15.6 : Calcul des centres de masse et des moments d'inertie

Objectifs d'apprentissage

• Utilisez des intégrales doubles pour localiser le centre de gravité d'un objet bidimensionnel.
• Utilisez des intégrales doubles pour déterminer le moment d'inertie d'un objet bidimensionnel.
• Utilisez des intégrales triples pour localiser le centre de gravité d'un objet tridimensionnel.

Nous avons déjà discuté de quelques applications de plusieurs intégrales, telles que la recherche de zones, de volumes et de la valeur moyenne d'une fonction sur une région délimitée. Dans cette section, nous développons des techniques informatiques pour déterminer le centre de masse et les moments d'inertie de plusieurs types d'objets physiques, en utilisant des intégrales doubles pour une lame (plaque plate) et des intégrales triples pour un objet tridimensionnel à densité variable. La densité est généralement considérée comme un nombre constant lorsque la lame ou l'objet est homogène, c'est-à-dire que l'objet a une densité uniforme.

Centre de gravité en deux dimensions

Le centre de gravité est également appelé centre de gravité si l'objet se trouve dans un champ gravitationnel uniforme. Si l'objet a une densité uniforme, le centre de gravité est le centre géométrique de l'objet, appelé centroïde. La figure\(\PageIndex{1}\) montre un point\(P\) comme centre de masse d'une lamelle. La lame est parfaitement équilibrée autour de son centre de masse.

Figure\(\PageIndex{1}\) : Une lame est parfaitement équilibrée sur une broche si le centre de gravité de la lame repose sur la broche.

Pour trouver les coordonnées du centre de masse\(P(\bar{x},\bar{y})\) d'une lame, nous devons déterminer le moment\(M_x\) de la lame autour de l'\(x\)axe -et le moment\(M_y\) autour de l'\(y\)axe. Nous devons également trouver la masse\(m\) de la lame. Alors

\[\bar{x} = \dfrac{M_y}{m} \nonumber \]

et

\[\bar{y} = \dfrac{M_x}{m}. \nonumber \]

Reportez-vous à Moments et centres de masse pour les définitions et les méthodes d'intégration unique permettant de déterminer le centre de masse d'un objet unidimensionnel (par exemple, une fine tige). Nous allons utiliser une idée similaire ici, sauf que l'objet est une lame bidimensionnelle et que nous utilisons une double intégrale.

Si nous autorisons une fonction de densité constante, alors\(\bar{x} = \dfrac{M_y}{m}\) et\(\bar{y} = \dfrac{M_x}{m}\) donnons le centroïde de la lame.

Supposons que la lame occupe une région\(R\) dans le\(xy\) plan et\(\rho (x,y)\) soit sa densité (en unités de masse par unité de surface) en tout point\((x,y)\). Par conséquent,

\[\rho(x,y) = \lim_{\Delta A \rightarrow 0} \dfrac{\Delta m}{\Delta A} \nonumber \]

où\(\Delta m\) et\(\Delta A\) sont la masse et l'aire d'un petit rectangle contenant le point\((x,y)\) et la limite sont prises comme les dimensions du rectangle\(0\) (voir la figure suivante).

Figure\(\PageIndex{2}\) : La densité d'une lamelle en un point est la limite de sa masse par surface dans un petit rectangle autour du point lorsque l'aire passe à zéro.

Comme auparavant, nous divisons la région\(R\) en petits rectangles\(R_{ij}\) avec une surface\(\Delta A\) et les choisissons\((x_{ij}^*, y_{ij}^*)\) comme points d'échantillonnage. La masse\(m_{ij}\) de chacun\(R_{ij}\) est alors égale à\(\rho (x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A\) (Figure\(\PageIndex{2}\)). \(l\)Soit\(k\) le nombre de sous-intervalles dans\(x\) et\(y\) respectivement. Notez également que la forme n'est pas toujours rectangulaire, mais que la limite fonctionne quand même, comme indiqué dans les sections précédentes.

Figure\(\PageIndex{3}\) : Division de la lame en petits rectangles contenant\(R_{ij}\) chacun un point d'échantillonnage\((x_{ij}^*,y_{ij}^*)\).

Par conséquent, la masse de la lame est

\[m =\lim_{k,l \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l m_{ij} = \lim_{k,l \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l \rho(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A = \iint_R \rho(x,y) dA. \nonumber \]

Voyons maintenant un exemple de détermination de la masse totale d'une lame triangulaire.

Exemple\(\PageIndex{1}\): Finding the Total Mass of a Lamina

Prenons l'exemple d'une lame triangulaire\(R\) avec des sommets\((0,0), \, (0,3), \, (3,0)\) et une densité\(\rho(x,y) = xy \, kg/m^2\). Détermine la masse totale.

Solution

Un croquis de la région\(R\) est toujours utile, comme le montre la figure suivante.

Figure\(\PageIndex{4}\) : Une lamelle dans le\(xy\) plan avec densité\(\rho (x,y) = xy\).

