4.6 : Ouvertures circulaires et résolution

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

• Décrire la limite de diffraction sur la résolution
• Décrire la limite de diffraction sur la propagation du faisceau

La lumière diffracte lorsqu'elle se déplace dans l'espace, contourne les obstacles et interfère de manière constructive et destructive. Cela peut être utilisé comme outil spectroscopique (un réseau de diffraction disperse la lumière en fonction de la longueur d'onde, par exemple, et est utilisé pour produire des spectres), mais la diffraction limite également les détails que nous pouvons obtenir sur les images.

La figure\(\PageIndex{1a}\) montre l'effet du passage de la lumière à travers une petite ouverture circulaire. Au lieu d'un point lumineux avec des arêtes vives, nous obtenons un point avec un bord flou entouré de cercles de lumière. Ce motif est dû à la diffraction, similaire à celle produite par une seule fente. La lumière provenant de différentes parties de l'ouverture circulaire interfère de manière constructive et destructive. L'effet est particulièrement visible lorsque l'ouverture est petite, mais il est également présent pour les grandes ouvertures.

Figure\(\PageIndex{1}\) : (a) La lumière monochromatique passée à travers une petite ouverture circulaire produit ce motif de diffraction. (b) Deux sources lumineuses ponctuelles proches l'une de l'autre produisent des images qui se chevauchent en raison de la diffraction. c) Si les sources sont plus proches les unes des autres, elles ne peuvent être ni distinguées ni résolues.

Comment la diffraction affecte-t-elle les détails qui peuvent être observés lorsque la lumière traverse une ouverture ? La figure\(\PageIndex{1b}\) montre le diagramme de diffraction produit par deux sources lumineuses ponctuelles proches l'une de l'autre. Le schéma est similaire à celui d'une source ponctuelle unique, et il est toujours possible de dire qu'il y a deux sources de lumière au lieu d'une seule. S'ils sont plus proches les uns des autres, comme dans la Figure\(\PageIndex{1c}\), nous ne pouvons pas les distinguer, ce qui limite le détail ou la résolution que nous pouvons obtenir. Cette limite est une conséquence incontournable de la nature ondulatoire de la lumière.

La diffraction limite la résolution dans de nombreuses situations. L'acuité de notre vision est limitée parce que la lumière traverse la pupille, qui est l'ouverture circulaire de l'œil. Sachez que la diffusion de la lumière semblable à la diffraction est due au diamètre limité d'un faisceau lumineux, et non à l'interaction avec une ouverture. Ainsi, la lumière traversant une lentille d'un certain diamètre\(D\) montre cet effet et se propage, brouillant l'image, tout comme la lumière traversant une ouverture de diamètre\(D\). Ainsi, la diffraction limite la résolution de tout système comportant une lentille ou un miroir. Les télescopes sont également limités par la diffraction, en raison du diamètre fini\(D\) du miroir primaire.

Quelle est la limite au juste ? Pour répondre à cette question, considérez le diagramme de diffraction d'une ouverture circulaire, dont le maximum central est plus large et plus lumineux que les maxima qui l'entourent (similaire à une fente) (Figure\(\PageIndex{1a}\)). On peut montrer que, pour une ouverture circulaire de diamètre\(D\), le premier minimum du diagramme de diffraction se produit à\(\theta = 1.22 \lambda/D\) (à condition que l'ouverture soit grande par rapport à la longueur d'onde de la lumière, ce qui est le cas pour la plupart des instruments optiques). Le critère accepté pour déterminer la limite de diffraction à la résolution sur la base de cet angle est connu sous le nom de critère de Rayleigh, développé par Lord Rayleigh au XIXe siècle.

Critère de Rayleigh

La limite de résolution de diffraction indique que deux images peuvent être résolues uniquement lorsque le centre du diagramme de diffraction de l'une se trouve directement au-dessus du premier minimum du diagramme de diffraction de l'autre (Figure\(\PageIndex{1b}\)).

