6.5 : Les devoirs du chapitre

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

6.1 La distribution normale standard

Utilisez les informations suivantes pour répondre aux deux exercices suivants : Le temps de rétablissement du patient après une intervention chirurgicale particulière est normalement réparti avec une moyenne de 5,3 jours et un écart type de 2,1 jours.

65.

Quel est le temps de rétablissement médian ?

66.

Quel est le score Z d'un patient qui met dix jours à se rétablir ?

67.

Le temps nécessaire pour trouver une place de parking à 9 heures du matin suit une distribution normale avec une moyenne de cinq minutes et un écart type de deux minutes. Si la moyenne est significativement supérieure à l'écart type, laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

Les données ne peuvent pas suivre la distribution uniforme.
Les données ne peuvent pas suivre la distribution exponentielle.
Les données ne peuvent pas suivre la distribution normale.

Moi uniquement
II uniquement
III uniquement
I, II et III

68.

Les sommets des 430 joueurs de la National Basketball Association figuraient sur les listes des équipes au début de la saison 2005-2006. Les tailles des joueurs de basket-ball ont une distribution normale approximative avec une moyenne$\mu = 79$ en pouces et un écart type en$\sigma = 3.89$ pouces. Pour chacune des hauteurs suivantes, calculez le score z et interprétez-le à l'aide de phrases complètes.

77 pouces
85 pouces
Si un joueur de la NBA déclarait que sa taille avait un score Z de 3,5, le croiriez-vous ? Expliquez votre réponse.

69.

La pression artérielle systolique (exprimée en millimètres) des hommes a une distribution approximativement normale avec une moyenne$\mu = 125$ et un écart type$\sigma = 14$. La pression artérielle systolique chez les hommes suit une distribution normale.

Calculez les scores z pour les pressions sanguines systoliques masculines de 100 et 150 millimètres.
Si un de vos amis de sexe masculin disait qu'il pensait que sa tension artérielle systolique était inférieure de 2,5 écarts types à la moyenne, mais qu'il pensait que sa tension artérielle se situait entre 100 et 150 millimètres, que lui diriez-vous ?

70.

Le médecin de Kyle lui a dit que le score Z de sa tension artérielle systolique est de 1,75. Lequel des énoncés suivants est la meilleure interprétation de ce score standardisé ? La pression artérielle systolique (exprimée en millimètres) des hommes a une distribution approximativement normale avec une moyenne$\mu = 125$ et un écart type$\sigma = 14$. S'il s'agit$X =$ d'un score de pression artérielle systolique, alors$X \sim$ N (125, 14).

Quelle (s) réponse (s) est/sont correctes ?
- La pression artérielle systolique de Kyle est de 175.
- La pression artérielle systolique de Kyle est 1,75 fois supérieure à la pression artérielle moyenne des hommes de son âge.
- La pression artérielle systolique de Kyle est supérieure de 1,75 à la pression artérielle systolique moyenne des hommes de son âge.
- La pression artérielle systolique de Kyles est de 1,75 écart type au-dessus de la pression artérielle systolique moyenne chez les hommes.
Calculez la tension artérielle de Kyle.

71.

La taille et le poids sont deux mesures utilisées pour suivre le développement d'un enfant. L'Organisation mondiale de la santé mesure le développement des enfants en comparant le poids d'enfants de la même taille et du même sexe. En 2009, les poids de toutes les filles de 80 cm de la population de référence étaient exprimés en$\mu = 10.2$ kg moyen et en$\sigma = 0.8$ kg d'écart type. Les poids sont normalement répartis. $X \sim$N (10,2, 0,8). Calculez les scores z qui correspondent aux poids suivants et interprétez-les.

11 kg
7,9 kg
12,2 kg

72.

En 2005, 1 475 623 étudiants se rendant à l'université ont suivi le SAT. La distribution des scores dans la section mathématique du SAT suit une distribution normale avec moyenne$\mu = 520$ et écart-type$\sigma = 115$.

Calculez le score z pour un score SAT de 720. Interprétez-le à l'aide d'une phrase complète.
Quel score mathématique SAT est supérieur de 1,5 écart type à la moyenne ? Que pouvez-vous dire à propos de ce score SAT ?
Pour 2012, le test de mathématiques SAT avait une moyenne de 514 et un écart type de 117. Le test de mathématiques ACT est une alternative au SAT et est approximativement distribué normalement avec une moyenne de 21 et un écart type de 5,3. Si une personne a passé le test de mathématiques SAT et a obtenu 700 points et qu'une deuxième personne a passé le test de mathématiques ACT et a obtenu 30 points, qui a obtenu le meilleur résultat par rapport au test qu'elle a passé ?