En utilisant l'expression développée pour la masse, nous voyons que

\[m = \iint_R \, dm = \iint_R \rho (x,y) dA = \int_{x=0}^{x=3} \int_{y=0}^{y=3-x} xy \, dy \, dx = \int_{x=0}^{x=3} \left[ \left. x \dfrac{y^2}{2} \right|_{y=0}^{y=3} \right] \, dx = \int_{x=0}^{x=3} \dfrac{1}{2} x (3 - x)^2 dx = \left.\left[ \dfrac{9x^2}{4} - x^3 + \dfrac{x^4}{8} \right]\right|_{x=0}^{x=3} = \dfrac{27}{8}. \nonumber \]

Le calcul est simple et donne la réponse\(m = \dfrac{27}{8} \, kg\).

Exercice\(\PageIndex{1}\)

Considérez la même région\(R\) que dans l'exemple précédent et utilisez la fonction de densité\(\rho (x,y) = \sqrt{xy}\). Détermine la masse totale.

Réponse

\(\dfrac{9\pi}{8} \, kg\)

Maintenant que nous avons défini l'expression pour la masse, nous disposons des outils nécessaires pour calculer les moments et les centres de masse. Le moment\(M_z\) autour de l'\(x\)axe -pour\(R\) est la limite des sommes des moments des régions\(R_{ij}\) autour de l'\(x\)axe. D'où

\[M_x = \lim_{k,l \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l (y_{ij}^*)m_{ij} = \lim_{k,l \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l (y_{ij}^*) \rho(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \,\Delta A = \iint_R y\rho (x,y) \,dA \nonumber \]

De même, le moment\(M_y\) autour de\(y\) l'axe -pour\(R\) est la limite des sommes des moments des régions\(R_{ij}\) autour de l'\(y\)axe. D'où

\[M_y = \lim_{k,l \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l (x_{ij}^*)m_{ij} = \lim_{k,l \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l (x_{ij}^*) \rho(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \,\Delta A = \iint_R x\rho (x,y) \,dA \nonumber \]

Exemple\(\PageIndex{2}\): Finding Moments

Considérez la même lame triangulaire\(R\) avec des sommets\((0,0), \, (0,3), \, (3,0)\) et une densité\(\rho (x,y) = xy\). Trouvez les moments\(M_x\) et\(M_y\).

Solution

Utilisez des intégrales doubles pour chaque moment et calculez leurs valeurs :

\[M_x = \iint_R y\rho (x,y) \,dA = \int_{x=0}^{x=3} \int_{y=0}^{y=3-x} x y^2 \, dy \, dx = \dfrac{81}{20}, \nonumber \]

\[M_y = \iint_R x\rho (x,y) \,dA = \int_{x=0}^{x=3} \int_{y=0}^{y=3-x} x^2 y \, dy \, dx = \dfrac{81}{20}, \nonumber \]

Le calcul est assez simple.

Exercice\(\PageIndex{2}\)

Considérez la même lamelle\(R\) que ci-dessus et utilisez la fonction de densité\(\rho (x,y) = \sqrt{xy}\). Trouvez les moments\(M_x\) et\(M_y\).

Réponse

\(M_x = \dfrac{81\pi}{64}\)et\(M_y = \dfrac{81\pi}{64}\)

Enfin, nous sommes prêts à reformuler les expressions du centre de masse en termes d'intégrales. Nous désignons la coordonnée x du centre de masse par\(\bar{x}\) et la coordonnée y par\(\bar{y}\). Plus précisément,

\[\bar{x} = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{\iint_R x\rho (x,y) \,dA}{\iint_R \rho (x,y)\,dA} \nonumber \]

et

\[\bar{y} = \dfrac{M_x}{m} = \dfrac{\iint_R y\rho (x,y) \,dA}{\iint_R \rho (x,y)\,dA} \nonumber \]

Exemple\(\PageIndex{3}\): center of mass

Considérez à nouveau la même région triangulaire\(R\) avec des sommets\((0,0), \, (0,3), \, (3,0)\) et une fonction de densité\(\rho (x,y) = xy\). Trouvez le centre de gravité.

Solution

En utilisant les formules que nous avons développées, nous avons

\[\bar{x} = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{\iint_R x\rho (x,y) \,dA}{\iint_R \rho (x,y)\,dA} = \dfrac{81/20}{27/8} = \dfrac{6}{5}, \nonumber \]

\[\bar{y} = \dfrac{M_x}{m} = \dfrac{\iint_R y\rho (x,y) \,dA}{\iint_R \rho (x,y)\,dA} = \dfrac{81/20}{27/8} = \dfrac{6}{5}. \nonumber \]

Par conséquent, le centre de gravité est le point\(\left(\dfrac{6}{5},\dfrac{6}{5}\right).\)