Le premier minimum est à un angle de\(\theta = 1.22 \lambda/D\), de sorte que deux objets ponctuels peuvent être résolus s'ils sont séparés par l'angle

\[\theta = 1.22 \dfrac{\lambda}{D} \label{Rayleigh} \]

où\(λ\) est la longueur d'onde de la lumière (ou d'un autre rayonnement électromagnétique) et\(D\) le diamètre de l'ouverture, de la lentille, du miroir, etc., avec lesquels les deux objets sont observés. Dans cette expression,\(θ\) possède des unités de radians. Cet angle est également communément appelé limite de diffraction.

Figure\(\PageIndex{2}\) : (a) Graphique de l'intensité du diagramme de diffraction pour une ouverture circulaire. Notez que, comme pour une seule fente, le maximum central est plus large et plus clair que ceux situés sur les côtés. (b) Les objets à deux points produisent des motifs de diffraction qui se chevauchent. Voici le critère de Rayleigh pour être simplement résolvable. Le maximum central d'un motif se situe sur le premier minimum de l'autre.

Toutes les tentatives d'observation de la taille et de la forme des objets sont limitées par la longueur d'onde de la sonde. Même la faible longueur d'onde de la lumière empêche une précision exacte. Lorsque des sondes de très petite longueur d'onde sont utilisées, comme dans le cas d'un microscope électronique, le système est perturbé, ce qui limite encore nos connaissances. Le principe d'incertitude de Heisenberg affirme que cette limite est fondamentale et incontournable, comme nous le verrons dans le chapitre sur la mécanique quantique.

Exemple\(\PageIndex{1}\): Calculating Diffraction Limits of the Hubble Space Telescope

Le miroir principal du télescope spatial Hubble en orbite a un diamètre de 2,40 m. Étant en orbite, ce télescope évite les effets dégradants de la distorsion atmosphérique sur sa résolution. (a) Quel est l'angle entre deux sources lumineuses ponctuelles pouvant être résolues (peut-être deux étoiles) ? Supposons une longueur d'onde lumineuse moyenne de 550 nm. (b) Si ces deux étoiles se trouvent à une distance de 2 millions d'années-lumière, soit la distance de la galaxie d'Andromède, dans quelle mesure peuvent-elles être rapprochées et encore être résolues ? (Une année-lumière, ou ly, est la distance parcourue par la lumière en 1 an.)

Stratégie

Le critère de Rayleigh indiqué dans l'équation \ ref {Rayleigh}\(\theta = 1.22 \lambda/D\), donne le plus petit angle θ possible entre les sources ponctuelles, ou la meilleure résolution possible. Une fois cet angle connu, nous pouvons calculer la distance entre les étoiles, car on nous indique leur distance.

Solution

1. Le critère de Rayleigh pour l'angle minimum résolvable est La\[\theta = 1.22 \dfrac{\lambda}{D}. \nonumber \] saisie de valeurs connues donne\[\theta = 1.22\dfrac{550 \times 10^{-9} m}{2.40 \,m} = 2.80 \times 10^{-7} rad. \nonumber \]
2. La distance s entre deux objets distants r et séparés par un angle θ est\(s = r\theta\). La substitution de valeurs connues donne\[s = (2.0 \times 10^6 \,ly)(2.80 \times 10^{-7} \,rad) = 0.56 \,ly. \nonumber \]

L'importance

L'angle trouvé dans la partie (a) est extraordinairement petit (moins de 1/50 000 de degré), car le miroir principal est très grand par rapport à la longueur d'onde de la lumière. Comme on l'a remarqué, les effets de diffraction sont plus visibles lorsque la lumière interagit avec des objets dont la taille est de l'ordre de la longueur d'onde de la lumière. Cependant, l'effet est toujours présent et il existe une limite de diffraction à ce qui est observable. La résolution réelle du télescope Hubble n'est pas aussi bonne que celle trouvée ici. Comme pour tous les instruments, d'autres effets, tels que des irrégularités dans les miroirs ou des aberrations dans les objectifs, limitent encore davantage la résolution. Cependant, la figure\(\PageIndex{3}\) donne une indication de l'étendue des détails observables avec le Hubble en raison de sa taille et de sa qualité, et en particulier parce qu'il se trouve au-dessus de l'atmosphère de la Terre.