6.3 Estimation du binôme avec la distribution normale

73.

Quelle est la probabilité de passer plus de deux jours en convalescence ?

0,0580
0,8447
0,0553
0,9420

Utilisez les informations suivantes pour répondre aux trois exercices suivants : Le temps nécessaire pour trouver une place de parking à 9 heures du matin suit une distribution normale avec une moyenne de cinq minutes et un écart type de deux minutes.

74.

Sur la base des informations fournies et des justifications numériques, seriez-vous surpris qu'il vous faille moins d'une minute pour trouver une place de parking ?

Oui
Non
Impossible de déterminer

75.

Déterminez la probabilité qu'il faille au moins huit minutes pour trouver une place de parking.

0,0001
0,9 270
0,1862
0,0668

76.

Soixante-dix pour cent du temps, il faut plus que combien de minutes pour trouver une place de parking ?

1,24
2,41
3,95
6,05

77.

Selon une étude réalisée par des étudiants de De Anza, la taille des hommes adultes asiatiques est normalement distribuée avec une moyenne de 66 pouces et un écart type de 2,5 pouces. Supposons qu'un homme adulte asiatique soit choisi au hasard. Laissez la$X =$ hauteur de l'individu.

$X \sim$_____ (_____, _____)
Déterminez la probabilité que la personne mesure entre 65 et 69 pouces. Incluez un croquis du graphique et rédigez une déclaration de probabilité.
Vous attendriez-vous à rencontrer de nombreux hommes adultes asiatiques de plus de 72 pouces ? Expliquez pourquoi ou pourquoi pas, et justifiez votre réponse numériquement.
Les 40 % moyens des hauteurs se situent entre quelles deux valeurs ? Esquissez le graphique et écrivez l'énoncé de probabilité.

78.

Le QI est normalement distribué avec une moyenne de 100 et un écart type de 15. Supposons qu'une personne soit choisie au hasard. Soit X = QI d'un individu.

$X \sim$_____ (_____, _____)
Déterminez la probabilité que la personne ait un QI supérieur à 120. Incluez un croquis du graphique et rédigez une déclaration de probabilité.
La MENSA est une organisation dont les membres détiennent les 2 % les plus élevés de tous les QI. Trouvez le QI minimum requis pour vous qualifier pour l'organisation MENSA. Esquissez le graphique et écrivez l'énoncé de probabilité.

79.

Le pourcentage de calories grasses qu'une personne consomme chaque jour en Amérique est normalement réparti avec une moyenne d'environ 36 et un écart type de 10. Supposons qu'une personne soit choisie au hasard. Laissez le$X =$ pourcentage de calories grasses.

$X \sim$_____ (_____, _____)
Déterminez la probabilité que le pourcentage de calories grasses consommées par une personne soit supérieur à 40. Tracez la situation. Ombre dans la zone à déterminer.
Déterminez le nombre maximum pour le quart inférieur de pourcentage de calories grasses. Esquissez le graphique et écrivez l'énoncé de probabilité.

80.

Supposons que la distance entre les balles volantes et le champ extérieur (au baseball) soit normalement répartie avec une moyenne de 250 pieds et un écart type de 50 pieds.

Si la$X =$ distance est en pieds pour une balle volante, alors$X \sim$ _____ (_____, _____)
Si une balle volante est choisie au hasard parmi cette distribution, quelle est la probabilité que cette balle ait parcouru moins de 220 pieds ? Esquissez le graphique. Redimensionnez l'axe horizontal$X$. Ombrez la région correspondant à la probabilité. Déterminez la probabilité.

81.

En Chine, les enfants de quatre ans passent en moyenne trois heures par jour sans surveillance. La plupart des enfants non surveillés vivent dans des zones rurales, considérées comme sûres. Supposons que l'écart type soit de 1,5 heure et que le temps passé seul soit normalement réparti. Nous sélectionnons au hasard un enfant chinois de quatre ans vivant dans une zone rurale. Nous nous intéressons au temps que l'enfant passe seul par jour.

Définissez la variable aléatoire en quelques mots$X$.
$X \sim$_____ (_____, _____)
Déterminez la probabilité que l'enfant passe moins d'une heure par jour sans surveillance. Esquissez le graphique et écrivez l'énoncé de probabilité.
Quel pourcentage des enfants passent plus de dix heures par jour sans surveillance ?
Soixante-dix pour cent des enfants passent au moins combien de temps par jour sans surveillance ?

