

Figure\(\PageIndex{9}\) : Une longueur d'onde peut être mesurée entre les deux points de répétition les plus proches. Sur une vague sur une corde, cela signifie la même hauteur et la même pente. (a) La longueur d'onde est mesurée entre les deux points les plus proches où la hauteur est nulle et où la pente est maximale et positive. (b) La longueur d'onde est mesurée entre deux points identiques où la hauteur est maximale et la pente nulle.

Notez que l'étude des ondes stationnaires peut devenir assez complexe. Sur la Figure 16.32 (a), le mode n = 2 de l'onde stationnaire est illustré, et il donne une longueur d'onde égale à L. Dans cette configuration, le mode n = 1 aurait également été possible avec une onde stationnaire égale à 2L. Est-il possible d'obtenir le mode n = 1 pour la configuration présentée dans la partie (b) ? La réponse est non. Dans cette configuration, des conditions supplémentaires sont définies au-delà des conditions limites. Comme la tige est montée à un point situé au quart de la longueur de chaque côté, un nœud doit y exister, ce qui limite les modes possibles d'ondes stationnaires pouvant être créés. Nous laissons au lecteur le soin de déterminer si d'autres modes d'ondes stationnaires sont possibles. Il convient de noter que lorsqu'un système est entraîné à une fréquence qui ne provoque pas la résonance du système, des vibrations peuvent tout de même se produire, mais l'amplitude des vibrations sera beaucoup plus petite que l'amplitude à la résonance.

Un domaine de l'ingénierie mécanique utilise le son produit par les pièces vibrantes de systèmes mécaniques complexes pour résoudre les problèmes liés aux systèmes. Supposons qu'une pièce d'une automobile résonne à la fréquence du moteur de la voiture, provoquant des vibrations indésirables dans l'automobile. Cela peut provoquer une panne prématurée du moteur. Les ingénieurs utilisent des microphones pour enregistrer le son produit par le moteur, puis utilisent une technique appelée analyse de Fourier pour déterminer les fréquences du son produit avec de grandes amplitudes, puis examinent la liste des pièces de l'automobile pour trouver une pièce qui résonnerait à cette fréquence. La solution peut être aussi simple que de modifier la composition du matériau utilisé ou de modifier la longueur de la pièce en question.

Il existe de nombreux autres exemples de résonance des ondes stationnaires dans le monde physique. L'air contenu dans un tube, comme celui d'un instrument de musique tel qu'une flûte, peut entrer en résonance et produire un son agréable, comme nous le verrons dans Sound.

À d'autres moments, la résonance peut causer de graves problèmes. Un examen plus approfondi des tremblements de terre fournit des preuves de conditions propices à la résonance, aux ondes stationnaires et aux interférences constructives et destructrices. Un bâtiment peut vibrer pendant plusieurs secondes avec une fréquence de conduite correspondant à la fréquence naturelle de vibration du bâtiment, produisant ainsi une résonance provoquant l'effondrement d'un bâtiment alors que les bâtiments voisins ne le font pas. Souvent, les bâtiments d'une certaine hauteur sont dévastés tandis que d'autres bâtiments plus hauts restent intacts. La hauteur du bâtiment correspond à la condition requise pour créer une vague stationnaire pour cette hauteur particulière. L'envergure du toit est également importante. On constate souvent que les gymnases, les supermarchés et les églises subissent des dommages alors que les maisons individuelles sont beaucoup moins endommagées. Les toits de grandes surfaces soutenus uniquement par les bords résonnent aux fréquences des tremblements de terre, provoquant leur effondrement. Lorsque les ondes sismiques se déplacent le long de la surface de la Terre et se reflètent sur des roches plus denses, des interférences constructives se produisent à certains endroits. Souvent, les zones les plus proches de l'épicentre ne sont pas endommagées, tandis que les zones plus éloignées sont endommagées.