Figure\(\PageIndex{3}\) : Ces deux photographies de la galaxie M82 donnent une idée des détails observables à l'aide (a) d'un télescope au sol et (b) du télescope spatial Hubble. (crédit a : modification de l'œuvre par « Ricnun » /Wikimedia Commons)

La réponse de la partie (b) indique que deux étoiles séparées par environ une demi-année-lumière peuvent être résolues. La distance moyenne entre les étoiles d'une galaxie est de l'ordre de cinq années-lumière dans les parties extérieures et d'environ une année-lumière près du centre de la galaxie. Par conséquent, le Hubble peut résoudre la plupart des étoiles individuelles de la galaxie d'Andromède, même si elle se trouve à une telle distance que sa lumière met 2 millions d'années à nous atteindre. La figure\(\PageIndex{4}\) montre un autre miroir utilisé pour observer les ondes radio provenant de l'espace extra-atmosphérique.

Figure\(\PageIndex{4}\) : Un paraboloïde de 305 m de diamètre situé à Arecibo, à Porto Rico, est recouvert d'un matériau réfléchissant, ce qui en fait un radiotélescope. C'est le plus grand plat de focalisation incurvé au monde. Bien qu'il soit beaucoup plus grand\(D\) pour Arecibo que pour le télescope Hubble, il détecte un rayonnement d'une longueur d'onde beaucoup plus longue et sa limite de diffraction est nettement inférieure à celle de Hubble. Le télescope Arecibo reste très utile, car des informations importantes sont véhiculées par des ondes radio qui ne sont pas véhiculées par lumière visible. (crédit : Jeff Hitchcock)

Exercice\(\PageIndex{1}\)

Quelle est la résolution angulaire du télescope Arecibo illustré sur la figure\(\PageIndex{4}\) lorsqu'il est utilisé à une longueur d'onde de 21 cm ? Comment se compare-t-elle à la résolution du télescope Hubble ?

Réponse

\(8.4 \times 10^{-4} \,rad\), 3 000 fois plus large que le télescope Hubble

La diffraction est un problème non seulement pour les instruments optiques, mais également pour le rayonnement électromagnétique lui-même. Tout faisceau de lumière ayant un diamètre fini\(D\) et une longueur d'onde λ présente un étalement de diffraction. Le faisceau s'étale selon un angle θ donné par l'équation \ ref {Rayleigh},\(\theta = 1.22 \lambda/D\). Prenons, par exemple, un faisceau laser composé de rayons aussi parallèles que possible (angles entre les rayons aussi proches que possible de θ = 0°) qui s'étale selon un angle\(\theta = 1.22 \lambda/D\), où\(D\) est le diamètre du faisceau et λ est sa longueur d'onde. Cet étalement est impossible à observer pour une lampe de poche car son faisceau n'est pas très parallèle au départ. Cependant, pour la transmission à longue distance de faisceaux laser ou de signaux micro-ondes, l'étalement par diffraction peut être significatif (Figure\(\PageIndex{5}\)). Pour éviter cela, nous pouvons augmenter D. Ceci est fait pour la lumière laser envoyée à la lune pour mesurer sa distance par rapport à la Terre. Le faisceau laser est étendu à travers un télescope pour le rendre\(D\) beaucoup plus grand et θ plus petit.

Figure\(\PageIndex{5}\) : Le faisceau produit par cette antenne d'émission à micro-ondes s'étale à un angle minimal\(\theta = 1.22 \lambda/D\) en raison de la diffraction. Il est impossible de produire un faisceau quasi parallèle car le diamètre du faisceau est limité.

Dans la plupart des laboratoires de biologie, la résolution est un problème lorsque l'on introduit l'utilisation du microscope. Plus la distance x par laquelle deux objets peuvent être séparés tout en restant considérés comme distincts est faible, plus la résolution est élevée. Le pouvoir de résolution d'une lentille est défini comme cette distance x. Une expression du pouvoir de résolution est obtenue à partir du critère de Rayleigh. La figure\(\PageIndex{6a}\) montre deux objets ponctuels séparés par une distance x. Selon le critère de Rayleigh, la résolution est possible lorsque l'écart angulaire minimum est

\[\theta = 1.22 \dfrac{\lambda}{D} = \dfrac{x}{d}, \nonumber \]

où\(D\) est la distance entre l'échantillon et l'objectif, et nous avons utilisé l'approximation du petit angle (c'est-à-dire que nous avons supposé que x est beaucoup plus petit que d), de sorte que\(tan \,\theta \approx sin \,\theta\). Par conséquent, le pouvoir de résolution est

\[x= 1.22 \dfrac{\lambda d}{D}. \nonumber \]