82.

Lors de l'élection présidentielle de 1992, les 40 districts électoraux de l'Alaska ont obtenu en moyenne 1 956,8 voix par district pour le président Clinton. L'écart type était de 572,3. (Il n'y a que 40 circonscriptions électorales en Alaska.) La répartition des voix par district pour le président Clinton était en forme de cloche. Soit$X =$ le nombre de voix pour le président Clinton pour une circonscription électorale.

Indiquez la distribution approximative de$X$.
Est-ce que 1 956,8 est une moyenne de population ou une moyenne d'échantillon ? Comment le sais-tu ?
Déterminez la probabilité qu'un district sélectionné au hasard ait obtenu moins de 1 600 voix pour le président Clinton. Esquissez le graphique et écrivez l'énoncé de probabilité.
Déterminez la probabilité qu'un district sélectionné au hasard ait obtenu entre 1 800 et 2 000 voix pour le président Clinton.
Trouvez le troisième quartile pour les votes pour le président Clinton.

83.

Supposons que l'on sache que la durée d'un type particulier de procès pénal est normalement répartie avec une moyenne de 21 jours et un écart-type de sept jours.

Définissez la variable aléatoire en quelques mots$X$.
$X \sim$_____ (_____, _____)
Si l'un des essais est choisi au hasard, déterminez la probabilité qu'il ait duré au moins 24 jours. Esquissez le graphique et écrivez l'énoncé de probabilité.
Soixante pour cent de tous les essais de ce type sont-ils terminés en combien de jours ?

84.

Terri Vogel, une pilote de moto amateur, affiche une moyenne de 129,71 secondes par tour de 2,5 miles (sur une course de sept tours) avec un écart type de 2,28 secondes. La distribution de ses temps de course est normalement distribuée. Nous sommes intéressés par l'un de ses tours sélectionnés au hasard.

En termes, définissez la variable aléatoire$X.$
$X \sim$_____ (_____, _____)
Déterminez le pourcentage de ses tours terminés en moins de 130 secondes.
Les 3 % de ses tours les plus rapides se situent sous _____.
Les 80 % intermédiaires de ses tours vont de _______ secondes à _______ secondes.

85.

Thuy Dau, Ngoc Bui, Sam Su et Lan Voung ont mené une enquête sur le temps que les clients de Lucky ont déclaré attendre à la caisse jusqu'à leur tour. Laissez$X =$ le temps s'écouler. Le tableau$\PageIndex{1}$ affiche les données réelles ordonnées (en minutes) :

\ (\ PageIndex {1} \) « >

Tableau$\PageIndex{1}$
0,50	4,25	5	6	7,25
1,75	4,25	5,25	6	7,25
2	4,25	5,25	6,25	7,25
2,25	4,25	5.5	6,25	7,75
2,25	4,5	5.5	6,5	8
2,5	4,75	5.5	6,5	8,25
2,75	4,75	5,75	6,5	9.5
3,25	4,75	5,75	6,75	9.5
3,75	5	6	6,75	9,75
3,75	5	6	6,75	10,75

Calculez la moyenne de l'échantillon et l'écart type de l'échantillon.
Construisez un histogramme.
Tracez une courbe lisse à travers les points médians du haut des barres.
Décrivez avec des mots la forme de votre histogramme et de votre courbe lisse.
Supposons que la moyenne de l'échantillon soit environ μ et que l'écart type de l'échantillon soit approximatif \ sigma. La distribution de X peut alors être approximée par$X \sim$ _____ (_____, _____)
Utilisez la distribution de la partie e pour calculer la probabilité qu'une personne attende moins de 6,1 minutes.
Déterminez la fréquence relative cumulée d'attente de moins de 6,1 minutes.
Pourquoi les réponses à la partie 6 et à la partie 7 ne sont-elles pas exactement les mêmes ?
Pourquoi les réponses à la partie 6 et à la partie 7 sont-elles aussi proches qu'elles le sont ?
Si seulement dix clients avaient été interrogés au lieu de 50, pensez-vous que les réponses à la partie f et à la partie g auraient été plus rapprochées ou plus éloignées ? Expliquez votre conclusion.

86.

Supposons que Ricardo et Anita fréquentent des universités différentes. Le GPA de Ricardo est le même que le GPA moyen de son école. Le GPA d'Anita est de 0,70 écart type supérieur à la moyenne de son école. En phrases complètes, expliquez pourquoi chacune des affirmations suivantes peut être fausse.