Analyse

Si nous choisissons\(\rho(x,y)\) plutôt que la densité soit uniforme dans toute la région (c'est-à-dire constante), comme la valeur 1 (n'importe quelle constante fera l'affaire), alors nous pouvons calculer le centroïde,

\[x_c = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{\iint_R x \, dA}{\iint_R \,dA} = \dfrac{9/2}{9/2} = 1, \nonumber \]

\[y_c = \dfrac{M_x}{m} = \dfrac{\iint_R y \, dA}{\iint_R \,dA} = \dfrac{9/2}{9/2} = 1. \nonumber \]

Notez que le centre de gravité n'\(\left(\dfrac{6}{5},\dfrac{6}{5}\right)\)est pas exactement le même que le centroïde\((1,1)\) de la région triangulaire. Cela est dû à la densité variable de\(R\) Si la densité est constante, nous utilisons simplement\(\rho(x,y) = c\) (constante). Cette valeur s'annule par rapport aux formules, donc pour une densité constante, le centre de masse coïncide avec le centroïde de la lame.

Exercice\(\PageIndex{3}\)

Utilisez à nouveau la même région\(R\) que ci-dessus et utilisez la fonction de densité\(\rho (x,y) = \sqrt{xy}\). Trouvez le centre de gravité.

Réponse

\(\bar{x} = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{81\pi/64}{9\pi/8} = \dfrac{9}{8}\)et\(\bar{y} = \dfrac{M_x}{m} = \dfrac{81\pi}{9\pi/8} = \dfrac{0}{8}\).

Encore une fois, sur la base des commentaires à la fin de l'exemple \(\PageIndex{3}\), nous avons des expressions pour le centroïde d'une région du plan :

\[x_c = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{\iint_R x \, dA}{\iint_R \,dA} \, \text{and} \, y_c = \dfrac{M_x}{m} = \dfrac{\iint_R y \, dA}{\iint_R \,dA}. \nonumber \]

Nous devons utiliser ces formules et vérifier le centroïde de la région triangulaire RR" role="presentation" style="position:relative;" tabindex="0">R mentionnée dans les trois derniers exemples.

Exemple\(\PageIndex{4}\): Finding Mass, Moments, and Center of Mass

Déterminez la masse, les moments et le centre de masse de la lame de densité\(\rho(x,y) = x + y\) occupant la région\(R\) située sous la courbe\(y = x^2\) dans l'intervalle\(0 \leq x \leq 2\) (voir la figure suivante).

Figure\(\PageIndex{5}\) : Localisation du centre de masse d'une lame en fonction\(R\) de la densité\(\rho(x,y) = x+y\).

Solution

Nous calculons d'abord la masse\(m\). Nous devons décrire la région située entre le graphique\(y = x^2\) et les lignes verticales\(x = 0\) et\(x = 2\) :

\[m = \iint_R \,dm = \iint_R \rho (x,y) \,dA = \int_{x=0}{x=2} \int_{y=0}^{y=x^2} (x + y) dy \, dx = \int_{x=0}^{x=2} \left[\left. xy + \dfrac{y^2}{2}\right|_{y=0}^{y=x^2} \right] \,dx \nonumber \]

\[= \int_{x=0}^{x=2} \left[ x^3 + \dfrac{x^4}{2} \right] dx = \left.\left[ \dfrac{x^4}{4} + \dfrac{x^5}{10}\right] \right|_{x=0}^{x=2} = \dfrac{36}{5}. \nonumber \]

Calculez maintenant les moments\(M_x\) et\(M_y\) :

\[M_x = \iint_R y \rho (x,y) \,dA = \int_{x=0}^{x=2} \int_{y=0}^{y=x^2} y(x + y) \,dy \, dx = \dfrac{80}{7}, \nonumber \]

\[M_y = \iint_R x \rho (x,y) \,dA = \int_{x=0}^{x=2} \int_{y=0}^{y=x^2} x(x + y) \,dy \, dx = \dfrac{176}{15}. \nonumber \]

Enfin, évaluez le centre de gravité,

\[\bar{x} = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{\iint_R x \rho (x,y) \,dA}{\iint_R \rho (x,y)\,dA} = \dfrac{176/15}{36/5} = \dfrac{44}{27}, \nonumber \]

\[\bar{y} = \dfrac{M_x}{m} = \dfrac{\iint_R y \rho (x,y) \,dA}{\iint_R \rho (x,y)\,dA} = \dfrac{80/7}{36/5} = \dfrac{100}{63}. \nonumber \]

Le centre de gravité est donc\((\bar{x},\bar{y}) = \left(\dfrac{44}{27}, \dfrac{100}{63} \right)\).

Exercice\(\PageIndex{4}\)

Calculez la masse, les moments et le centre de masse de la région située entre les courbes\(y = x\) et\(y = x^2\) avec la fonction de densité\(\rho(x,y) = x\) dans l'intervalle\(0 \leq x \leq 1\).