Une autre façon de voir cela est d'utiliser le concept d'ouverture numérique (NA), qui est une mesure de l'angle d'acceptation maximal auquel un objectif capte la lumière tout en la contenant à l'intérieur de l'objectif. La figure\(\PageIndex{1b}\) montre une lentille et un objet au point P. La NA est ici une mesure de la capacité de l'objectif à capter la lumière et à résoudre les moindres détails. L'angle sous-tendu par la lentille au niveau de son foyer est défini comme étant\(\theta = 2\alpha\). À partir de la figure et encore une fois en utilisant l'approximation du petit angle, nous pouvons écrire

\[sin \,\alpha = \dfrac{D/2}{d} = \dfrac{D}{2d}. \nonumber \]

Le NA pour une lentille est\(NA = n \,sin \,\alpha\), où n est l'indice de réfraction du milieu entre la lentille d'objectif et l'objet au point P. À partir de cette définition de NA, nous pouvons voir que

\[x = 1.22 \dfrac{\lambda d}{D} = 1.22 \dfrac{\lambda}{2 \,sin \,\alpha} = 0.61 \dfrac{\lambda n}{NA}. \nonumber \]

Dans un microscope, la NA est importante car elle est liée au pouvoir de résolution d'une lentille. Un objectif avec un grand NA est capable de résoudre les détails les plus fins. Les objectifs avec un NA plus grand sont également capables de collecter plus de lumière et de donner ainsi une image plus lumineuse. Une autre façon de décrire cette situation est que plus le NA est grand, plus le cône de lumière pouvant être introduit dans la lentille est grand, de sorte que davantage de modes de diffraction sont collectés. Ainsi, le microscope dispose de plus d'informations pour former une image claire, et son pouvoir de résolution est plus élevé.

Figure\(\PageIndex{6}\) : (a) Deux points séparés par une distance x et positionnés à une certaine\(D\) distance de l'objectif. (b) Termes et symboles utilisés pour discuter du pouvoir de résolution d'une lentille et d'un objet au point P (crédit a : modification de l'œuvre par « Infopro » /Wikimedia Commons).

L'une des conséquences de la diffraction est que le point focal d'un faisceau a une largeur et une distribution d'intensité finies. Imaginez que vous vous concentrez lorsque vous considérez uniquement l'optique géométrique, comme dans la\(\PageIndex{7a}\) Figure Le point focal est considéré comme un point infiniment petit, d'une intensité énorme et capable d'incinérer la plupart des échantillons, quel que soit l'ADN de l'objectif, ce qui est une simplification imphysique à l'excès. Pour l'optique des ondes, en raison de la diffraction, nous prenons en compte le phénomène selon lequel le point focal s'étend pour devenir un point focal (Figure\(\PageIndex{7b}\)), la taille du point diminuant avec l'augmentation de la NA. Par conséquent, l'intensité du point focal augmente avec l'augmentation de la NA. Plus le NA est élevé, plus les chances de photodégradation de l'échantillon sont grandes. Cependant, l'endroit ne devient jamais un vrai point.

Figure\(\PageIndex{7}\) :( a) En optique géométrique, le foyer est modélisé comme un point, mais il n'est pas physiquement possible de produire un tel point car cela implique une intensité infinie. (b) En optique ondulatoire, le foyer est une région étendue.

Dans un autre type de microscope, les molécules d'un échantillon sont conçues pour émettre de la lumière par un mécanisme appelé fluorescence. En contrôlant les molécules émettant de la lumière, il est devenu possible de construire des images avec une résolution beaucoup plus fine que le critère de Rayleigh, contournant ainsi la limite de diffraction. Le développement de la microscopie à fluorescence à super-résolution a conduit au prix Nobel de chimie 2014.

Simulation de résolution optique

Dans ce modèle de résolution optique, deux diagrammes de diffraction de la lumière à travers deux ouvertures circulaires sont représentés côte à côte dans cette simulation de Fu-Kwun Hwang. Observez les motifs fusionner à mesure que vous diminuez les diamètres d'ouverture.