Le GPA réel de Ricardo est inférieur au GPA réel d'Anita.
Ricardo ne passe pas parce que son score Z est nul.
Anita se situe dans$70^{\text{th}}$ le centile des étudiants de son collège.

87.

Un témoin expert dans le cadre d'une action en paternité affirme que la durée d'une grossesse est normalement répartie avec une moyenne de 280 jours et un écart-type de 13 jours. Un père présumé était à l'extérieur du pays entre 240 et 306 jours avant la naissance de l'enfant, de sorte que la grossesse aurait duré moins de 240 jours ou plus de 306 jours s'il était le père. L'accouchement s'est déroulé sans complications et l'enfant n'a eu besoin d'aucune intervention médicale. Quelle est la probabilité qu'il ne soit PAS le père ? Quelle est la probabilité qu'il soit le père ? Calculez d'abord les scores z, puis utilisez-les pour calculer la probabilité.

88.

Une chaîne de montage NUMMI, qui fonctionne depuis 1984, a construit en moyenne 6 000 voitures et camions par semaine. En général, 10 % des voitures étaient défectueuses à la sortie de la chaîne de montage. Supposons que nous tirions un échantillon aléatoire de$n = 100$ voitures. $X$Représentez le nombre de voitures défectueuses dans l'échantillon. Que pouvons-nous dire$X$ à propos de la règle empirique 68-95-99,7 (un écart type, deux écarts types et trois écarts types par rapport à la moyenne sont mentionnés) ? Supposons que la distribution des voitures défectueuses de l'échantillon soit normale.

89.

On lance une pièce 100 fois ($n = 100$) et on constate qu'elle ne sort que 20 % du temps.$p = 0.20$ La moyenne et l'écart type du nombre de fois que la pièce atterrit sur des têtes sont$\mu = 20$ et$\sigma = 4$ (vérifiez la moyenne et l'écart type). Résolvez les problèmes suivants :

Il y a environ 68 % de chances que le nombre de têtes se situe entre ___ et ___.
Il y a environ ____chances que le nombre de têtes se situe entre 12 et 28.
Il y a environ ____ chances que le nombre de têtes se situe entre huit et 32.

90.

Un billet de loto à gratter de 1$ sera gagnant une fois sur cinq. À partir d'une expédition de billets de$n = 190$ loto, déterminez la probabilité qu'il y ait des billets de loto

entre 34 et 54 prix.
entre 54 et 64 prix.
plus de 64 prix.

91.

Facebook fournit diverses statistiques sur son site Web qui détaillent la croissance et la popularité du site.

En moyenne, 28 % des jeunes de 18 à 34 ans consultent leur profil Facebook avant de se lever le matin. Supposons que ce pourcentage suive une distribution normale avec un écart type de 5 %.

92.

Un hôpital enregistre 49 accouchements par an. Il est considéré comme tout aussi probable qu'une naissance soit un garçon que la naissance soit une fille.

Quel est le moyen ?
Qu'est-ce que l'écart type ?
Cette distribution binomiale peut-elle être approximée avec une distribution normale ?
Dans l'affirmative, utilisez la distribution normale pour déterminer la probabilité qu'au moins 23 des 49 naissances soient des garçons.

93.

Historiquement, un examen final d'un cours est réussi avec une probabilité de 0,9. L'examen est donné à un groupe de 70 étudiants.

Quelle est la moyenne de la distribution binomiale ?
Qu'est-ce que l'écart type ?
Cette distribution binomiale peut-elle être approximative avec une distribution normale ?
Si c'est le cas, utiliser la distribution normale pour déterminer la probabilité qu'au moins 60 des étudiants réussissent l'examen ?

94.

Un arbre dans un verger contient 200 oranges. Parmi les oranges, 40 ne sont pas mûres. Utilisez la distribution normale pour approximer la distribution binomiale et déterminez la probabilité qu'une boîte contenant 35 oranges contienne au plus deux oranges qui ne sont pas mûres.

95.

Dans une grande ville, une bouche d'incendie sur dix a besoin d'être réparée. Si une équipe examine 100 bouches d'incendie par semaine, quelle est la probabilité qu'elle trouve neuf bouches d'incendie ou moins à réparer ? Utilisez la distribution normale pour approximer la distribution binomiale.

96.

Sur une chaîne de montage, il est déterminé que 85 % des produits assemblés ne présentent aucun défaut. Si 50 articles sont assemblés un jour, quelle est la probabilité qu'au moins 4 et pas plus de 8 soient défectueux ? Utilisez la distribution normale pour approximer la distribution binomiale.