Réponse

\(\bar{x} = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{1/20}{1/12} = \dfrac{3}{5}\)et\(\bar{y} = \dfrac{M_x}{m} = \dfrac{1/24}{1/12} = \dfrac{1}{2}\)

Exemple\(\PageIndex{5}\): Finding a Centroid

Déterminez le centroïde de la région située sous la courbe\(y = e^x\) sur l'intervalle\(1 \leq x \leq 3\) (Figure\(\PageIndex{6}\)).

Figure\(\PageIndex{6}\) : Déterminer le centroïde d'une région située sous la courbe\(y = e^x\).

Solution

Pour calculer le centroïde, nous supposons que la fonction de densité est constante et qu'elle annule donc :

\[x_c = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{\iint_R x \, dA}{\iint_R dA} \, and \, y_c = \dfrac{M_x}{m} = \dfrac{\iint_R y \, dA}{\iint_R dA}, \nonumber \]

\[x_c = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{\iint_R x \, dA}{\iint_R dA} = \dfrac{\int_{x=1}^{x=3} \int_{y=0}^{y=e^x} x \, dy \, dx}{\int_{x=1}^{x=3} \int_{y=0}^{y=e^x} \,dy \, dx} = \dfrac{\int_{x=1}^{x=3} xe^x dx}{\int_{x=1}^{x=3} e^x dx} = \dfrac{2e^3}{e^3 - e} = \dfrac{2e^2}{e^2 - 1}, \nonumber \]

\[y_c = \dfrac{M_x}{m} = \dfrac{\iint_R y \, dA}{\iint_R dA} = \dfrac{\int_{x=1}^{x=3} \int_{y=0}^{y=e^x} y \, dy \, dx}{\int_{x=1}^{x=3} \int_{y=0}^{y=e^x} \,dy \, dx} = \dfrac{\int_{x=1}^{x=3} \dfrac{e^{2x}}{2} dx}{\int_{x=1}^{x=3} e^x dx} =\dfrac{\dfrac{1}{4} e^2 (e^4 - 1)}{e(e^2 - 1)} = \dfrac{1}{4} e(e^2 + 1). \nonumber \]

Ainsi, le centroïde de la région est

\[(x_c,y_c) = \left( \dfrac{2e^2}{e^2 - 1}, \dfrac{1}{4} e(e^2 + 1)\right). \nonumber \]

Exercice\(\PageIndex{5}\)

Calculez le centroïde de la région située entre les courbes\(y = x\) et\(y = \sqrt{x}\) avec une densité uniforme dans l'intervalle\(0 \leq x \leq 1\).

Réponse

\(x_c = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{1/15}{1/6} = \dfrac{2}{5}\)et\( y_c = \dfrac{M_x}{m} = \dfrac{1/12}{1/6} = \dfrac{1}{2}\)

Moments d'inertie

Pour bien comprendre comment calculer les moments d'inertie à l'aide d'intégrales doubles, nous devons revenir à la définition générale de la section\(6.6\). Le moment d'inertie d'une particule de masse\(m\) autour d'un axe\(mr^2\)\(r\) correspond à la distance entre la particule et l'axe. Nous pouvons voir sur la figure\(\PageIndex{3}\) que le moment d'inertie du sous-rectangle\(R_{ij}\) autour de l'\(x\)axe -est\((y_{ij}^*)^2 \rho(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A\). De même, le moment d'inertie du sous-rectangle\(R_{ij}\) autour de l'\(y\)axe -est\((x_{ij}^*)^2 \rho(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A\). Le moment d'inertie est lié à la rotation de la masse ; plus précisément, il mesure la tendance de la masse à résister à un changement de mouvement de rotation autour d'un axe.

Le moment d'inertie\(I_x\) autour de l'\(x\)axe -de la région\(R\) est la limite de la somme des moments d'inertie des régions\(R_{ij}\) autour de l'\(x\)axe. D'où

\[I_x = \lim_{k,l\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l (y_{ij}^*)^2 m_{ij} = \lim_{k,l\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l (y_{ij}^*)^2 \rho (x_{ij}^*, y_{ij}^*) \,\Delta A = \iint_R y^2 \rho(x,y)\,dA. \nonumber \]

De même, le moment d'inertie\(I_y\) autour de\(y\) l'axe -pour\(R\) est la limite de la somme des moments d'inertie des régions\(R_{ij}\) autour de l'\(y\)axe. D'où

\[I_y = \lim_{k,l\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l (x_{ij}^*)^2 m_{ij} = \lim_{k,l\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l (x_{ij}^*)^2 \rho (x_{ij}^*, y_{ij}^*) \,\Delta A = \iint_R x^2 \rho(x,y)\,dA. \nonumber \]

Parfois, nous avons besoin de déterminer le moment d'inertie d'un objet par rapport à son origine, connu sous le nom de moment d'inertie polaire. Nous l'indiquons par\(I_0\) et l'obtenons en ajoutant les moments d'inertie\(I_x\) et\(I_y\). D'où

\[I_0 = I_x + I_y = \iint_R (x^2 + y^2) \rho (x,y) \,dA. \nonumber \]

Toutes ces expressions peuvent être écrites en coordonnées polaires en les remplaçant\(x = r \, \cos \, \theta, \, y = r \, \sin \, \theta\) par et\(dA = r \, dr \, d\theta\). Par exemple,\(I_0 = \iint_R r^2 \rho (r \, \cos \, \theta, \, r \, \sin \, \theta)\,dA\).

