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7.0 : Introduction au théorème de la limite centrale

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    Pourquoi sommes-nous si préoccupés par les moyens ? Deux raisons sont les suivantes : elles nous fournissent un terrain d'entente à des fins de comparaison et elles sont faciles à calculer. Dans ce chapitre, vous allez étudier les moyennes et le théorème de la limite centrale.

    Le théorème de la limite centrale est l'une des idées les plus puissantes et les plus utiles de toutes les statistiques. Le théorème de la limite centrale est un théorème qui signifie qu'il ne s'agit PAS d'une théorie ou simplement d'une idée de quelqu'un de la façon dont les choses fonctionnent. En tant que théorème, il se classe dans le théorème de Pythagore, ou le théorème qui nous dit que la somme des angles d'un triangle doit s'additionner à 180. Ce sont là des faits qui illustrent les modes de vie du monde rigoureusement démontrés avec une précision mathématique et une logique. Comme nous le verrons, ce puissant théorème déterminera exactement ce que nous pouvons et ne pouvons pas dire dans les statistiques inférentielles. Le théorème de la limite centrale consiste à prélever des échantillons finis\(n\) de taille à partir d'une population dont la moyenne et l'écart-type sont connus\(\sigma\).\(\mu\) La conclusion est que si nous collectons des échantillons dont la taille\(n\) est « suffisamment grande »\(n\), que nous calculons la moyenne de chaque échantillon et que nous créons un histogramme (distribution) de ces moyennes, la distribution résultante aura tendance à avoir une distribution normale approximative.

    Le résultat étonnant est que peu importe la distribution de la population d'origine, ni même si vous avez besoin de la connaître. Le fait important est que la distribution des moyennes des échantillons tend à suivre la distribution normale.

    Voici une photo de change d'un jeu de clés dans une pile. Il semble y avoir cinq centimes, trois quarts, quatre centimes et deux cents. Le porte-clés est orné d'une baleine en bronze et contient onze clés.
    Figure\(\PageIndex{1}\) Si vous voulez déterminer la distribution du changement que les gens ont dans leurs poches, en utilisant le théorème de la limite centrale et en supposant que votre échantillon est suffisamment grand, vous constaterez que la distribution est la fonction de densité de probabilité normale. (crédit : John Lodder)

    La taille de l'échantillon\(n\), qui est requise pour être « suffisamment grand », dépend de la population d'origine à partir de laquelle les échantillons sont prélevés (la taille de l'échantillon doit être d'au moins 30 ou les données doivent provenir d'une distribution normale). Si la population initiale est loin d'être normale, d'autres observations sont nécessaires pour obtenir les moyennes de l'échantillon. L'échantillonnage est effectué de manière aléatoire et remplacé dans le modèle théorique.