Exemple\(\PageIndex{6}\): Finding Moments of Inertia for a Triangular Lamina

Utilisez la région triangulaire\(R\) avec des sommets\((0,0), \, (2,2)\)\((2,0)\) et une densité\(\rho (x,y) = xy\) comme dans les exemples précédents. Trouvez les moments d'inertie.

Solution

En utilisant les expressions établies ci-dessus pour les moments d'inertie, nous avons

\[I_x = \iint_R y^2 \rho(x,y) \,dA = \int_{x=0}^{x=2} \int_{y=0}^{y=x} xy^3 \,dy \, dx = \dfrac{8}{3}, \nonumber \]

\[I_y = \iint_R x^2 \rho(x,y) \,dA = \int_{x=0}^{x=2} \int_{y=0}^{y=x} x^3y \,dy \, dx = \dfrac{16}{3}, \nonumber \]

\[I_0 = \iint_R (x^2 + y^2) \rho(x,y) \,dA = \int_0^2 \int_0^x (x^2 + y^2) xy \, dy \, dx = I_x + I_y = 8 \nonumber \]

Exercice\(\PageIndex{6}\)

Utilisez à nouveau la même région\(R\) que ci-dessus et la fonction de densité\(\rho (x,y) = \sqrt{xy}\). Trouvez les moments d'inertie.

Réponse

\[I_x = \int_{x=0}^{x=2} \int_{y=0}^{y=x} y^2 \sqrt{xy} \, dy \, dx = \dfrac{64}{35} \nonumber \]et

\[I_y = \int_{x=0}^{x=2} \int_{y=0}^{y=x} x^2 \sqrt{xy} \, dy \, dx = \dfrac{64}{35}. \nonumber \]Également,

\[I_0 = \int_{x=0}^{x=2} \int_{y=0}^{y=x} (x^2 + y^2) \sqrt{xy} \, dy \, dx = \dfrac{128}{21} \nonumber \]

Comme mentionné précédemment, le moment d'inertie d'une particule de masse\(m\) autour d'un\(mr^2\) axe\(r\) correspond à la distance entre la particule et l'axe, également appelée rayon de giration.

Les rayons de giration par rapport à l'\(x\)axe -, à l'\(y\)axe -et à l'origine sont donc

\[R_x = \sqrt{\dfrac{I_x}{m}}, \, R_y = \sqrt{\dfrac{I_y}{m}}, \, and \, R_0 = \sqrt{\dfrac{I_0}{m}}, \nonumber \]

respectivement. Dans chaque cas, le rayon de giration nous indique à quelle distance (distance perpendiculaire) de l'axe de rotation la masse totale d'un objet peut être concentrée. Les moments d'un objet sont utiles pour trouver des informations sur l'équilibre et le couple de l'objet autour d'un axe, mais les rayons de giration sont utilisés pour décrire la distribution de la masse autour de son axe centroïdal. Il existe de nombreuses applications en ingénierie et en physique. Parfois, il est nécessaire de trouver le rayon de giration, comme dans l'exemple suivant.

Exemple\(\PageIndex{7}\): Finding the Radius of Gyration for a Triangular Lamina

Considérez la même lame triangulaire\(R\) avec des sommets\((0,0), \, (2,2)\)\((2,0)\) et une densité\(\rho(x,y) = xy\) comme dans les exemples précédents. Détermine les rayons de giration par rapport à l'\(x\)axe -, à l'\(y\)axe -et à l'origine.

Solution

Si nous calculons la masse de cette région, nous trouvons cela\(m = 2\). Nous avons trouvé les moments d'inertie de cette lame dans Example\(\PageIndex{4}\). À partir de ces données, les rayons de giration par rapport à l'\(x\)axe -, à l'\(y\)axe -et à l'origine sont, respectivement,

\[\begin{align} R_x = \sqrt{\dfrac{I_x}{m}} = \sqrt{\dfrac{8/3}{2}} = \sqrt{\dfrac{8}{6}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3},\\R_y = \sqrt{\dfrac{I_y}{m}} = \sqrt{\dfrac{16/3}{2}} = \sqrt{\dfrac{8}{3}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}, \\R_0 = \sqrt{\dfrac{I_0}{m}} = \sqrt{\dfrac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2.\end{align} \nonumber \]

Exercice\(\PageIndex{7}\)

Utilisez la même région que celle\(R\) de l'exemple\(\PageIndex{7}\) et de la fonction de densité\(\rho (x,y) = \sqrt{xy}\). Déterminez les rayons de giration par rapport à l'\(x\)axe -, à l'\(y\)axe -et à l'origine.

Allusion

Suivez les étapes indiquées dans l'exemple précédent.

Réponse

\(R_x = \dfrac{6\sqrt{35}}{35}, \, R_y = \dfrac{6\sqrt{15}}{15},\)et\(R_0 = \dfrac{4\sqrt{42}}{7}\).

Centre de masse et moments d'inertie en trois dimensions

Toutes les expressions des intégrales doubles discutées jusqu'à présent peuvent être modifiées pour devenir des intégrales triples.

Définition

Si nous avons un objet solide\(Q\) avec une fonction de densité\(\rho(x,y,z)\) à n'importe quel point\((x,y,z)\) de l'espace, sa masse est

\[m = \iiint_Q \rho(x,y,z) \,dV. \nonumber \]

Ses moments concernant le\(xy\) -plane, le\(xz\) -plane et le\(yz\) -plane sont

\[M_{xy} = \iiint_Q z\rho (x,y,z) \,dV, \, M_{xz} = \iiint_Q y\rho(x,y,z) \,dV, \, M_{yz} = \iiint_Q x\rho(x,y,z) \,dV. \nonumber \]

Si le centre de gravité de l'objet est le point\((\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})\), alors

\[\bar{x} = \dfrac{M_{yz}}{m}, \, \bar{y} = \dfrac{M_{xz}}{m}, \, \bar{z} = \dfrac{M_{xy}}{m}. \nonumber \]

De plus, si l'objet solide est homogène (avec une densité constante), le centre de masse devient le centroïde du solide. Enfin, les moments d'inertie autour du\(yz\) plan, du\(xz\) plan et du\(xy\) plan sont

\[I_x = \iiint_Q (y^2 + z^2) \, \rho (x,y,z) \, dV, \nonumber \]

\[I_y = \iiint_Q (x^2 + z^2) \, \rho (x,y,z) \, dV, \nonumber \]

\[I_z = \iiint_Q (x^2 + y^2) \, \rho (x,y,z) \, dV. \nonumber \]

Exemple\(\PageIndex{8}\): Finding the Mass of a Solid

Supposons qu'\(Q\)il s'agisse d'une région solide délimitée par\(x + 2y + 3z = 6\) les plans de coordonnées et possédant une densité\(\rho (x,y,z) = x^2 yz\). Détermine la masse totale.

Solution

La région\(Q\) est un tétraèdre (Figure\(\PageIndex{7}\)) rencontrant les axes aux points\((6,0,0), \, (0,3,0),\) et\((0,0,2)\). Pour trouver les limites de l'intégration, laissez\(z = 0\) entrer le plan incliné\(z = \dfrac{1}{3} (6 - x - 2y)\). Ensuite, recherchez\(x\) et\(y\) trouvez la\(Q\) projection de sur le\(xy\) plan, qui est délimité par les axes et la ligne\(x + 2y = 6\). Par conséquent, la masse est

\[m = \iiint_Q \rho (x,y,z) \,dV = \int_{x=0}^{x=6} \int_{y=0}^{y=1/2(6-x)} \int_{z=0}^{z=1/3(6-x-2y)} x^2 yz \, dz \, dy \, dx = \dfrac{108}{35} \nonumber \]

Figure\(\PageIndex{7}\) : Déterminer la masse d'un solide tridimensionnel\(Q\).

Exercice\(\PageIndex{8}\)

Considérez la même région\(Q\) (Figure\(\PageIndex{7}\)) et utilisez la fonction de densité\(\rho (x,y,z) = xy^2z\). Trouvez la masse.

Allusion

Suivez les étapes de l'exemple précédent.

Réponse

\(\dfrac{54}{35} = 1.543\)

Exemple\(\PageIndex{9}\): Finding the Center of Mass of a Solid

Supposons qu'\(Q\)il s'agisse d'une région solide délimitée par le plan\(x + 2y + 3z = 6\) et les plans de coordonnées avec densité\(\rho (x,y,z) = x^2yz\) (voir Figure\(\PageIndex{7}\)). Trouvez le centre de gravité à l'aide d'une approximation décimale.

Solution

Nous avons déjà utilisé ce tétraèdre et connaissons les limites de l'intégration, ce qui nous permet de procéder aux calculs immédiatement. Tout d'abord, nous devons trouver les moments concernant le\(xy\) -plane, le\(xz\) -plane et le\(yz\) -plane :

\[M_{xy} = \iiint_Q z\rho (x,y,z) \,dV = \int_{x=0}^{x=6} \int_{y=0}^{y=\frac{1}{2}(6-x)} \int_{z=0}^{z=\frac{1}{3}(6-x-2y)} x^2 yz^2 \,dz \, dy \, dx = \dfrac{54}{35} \approx 1.543, \nonumber \]

\[M_{xz} = \iiint_Q y\rho (x,y,z) \,dV = \int_{x=0}^{x=6} \int_{y=0}^{y=\frac{1}{2}(6-x)} \int_{z=0}^{z=\frac{1}{3}(6-x-2y)} x^2 y^2z \, dz \, dy \, dx = \dfrac{81}{35} \approx 2.314, \nonumber \]

\[M_{yz} = \iiint_Q x\rho (x,y,z) \,dV = \int_{x=0}^{x=6} \int_{y=0}^{y=\frac{1}{2}(6-x)} \int_{z=0}^{z=\frac{1}{3}(6-x-2y)} x^3 yz \, dz \, dy \, dx = \dfrac{243}{35} \approx 6.943. \nonumber \]

Par conséquent, le centre de gravité est

\[\bar{x} = \dfrac{M_{yz}}{m}, \, \bar{y} = \dfrac{M_{xz}}{m}, \, \bar{z} = \dfrac{M_{xy}}{m}, \nonumber \]

\[\bar{x} = \dfrac{M_{yz}}{m} = \dfrac{243/35}{108/35} = \dfrac{243}{108} = 2.25, \nonumber \]

\[\bar{y} = \dfrac{M_{xz}}{m} = \dfrac{81/35}{108/35} = \dfrac{81}{108} = 0.75, \nonumber \]

\[\bar{z} = \dfrac{M_{xy}}{m} = \dfrac{54/35}{108/35} = \dfrac{54}{108} = 0.5 \nonumber \]

Le centre de gravité du tétraèdre\(Q\) est le point\((2.25, 0.75, 0.5)\).

Exercice\(\PageIndex{9}\)

Considérez la même région\(Q\) (Figure\(\PageIndex{7}\)) et utilisez la fonction de densité\(\rho (x,y,z) = xy^2z\). Trouvez le centre de gravité.

Allusion

Vérifiez cela\(M_{xy} = \dfrac{27}{35}, \, M_{xz} = \dfrac{243}{140},\) et\(M_{yz} = \dfrac{81}{35}\). Utilisez ensuite une question\(m\) de point de contrôle précédente.

Réponse

\(\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{9}{8}, \dfrac{1}{2}\right)\)

Nous concluons cette section par un exemple de recherche de moments d'inertie\(I_x, \, I_y\), et\(I_z\).

Exemple\(\PageIndex{10}\): Finding the Moments of Inertia of a Solid

Supposons qu'\(Q\)il s'agisse d'une région solide délimitée par\(x + 2y + 3z = 6\) et par les plans de coordonnées avec la densité\(\rho (x,y,z) = x^2 yz\) (voir Figure\(\PageIndex{7}\)). Déterminez les moments d'inertie du tétraèdre\(Q\) par rapport au\(yz\) plan\(xz\) -, au plan -et au\(xy\) plan -.

Solution

Une fois encore, nous pouvons écrire presque immédiatement les limites de l'intégration et ainsi procéder rapidement à l'évaluation des moments d'inertie. En utilisant la formule indiquée précédemment, les moments d'inertie du tétraèdre\(Q\) autour du\(yz\) plan -, du\(xz\) plan -et du\(xy\) plan -sont

\[I_x = \iiint_Q (y^2 + z^2) \rho(x,y,z) \,dV, \nonumber \]

\[I_y = \iiint_Q (x^2 + z^2) \rho(x,y,z) \,dV, \nonumber \]et

\[I_z = \iiint_Q (x^2 + y^2) \rho(x,y,z) \,dV \, with \, \rho(x,y,z) = x^2yz. \nonumber \]

En procédant aux calculs, nous avons

\[\begin{align*} I_x = \iiint_Q (y^2 + z^2) x^2 \rho(x,y,z) \,dV \\[4pt] = \int_{x=0}^{x=6} \int_{y=0}^{y=\frac{1}{2}(6-x)} \int_{z=0}^{z=\frac{1}{3}(6-x-2y)} (y^2 + z^2) x^2 yz \, dz \, dy \, dx = \dfrac{117}{35} \approx 3.343,\end{align*}\]

\[\begin{align*} I_y = \iiint_Q (x^2 + z^2) x^2 \rho(x,y,z) \,dV \\[4pt] = \int_{x=0}^{x=6} \int_{y=0}^{y=\frac{1}{2}(6-x)} \int_{z=0}^{z=\frac{1}{3}(6-x-2y)} (x^2 + z^2) x^2 yz \, dz \, dy \, dx = \dfrac{684}{35} \approx 19.543, \end{align*}\]

\[\begin{align*} I_z = \iiint_Q (x^2 + y^2) x^2 \rho(x,y,z) \,dV \\[4pt] = \int_{x=0}^{x=6} \int_{y=0}^{y=\frac{1}{2}(6-x)} \int_{z=0}^{z=\frac{1}{3}(6-x-2y)} (x^2 + y^2) x^2 yz \, dz \, dy \, dx = \dfrac{729}{35} \approx 20.829. \end{align*}\]

Ainsi, les moments d'inertie du tétraèdre\(Q\) autour du\(yz\) plan -, du\(xz\) plan -et du\(xy\) plan -sont\(117/35, \, 684/35\), et\(729/35\), respectivement.

Exercice\(\PageIndex{10}\)

Considérez la même région\(Q\) (Figure\(\PageIndex{7}\)) et utilisez la fonction de densité\(\rho(x,y,z) = xy^2z\). Déterminez les moments d'inertie autour des trois plans de coordonnées.

Réponse

Les moments d'inertie du tétraèdre\(Q\) autour du\(yz\) plan -, du\(xz\) plan -et du\(xy\) plan -sont\(99/35, \, 36/7\) et\(243/35\), respectivement.

Concepts clés

Déterminer la masse, le centre de masse, les moments et les moments d'inertie dans des intégrales doubles :

• Pour une lame\(R\) avec une fonction de densité\((x,y)\) en\(\rho (x,y)\) tout point du plan, la masse est\[m = \iint_R \rho (x,y) \,dA. \nonumber \]
• Les moments autour de l'\(x\)axe -et de\(y\) l'axe -sont\[M_x = \iint_R y\rho(x,y) \,dA \, and \, M_y = \iint_R x\rho(x,y) \,dA. \nonumber \]
• Le centre de gravité est donné par\(\bar{x} = \dfrac{M_y}{m}, \, \bar{y} = \dfrac{M_x}{m}\).
• Le centre de gravité devient le centroïde du plan lorsque la densité est constante.
• Les moments d'inertie autour de l'\(x\)axe -, de\(y\) l'axe -et de l'origine sont\[I_x = \iint_R y^2 \rho(x,y) \,dA, \, I_y = \iint_R x^2 \rho(x,y) \,dA, \, and \, I_0 = I_x + I_y = \iint_R (x^2 + y^2) \rho(x,y) \,dA. \nonumber \]

Déterminer la masse, le centre de masse, les moments et les moments d'inertie dans des intégrales triples :

• Pour un objet solide\(Q\) avec une fonction de densité\((x,y,z)\) en\(\rho(x,y,z)\) tout point de l'espace, la masse est\[m = \iiint_Q \rho (x,y,z) \,dV. \nonumber \]
• Les moments concernant le\(xy\) plan, le\(xz\) plan et le\(yz\) plan sont\[M_{xy} = \iiint_Q z\rho (x,y,z)\,dV, \, M_{xz} = \iiint_Q y\rho (x,y,z)\,dV, \, M_{yz} = \iiint_Q x\rho (x,y,z)\,dV \nonumber \]
• Le centre de gravité est donné par\(\bar{x} = \dfrac{M_{yz}}{m}, \, \bar{y} = \dfrac{M_{xz}}{m}, \, \bar{z} = \dfrac{M_{xy}}{m}.\)
• Le centre de masse devient le centroïde du solide lorsque la densité est constante.
• Les moments d'inertie autour du\(yz\) plan -, du\(xz\) plan -et du\(xy\) plan -sont\[I_x = \iiint_Q (y^2 + z^2) \, \rho (x,y,z) \, dV, \, I_y = \iiint_Q (x^2 + z^2) \, \rho (x,y,z) \, dV, \, I_z = \iiint_Q (x^2 + y^2) \, \rho (x,y,z) \, dV. \nonumber \]

Équations clés

• Masse d'une lame\[m = \lim_{k,l \rightarrow\infty} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l m_{ij} = \lim_{k,l \rightarrow\infty} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l \rho (x_{ij}^*, y_{ij}^*) \,\Delta A = \iint_R \rho(x,y) \,dA \nonumber \]
• Moment autour de l'axe X\[M_x = \lim_{k,l \rightarrow\infty} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l (y_{ij}^*) m_{ij} = \lim_{k,l \rightarrow\infty} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l (y_{ij}^*) \rho (x_{ij}^*, y_{ij}^*) \,\Delta A = \iint_R y\rho(x,y)\,dA \nonumber \]
• Moment autour de l'axe y\[M_y = \lim_{k,l \rightarrow\infty} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l (x_{ij}^*) m_{ij} = \lim_{k,l \rightarrow\infty} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l (x_{ij}^*) \rho (x_{ij}^*, y_{ij}^*) \,\Delta A = \iint_R x\rho(x,y)\,dA \nonumber \]
• Centre de masse d'une lame\[\bar{x} = \dfrac{M_y}{m} = \dfrac{\iint_R x\rho (x,y) \,dA}{\iint_R \rho (x,y) \,dA} \, and \, \bar{y} = \dfrac{M_x}{m} = \dfrac{\iint_R y\rho (x,y) \,dA}{\iint_R \rho (x,y) \,dA} \nonumber \]

Lexique

rayon de giration

la distance entre le centre de gravité d'un objet et son axe de rotation